知识点一 导数与函数的单调性

1、1.函数的单调性：在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.如果，那么函数在这个区间上是常数函数.注：函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件.2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正一般地，当函数 在点处连续时，判断 是极大（小）值的方法是：（1）如果在附近的左侧 ，右侧，那么是极大值（2）如果在附近的左侧 ，右侧，那么 是极小值注：导数为0的点不一定是极值点知识点一：导数与函数的单调性方法归纳：在某个区间（a

2、,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.如果，那么函数在这个区间上是常数函数.注：函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件.例1】（B类）已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为. （）求函数的解析式； （）求函数的单调区间.【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数在区间上递增可得：；函数在区间上递减可得：.【例2】（A类）若在区间1,1上单调递增，求的取值范围.【解题思路】利用函数在区间上递增可得：；函数在区间上递减可得：.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解【例3】（B类）已知函数,设（）求函数

3、的单调区间；（）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值【课堂练习】1.（B） 已知函数的图像经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直. （）求实数的值；（）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.2（B类）设函数，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为 （1）若方程的表达式； （2）若的最小值3.（A类）已知函数 ，当 时，讨论函数 的单调性.例一解析】（）由的图象经过，知， 所以.所以. 由在处的切线方程是，知，即，. 所以 即 解得. 故所求的解析式是. （）因为， 令，即，解得 ，. 当或时， 当时， 故在内是增函数，在内是减函数，在内是增函数. 例二【解析】又

4、在区间1,1上单调递增在1,1上恒成立 即在 1,1时恒成立. 故的取值范围为例三解析】（I），由，在上单调递增. 由，在上单调递减.的单调递减区间为，单调递增区间为.（II），恒成立当时，取得最大值.，amin=课堂练习；1，【解析】（）的图象经过点 ， 由已知条件知 即 解得：（）由（）知，令则或 函数在区间上单调递增 或 即或2，解析】（1）根据导数的几何意义知由已知-2、4是方程的两个实根由韦达定理， （2）在区间1，3上是单调递减函数，所以在1，3区间上恒有其中点（2，3）距离原点最近， 所以当有最小值13 3，【解析】，（1）当时，若为增函数；为减函数；为增函数（2）当时，为增函数

5、；为减函数；为增函数知识点二: 导数与函数的极值最值方法归纳：1.求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义域，求导数 .(2)求方程的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.2.求函数在上最值的步骤：（1）求出在上的极值. （2）求出端点函数值. （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.注:可导函数在处取得极值是的充分不必要条件.【例4】（A类）若函数在处取得极值,则 .【解题思路】若在附近的左侧，右侧

6、，且,那么是的极大值；若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极小值.【解析】因为可导,且,所以,解得.验证当时, 函数在处取得极大值.【注】 若是可导函数，注意是为函数极值点的必要条件.要确定极值点还需在左右判断单调性.例5】（B类）已知函数，（I）求的单调区间；（II）求在区间上的最小值.【解析】（I），令；所以在上递减，在上递增；（II）当时，函数在区间上递增，所以；当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；当时，函数在区间上递减，所以.【例6】（B类）设是函数的两个极值点.（1）试确定常数a和b的值；（2）试判断是函数的极大值点还是极小值点，并求相应极值.【解析】（1）由已知得： （2）变化时.的变化情况如表：（0，1）1（1，2）20+0极小值极大值故在处，函数取极小值；在处，函数取得极大值4.（A类）设.若在上存在单调递增区间，求的取值范围.5.（B类）设，（1）求的单调区间和最小值； （2）讨论与的大小关系；6.（C类）已知函数()证明：曲线.课堂练习；4，【解析】在上存在单调递增区间，即存在某个子区间 使得.由，在区间上单调递减，则只需即可.由解得，所以，当时，在上存在单调递增区间5，解】（1）由题设知，令0得=1，当（0，1）时，0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间.当（1，+）时，0，是增函数，故（1，