(完整版)2017高考一轮复习教案-函数的单调性

1、函数的单调性与最值18一、函数的单调性1 .单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(X)的定义域为I.上的任忠两个自变室的值X1, X2如果对于定义域I内某个区间A当 X1<X2 时，都有 f(X 1)<f(X g), 那么就说函数f(X)在区间A 上是增加的当X1<X2时，都有f(X j)>f(X 2),那么就 说函数f(X)在区间A上是减少的图象描述Opi立于自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的2 .单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称 A为单调区间.3求函数单调区间的两个注意点：(1)单调区间是定义域的子集

2、，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则.(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区 间应分别写，不能用并集符号联结，也不能用“或”联结.4必记结论1 .单调函数的定义有以下若干等价形式：设 xi, X2C a , b,那么f Xd f Xo2 >0? f(x)在a，b上是增函数；<0? f(X)在a , b上是减函数.Xi X2f Xi f X2(Xi X2)f(x 1) f(x 2)>0 ? f(x)在a, b上是增函数；(xi X2)f(x i) f(x 2)<0 ? f(x)在a , b上是减函数.2 .复合函数y=fg(x)的单调性规

3、律是“同则增，异则减"，即 y = f(u) 与u = g(x)若具有相同的单调性，则y=fg(x)为增函数，若具有不同的单调性, 则y=fg(x)必为减函数.考点一函数单调性的判断i.下列四个函数中，在(0, 十 °0)上为增函数的是()A.f(x)=3 xB.f(x)=x2 3xCf(x)=三D.f(x)= |x|x I i解析：当x>0时，f(x)=3 x为减函数；t32当xe 0, 2时，f(x) =x 3x为减函数，.3.一c.一一一当xC +8 时，f(x) =x 3x为增函数；,，1 、一当xC(0, +8)时，f (x)=一为增函数；x十i当xC(0,

4、 +oo)时，f(x) = |x|为减函数.故选C.答案：C - 2x -.、，、一-，2.判断函数g(x)=二1在(1 ， + 00)上的单调性.解：法一：定义法任取 xi, xzC (1 , +00),且 xi<x2,2xi 2x22 xi x2n g(x 1)-g(x2)-x_i-x2r xi ix2i ，因为 1<xi<x2,所以 X1 X2<0, (x 1 1)(x 2 1)>0 , 因此 g(Xl) g(X2)<0 ,即 g(Xi)<g(X 2).故g(x)在(1 , + 00 )上是增函数.法二：导数法,-2 X-1 +2X 2. g (

5、x)=xt叫, g(X)在(1 , + 00 )上是增函数.一一一”一一一室正痴心国奴而丽杯而丽讪丽1号瓦- i.定义法（基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断）. *2.导数法（基本步骤为求定义域、求导、变形、判断）.考点二函数的单调区间的求法|1求下列函数的单调区间：（1）y = x2+ 2|x| +1;12(2)y =log2(x2 3x + 2).解(1)由于x2 + 2x+ 1, x>0, '-x2-2x+ 1, x<0,即y=x-1 2+ 2, x>0,x+1 2+ 2, x<0.画出函数图象如图所示,单调递增区间为(一00, 1和0,1,单调递减区

6、间为1,0和1 , +°°)./2 1,2一，,(2)令u = x 3x + 2,则原函数可以看作 y= log2u与u = x 3x+2的复合 函数.令 u=x2 3x+2>0,则 x<1 或 x>2.12函数 y=log2(x23x+2)的定义域为(一oo, 1)U(2,十.又u=x2 3x+2的对称轴x=3,且开口向上.；u = x2 3乂 + 2在(8, 1)上是单调减函数，在(2 , +8)上是单调增函数.一 1 ，一、一，一，而y=log2u在(0, + 00)上是单调减函数，1 ., y = log 2(x 3x+2)的单调递减区间为(2 ,

7、 +00),单调递增区间为(一0°,1).函数单调区间的四种求法I:(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单!I调区间.I|(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.!I (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由1|图象的直观性写出它的单调区间.|*(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.|I2函数y=|x|(1 -x)在区间A上是增函数，那么区间 人是()c 1A. (8, 0)B. 0, 2C. 0 , +00)解析：y = |x|(l x)x 1 xx>01D. 2，+001 2 1x2 +4

8、x>01 x22 1一4x<0x 1 x x<0归纳起来，常,f(x)的画出函数的草图，如图.，1 一 %由图易知原函数在0, 2上单调递增.答案：B考点三函数单调性的应用函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容. 见的命题探究角度有：1 .求函数的值域或最值.2 .比较两个函数值或两个自变量的大小.3 .解函数不等式.4 .求参数的取值范围或值.一求函数的值域或最值x + -3, x> 1,1 .已知函数 f(x) = x则 f(f( -3) =lg x2+1 , x<1,最小值是.比较两个函数值或两自变量的大小乙一，142 .已知函数 f(x) =

