初中函数知识点总结与练习题

1、一次函数一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。中考试题中分值约为 10 分左右题型多样，形式灵活，综合应用性强。甚至有存在探究题目出现。主要考察内容：会画一次 函数的图像，并掌握其性质。会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。能用一次函数解决实际问题。考察一ic函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。突破方法：正确理解掌握一次函数的概念，图像和性质。运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。 掌握用待定系数法球一次函数解析式。 做一些综合题的训练，提高分析问题的能力。函数性质：的变化值与对应的 x 的变化值成正比例，比值为 k. 即： y=kx+b （k， b

2、为常数， kw0） ,当 x 增力口 m k （x+m）+b=y+km,km/m=k。2. 当 x=0 时， b 为函数在 y 轴上的点 , 坐标为 （0 ， b） 。3. 当 b=0 时 （ 即 y=kx） ，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。4. 在两个一次函数表达式中：当两一次函数表达式中的k 相同，b 也相同时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k 相同，b 不相同时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的 k 不相同， b 不相同时，两一次函数图像相交； 当两一次函数表达式中的 k 不相同， b 相同时， 两一次函数图像交于y 轴上的同一点 （ 0

3、， b） 。若两个变量x,y 间的关系式可以表示成Y=KX+b（k,b 为常数， k 不等于0）则称y 是 x的一次函数图像性质1 作法与图形：通过如下3 个步骤：（ 1 ）列表 .（ 2 ） 描点； 一般取两个点 , 根据“两点确定一条直线”的道理， 也可叫“两点法”。 一 般的y=kx+b（kw0）的图象过（0, b）和（-b/k , 0）两点画直线即可。正比例函数y=kx（kw0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1, k）两点。（ 3 ）连线，可以作出一次函数的图象一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点， 并连成直线即可。 （通常找函数图象与x 轴和 y 轴的交点

4、分别是-k 分之 b 与 0 ， 0 与 b） .2 性质：（1）在一次函数上的任意一点P （x, y）,都满足等式：y=kx+b（kw0）。（ 2 ）一次函数与y 轴交点的坐标总是（ 0 ， b） ，与 x 轴总是交于（ -b/k ， 0 ）正比例函数的图像都是过原点。3函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。4 k ， b 与函数图像所在象限：y=kx 时（即 b 等于 0， y 与 x 成正比例 ） ：当 k>0 时，直线必通过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k<0 时，直线必通过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小。y=kx+b 时：当k>0

5、,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；当 b>0 时，直线必通过第一、二象限；当 b<0 时，直线必通过第三、四象限。特别地，当 b=0 时，直线通过原点 O（ 0， 0 ）表示的是正比例函数的图像。这时，当 k>0 时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当 k<0 时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。4、特殊位置关系：当平面直

6、角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中 K 值（即一次项系数）相等当平面直角坐标系中两直线垂直时， 其函数解析式中 K 值互为负倒数 （即两个 K 值的乘积为-1 ）点斜式y-y1=k（x-x1）（ k 为直线斜率,（x1,y1） 为该直线所过的一个点）两点式（y-y1） / （y2-y1）=（x-x1）/（x2-x1） （已知直线上（ x1,y1 ）与（ x2,y3 ）两点）截距式（ a 、 b 分别为直线在x 、 y 轴上的截距）实用型 （由实际问题来做）公式1. 求函数图像的 k 值：（y1-y2）/（x1-x2）2. 求与x 轴平行线段的中点：|x1-x2|/23. 求与y 轴平行线段

7、的中点：|y1-y2|/24. 求任意线段的长：,（x1 -x2）A2+（y1-y2F2（注：根号下（x1-x2）与（y1-y2）的平方和）5. 求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令 y1=y2 得 k1x+b1=k2x+b2 将解得的 x=x0 值代回 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式得到 y=y0 则 （x0,y0） 即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标6. 求任意 2 点所连线段的中点坐标： （ x1+x2） /2 ，（ y1+y2） /27. 求任意 2 点的连线的一次函数解析式：（ X

8、-x1 ） /（x1-x2）=（Y-y1）/（y1-y2） （ 其中分母为 0，则分子为0） x y +， + （正，正）在第一象限- ， + （负，正）在第二象限- ， - （负，负）在第三象限+ ， - （正，负）在第四象限8. 若两条直线 y1=k1x+b1 / y2=k2x+b2 ,那么 k1=k2 , blwb29. 如两条直线 y1=k1x+b1 Xy2=k2x+b2 ,那么 k1xk2=-110. y=k （ x-n ） +b 就是向右平移 n 个单位1 . (3, 4)关于x轴对称的点的坐标为 ,关于y轴对称的点的 坐标为,关于原点对称的坐标为 .2 .点B( 5, 2)到x轴

9、的距离是,到y轴的距离是,到原点的 距离是3 .小华用500元去购买单价为3元的一种商品，剩余的钱y (元)与购买这 种商品的件数x (件)之间的函数关系是 2 x的取值范围是4 .当a=时，函数y=x3a2是正比例函数函数y=2x+4的图象经过象限，它与两坐标轴围成的三角形面已知一次函数y=kx+b(k W0)在x=1时，y=5,且它的图象与x轴交点的横坐标是6 , 求这个一次函装的解析式。.已知2y 3与3x+1成正比例，且x=2时，y=5, (1)求y与x之间的函数关系 式，并指出它是什么函数；(2)若点(a , 2)在这个函数的图象上，求a .例5:某移动通讯公司开设两种业务:业务类别

10、月租 费市内通话费说明：1分钟为1跳次，不足1分钟 按1跳次计算，如分钟为4跳次.全球通50元元/跳次神州行0元元/跳次若设某人一个月内市内通话x跳次，两种方式的费用分别为z元和y元.写出z、y与x之间的函数关系式；一个月内市内通话多少跳次时，两种方式的费用相同？某人估计一个月内通话300跳次，应选择哪种方式合算？如图，折线ABCg在某市乘出租车所付车费y （元）与彳T车里程x （kmj） ?之间的 函数关系图象.根据图象，写出该图象的函数关系式；某人乘坐2.5km,应付多少钱？某人乘坐13kmi应付多少钱？若某人付车费元，出租车行驶了多少千米？反比例函数一、基础知识kk1 .定乂： 一般地，

11、形如 y （k为常数，k o）的函数称为反比例函数。y 还可以xx写成y kx 1 , xy=k（k为常数，k o）k2 .反比例函数的图像是双曲线，y 一（k为常数，k 0）中自变量x 0,函数值y 0,x所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支， 延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。,也是轴对称图形（对称轴是3 .反比例函数的图像即是中心对称图形（对称中心是原点）y x或 y x）。kk4 .反比例函数y _ (k 0)中比例系数k的几何意义是：过双曲线 y - (k 0)上xx任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为 k5.反比例函数性质如下表:k的取值图像所在象限函数的增减性k

12、o一、三象限一在每个象限内，y值随x的增大而减小k o二、四象限在每个象限内，y值随x的增大而增大6 .反比例函数解析式的确定：利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐标即 可求出k)7 .“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数，但是反比例函k数y -中的两个变量必成反比例关系。x反比例函数常考题型一、反比例函数的概念例1下面函数中，哪些是反比例函数？ x ，、81，、1 ，、 y - (2) y (3) y 4x 5(4)y 5x (5)xy -.(6)3x8(8) xy=21 (9) (10) (11)(12) y=x+4(13)1例1：如图所不正比例函

13、数 y kx(k 0)与反比例函数y 一的图像相交于A、C两点，过 xA作x轴的垂线交x轴于B,连结BC若 ABC的面积为S,则()A. S 1 B.S 2 C . S 3 D. S的值不确定k变式1：反比例函数 y 一的图像上有一点 P(m,n),其坐标是关于t的一元二次方程x2t 3t k 0的两根，且P到原点的距离为 可13 ,则该反比例函数的解析式为 .变式2:如图，A、C是函数y 1的图象上的任意两点，过 A作x轴的垂线，垂足为 B;过C x作y轴的垂线，垂足为 D.记Rt AOB的面积为S1, Rt COD的面积为S2 ,则蚪与$2的 关系是().(A)Si>S2(B)Si&

14、lt;S2(C)Si = S2(D)Si与S2的大小关系不能确定.(武汉市中考题)3变式3: (1) 一次函数y x 1与反比例函数 y 在同一坐标系中的图像大致是如图中 x的()2k(2) 一次函数y kx k 1与反比仞函数 y 在同一直角坐标系内的图像的大致位置x是图中的()综合题目k 5例1、已知一次函数y 2x k的图象与反比例函数 y 的图象相交，其中有一个交x点的纵坐标为-4 ,求这两个函数的解析式.注意：这是关于一次函数和反比例函数的综合题，解本题的关键是要抓住两图象交点这个主要矛盾，它既在一次函数图象上，又在反比例函数图象上，从而转化为解二元一次方程组， 问题得以解决.例2、