9、log 2X+-一，若 XiC(1,2) , X2C (2, +oo),则()1 XA. f(x i)<0 , f(x 2)<0B.C. f(x i)>0 , f(x 2)<0D.三解函数不等式x3, x<0,3.已知函数f(x)=In x+1 ,取值范围是()A. ( s, - 1) U(2 , +oo)B. ( s, - 2) U (1 , +oo)C. (-1,2)D. (-2,1)f(x 1)<0 , f(x 2)>0f(x 1)>0 , f(x 2)>0 若f(2 x2)>f(x)，则实数x的 x>0,四 利用单调性求

10、参数的取值范围4.2a x+1 已知 f(x) = a、x>1满足对任意x1*X2,都有x1fx2x1 一x2>0成立，那么a的取值范围是(A. 2, 2C. (1,2)38. 1, 2D. (1 , +00)1 .解析：由题知，f( 3) = 1, f(1) =0,即 f(f( -3) =0.又 f(x)在(一8, 0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1 ,2)上单调递减，在(表,+8)上 单调递增，所以 f(x) min=minf(0) , f( V2) =272-3.答案：0 2二23一 一，1 ，一，一2 .解析：二.函数f(x) =logzx+工在(1，+00)上

11、为增函数，且f(2) =0,当 xiC(1,2)时，f(x i)<f(2) =0,当 X2C(2, +oo)时,f(x 2)>f(2) =0,即 f(x i)<0 , f(x 2)>0.答案：B3 .解析：二当x = 0时，两个表达式对应的函数值都为零，函数的图象是 一条连续的曲线.二.当x<0时，函数f(x) =x3为增函数，当x>0时，f(x) =ln(x + 1)也是增函数，且当xi<0, x2>0时，f(x i)<f(x 2), 函数f(x)是定义在R上 的增函数.因此，不等式f(2 x2)>f(x)等价于2-x2>x,

12、即x2+ x-2<0,解得一 2<x<1,故选 D.答案：D2-a>0,4 .解析：依题意，f(x)是在R上的增函数，于是有a>1,2 a xl + 1& a .,一 3.解得20a<2,故选A.答案：A函数单调性应用问题的四种类型及解题策略i (i)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内， ii然后利用函数的单调性解决.i|(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调 |性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定 i义域.iI-|(3)利用单调性求参数.|I 视参数为已知数，

13、依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区问， 1 ： ：I与已知单调区间比较求参数；II 需注意若函数在区间a, b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上!I也是单调的.Ii (4)利用单调性求最值.应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值.i1 .确定抽象函数的单调性以及解含“ f”的不等式【典例】函数f(x)对任意a, bCR,都有f(a +b)=f(a) +f(b) 1,且当 x>0 时，有 f(x)>1.(1) 求证： f(x) 是 R 上的增函数；若 f(4) =5,解不等式 f(2t -1)-f(1 +t)<2.规范解答(1)证明：设xi, X2CR且x

14、i<X2,则X2 xi>0, f(x 2 Xi)>1.(2 分)根据条件等式有f(x 2) f(x 1) = f(x 2-xi + xi) f(x 1) =f(x 2 xi) +f(x 1) 1 f(x 1) =f(x 2- x1) 1>0， f(x 1)<f(x 2) ,，f(x)是 R上的增函数.(6 分)(2)由 f(a +b)=f(a) +f(b) 1,得 f(a +b) -f(a) =f(b) 1, .f(2t -1) -f(1 +t) =f(t 2) 1, (8 分) , f(2t -1) -f(1 +t)<2 ,即 f(t -2)-1<2

15、, f(t 2)<3.又 f(2 +2)=f(2) +f(2) 1=5, .*2) =3, f(t 2)<3 = f(2) . (10 分) . f(x)是R上的增函数，.t 2<2,t<4 ,故不等式的解集为(? 4).练习A组1 .下列函数中，定义域是 R且为增函数的是()A. y = e xB. y = xC. y = ln xD. y=|x|2.下列四个函数：_1y = 3-x；y = x7；x x<0,y = x2+ 2x-10; y=x.其中值域为R的函数有()A. 1个B.2个C.3个D.4个3 .若函数f(x) = x2+ 2ax与函数g(x)=/

16、7在区间1,2上都是减函数, x I 1则实数a的取值范围为()A. (0,1) U(0,1)B. (0,1) U(0,1C. (0,1)D. (0,12则不等式f(a 2 4)>f(3a)的解x 4x + 3, x<0,4 .已知函数 f(x) =2 2X+3 x>qB. (-1,4)集为()A. (2,6)C. (1,4)D. (3,5)f x5 .如果函数y = f(x)在区间I上是增函数，且函数y =x在区间I上是减函数，那么称函数y = f(x)是区间I上的“缓增函1c 3数”，区间I叫作“缓增区间”.若函数f(x) =2x2 x + 3是区间I上的“缓增函数”，则