15、已知y=y1+y2, y1与x+1成正比例，y2与x2成反比例，并且x=-1时，y=1 ; x J3时,1y 26 1.求x -时y的值.3注意： 解本题的关键是正确理解什么叫y1与x+1成正比例，y2与x2成反比例，即把x+1与2x看成两个新的变重.1 c_如图，直线y 2x 2分别交x、y轴于点A、C, P是该直线上在第一象限内的一点,PB x轴，B为垂足，S ABP 9(1)求点P的坐标；(2)设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧.作RT x轴，T为垂足，当 BRT与 AOC相似时，求点 R的坐标.初中数学二次函数知识点归纳R知识点1二次函数、抛物线的顶点、对称

16、轴和开口方向R大纲要求11 .理解二次函数的概念；2 .会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3 .会平移二次函数 y = ax2(a w 0)的图象得到二次函数 y = a(ax + m)2+k的图象，了解 特殊与一般相互联系和转化的思想；4 .会用待定系数法求二次函数的解析式；5 .利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性， 会求二次函数的图象与 x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。内容(1)二次函数及其图象如果y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，aw 0),那么，y叫做x的二

17、次函数。二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。(2)抛物线的顶点、对称轴和开口方向抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)的顶点是(2a4ac b 、b),对称轴是x ，当a>0时,4a2a抛物线开口向上，当 a<0时，抛物线开口向下。抛物线y=a (x+h) 2+k(a w0)的顶点是(-h , k),对称轴是 x=-h.R考查重点与常见题型11 .考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数 y= (m- 2)x2+ n2- m- 2额图像经过原点，则m的值是2 .综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在

18、同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数 y = kx+b的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y=kx2+bx1的图像大致是()3.考查用待定系数法求二次函数的解析式,档解答题和选拔性的综合题，如：有关习题出现的频率很高，习题类型有中已知一条抛物线经过(0,3) , (4,6)两点，对称轴为x=| ,求这条抛物线的解析式。34 .考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线y=ax2+bx+c (aw0)与x轴的两个交点的横坐标是一 1、3,与y轴交点的纵 3坐标是-2 (1)确定抛物线的解析式；(2)用配方法确定抛

19、物线的开口方向、对称轴和顶 点坐标.5 .考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。、填空题：(每小题3分，共30分)1、已知A ( 3 , 6)在第一象限，则点B ( 3 , 6 )在第 象限2、对于y =,当x>0时，y随x的增大而X3、二次函数y = x 2 + x 5取最小值是，自变量x的值是 2一 一，一 一、4、抛物线y=(xl) 7的对称轴是直线x = 5、直线y=5 x 8在y轴上的截距是 二、选择题：(每题3分，共30分)1 1、函数y= yjx - 5中，自变量x的取值范围()(A)x>5(B)xV5(C)xW5 (D)x>51 2、抛物线y = (

20、 X + 3 )2 2的顶点在()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限1 3、抛物线y = (x l) (x 2)与坐标轴交点的个数为()(A) 0( B) 1(C) 2( D) 31 4、下列各图中能表示函数和在同一坐标系中的图象大致是()(D)15.平面三角坐标系内与点(3, 5)关于y轴对称点的坐标为(A) (3,5)(B) (3,5)(C) (3, 5)(D) (3, 5)1 - 一16.下列抛物线，对称轴是直线x= 万的是()(A)y = 2 X2(B) y = X 2 + 2x (C) y = x 2+x+2(D) y = x 2 x 217.函数y =中，x的

21、取值范围是(，、，、1，、1，、1(A) x W0(B)x >2(C)x 丰立(D)x <220 .某幢建筑物，从 10米高的窗口 A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线(抛物线所在平面与墙面垂直，(如图)如果抛物线的最高点 M离墙1米，离地面40米，则水流下落点 B3离墙距离OB是()(A) 2 米(B) 3 米(C) 4 米(D) 5 米割 口，八1.，一，21 .已知：直线y= 2 x + k过点 A (4, 3)。(1)求k的值；(2)判断点B( 2, 6) 是否在这条直线上；(3)指出这条直线不过哪个象限。22 .已知抛物线经过 A (0, 3), B (4,6)两点，对称轴为x = 5 ,3(1) 求这条抛物线的