17、“缓增区间” I为()A. 1 , +8)B. 0 , V3C. 0,1D. 1 ,出6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，若对任意的xi,X2C 0 , +oo)(x 1G2),f Xo f Xd有<0,则f(3) , f( -2), f(1)的大小关系为X2 X1 1, X>0,7.设函数 f(X) = 0, x = 0, g(X) =X2f(X 1),则函数 g(X)的递减1, x<0,区间是.8 .已知函数f(x) =|x+a|在(8, 1)上是单调函数，则a的取值范围 是.9 .已知 f(x) =1(xwa). x a若a= 2,试证f(x)在(8, 2)上单调递增

18、；(2)若a>0且f(x)在(1 , +8)上单调递减，求a的取值范围.10 .已知函数g(x)=/+1, h(x) =X3，x ( -3, a,其中a为常数且 a>0,令函数 f(x) =g(x) h(x).(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；1 , 一， 一(2)当a=4时，求函数f(x)的值域.练习B组1 .下列函数中，在区间(0, +oo)上为增函数的是()A. y =，x+ 1B. y = (x 1)2C. y = 2 xD. y = log o.5(x + 1)*2.“a00”是“函数f(x) =|(ax 1)x|在区间(0 ,十)内单调递增”的()A.充分不必

19、要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件x + 6, x0 2,3 .若函数f(x) =(a>0 ,且aw 1)的值域是4, +00)3+log ax, x>2''L '则实数a的取值范围是.4 . a为实数，函数f(x) =|x2 ax|在区间0,1上的最大值记为g(a).当 a =时,g(a)的值最小.答案1.解析：因为定义域是R,排除C,又是增函数，排除A、D,所以选B.答案：Bxx<0 ,2.解析：依题意，注意到y = 3x与函数y=1的值x, 一 1域均是R,函数丫=百1的值域是(0,1,函数y = x2+2x10=(

20、x +1)211的值域是11, +8),因此选B.答案：B3.解析：注意到f(x) = (x a) 2+ a2 ；依题意得a< 1, a>0,即0<a0 1,故选D.答案：D4 .解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的.由 f(a 2 4)>f(3a)，可得 a2- 4<3a,整理得 a2- 3a-4<0,即(a + 1)(a 4)<0,解得1<a<4,所以不等式的解集为( 1,4).答案：B . 1 o 3. . ,5 .解析：因为函数f(x) =2xx+2的对称轴为x=1,所以函数y=f(x)在区间1

21、, +00)上是增函数 又当 x>l时，f一x= 1x-1+y-,令g(x) =gx x 2 2x21+2(x；>1)，则 g (x) =22b=xjx xjx2 32x ，由g'(x) <o得1&x&y3,即函数f x -1x-1+1-在区间1, y3上单调递减，故“缓增区间” i为1,也. x 2 2x答案：D6.解析：由与，xzC (0, +oo)时,f x2 x1<0x2 x1f(x)在(0 , +8)上为减函数.又 f( 2) = f(2) , 1<2<3, .f河 -2)>f(3).即 f(1)>f(2)>

22、;43).答案：f河 -2)>f(3)如图所示，其递减区问x； x>1,7 .解析：g(x) = 0, x=1, x2, x<1.是0,1) .答案：0,1)8 .解析：因为函数f(x)在(一8, a)上是单调函数，所以一a>-1,解得 a< 1.答案：（一8, 19 .解：（1）证明：任设 Xi<X2< 2,X1 X2则f(X1)-f(X2)=R-壬2 Xi 一 X2Xi + 2X2+2 (x 1 + 2)(x 2+ 2)>0 , XiX2<0, f(X i)<f(X 2), f(x)在(一00, 2)上单调递增.f(X)x xa+

23、ax a x a当a>0时，f(x)在(00, a), (a, +00)上是减函数，又f(x)在(1 , +°°)上单调递减， 0va0 1,故实数a的取值范围为(0,1.1厂 1xjx1110.解：(1) . f(x) =g(x) h(x)=(啦+1) =! 3 , X3 X 3血+1f(x) =73，x0, a(a>0)._一 1函数f(x)的定义域为0, 4 ,3令以+1=t ,则 X=(t -1)2, t 1,2,_t1f(X)=F(t)=t2 2t + 4 = .t +f-24 r33 r 4、，.t =时，t = ±2? 1, 2 ,又t

24、e 1, 2时，t+,单调递减，F(t)单调递增,. 一、16,F(t) ' 3，13.即函数f(x)的值域为1, ：6 .3 131 ,.1 .解析：y = (x 1)2仅在1 , +8)上为增函数，排除b； y = 2x= 2x为减 函数，排除C;因为y = logo.5t为减函数，t=x+1为增函数，所以y = logo.5(x + 1)为减函数，排除D;y = yf和t =x+ 1均为增函数，所以y=dx+ 1为增函数， 故选A.答案：A2 .解析：由二次函数的图象和性质知f(x) =|(ax -1)x|在(0, +oo)内单调1-递增，只需f(x)的图象在(0 , +8)上与x轴无父点，即2= 0或-<0,整理得a0 0, a而当a<0时，结合图象(图略)可知f(x)在(0 ,+8)上为增函数.故a&o是f(x) 在(0, +8)上单调递增的充要条件，故选 C.答案：C3.解析：因为f