圆锥曲线常用结论

1、1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.椭圆与双曲线-经典结论椭圆点P处的切线 PT平分 PFF2在点P处的外角.PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.若Pogyo)在椭圆2 ab2122xy 1 b2 12 aX0X炽2.2ab若Po(Xo,yo)在椭圆弦P1P2的直线方程是2 x2，则过Po的椭圆的切线方程是X0X-2a外，则过Po作椭圆的两条切线切点为1.P1、P2,则切点F1PF22 y b21 (a > b

2、 > 0)的左右焦点分别为F1, F2，点p为椭圆上任意一点则椭圆的焦点角形的面积为 S F1pf2b2%.2 y b21 (a > b > 0)的焦半径公式:| MF1 | aex0, |MF2 | a eg F, c,0) , F2(c,0) M (x°, y°).设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP和 AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M N两点，贝U MFL NF.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A、A为椭圆长轴上的顶点， AP和A2Q2xAB是椭圆a交于点M, A2P和AQ交于点 N贝U

3、 MFLNF.1的不平行于对称轴的弦，M(X0,y°)为AB的中点，则koM kABh厶a2y°，即 Kaba2 2X y12. 若Po（Xo, y。）在椭圆 牙1内，则被Po所平分的中点弦的方程是2yo2XoX yoy Xo2 .2 2abaX y13. 若Po（Xo, yo）在椭圆21内，则过Po的弦中点的轨迹方程是a b2 2xyXoXyoy22 2.abab双曲线1. 点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的内角.2. PT平分 PFF2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应

4、准线相交.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5.若Po（Xo, yo）在双曲线2X2a2y21 (a>0,b >0)b2上，则过Po的双曲线的切线方程6.7.8.XoXyo y1.Po (Xo, yo)在双曲线线切点为P1、P2,双曲线22xy2,2ab-一占八、F1PF2双曲线22x_ y_2,2a b2X2a则切点弦2b 1 (a > °b >o)外，则过Po作双曲线的两条切P1P2的直线方程是xxa1 （ a> o,b > 0）的左右焦点分别为yoyb2F1,，则双曲线的焦点角形的面积

5、为S FPF21.F2,点P为双曲线上任意b%.1 (a>0,b >o)的焦半径公式：(Fd c,0) ,F2(c,0)当 M(Xo,y°)在右支上时，IMFj exo a , | MF2 | exo a .当 M(Xo,y°)在左支上时，|MFi| exo a , | MF21 exo a9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 M N两点，则MFI NF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点 P、Q, A、A为双曲线实轴上的顶点,AP和A2Q交于点M A2P 和

6、AiQ交于点 N,贝y MFL NF.11.2AB是双曲线笃a1 (a> 0,b > 0)的不平行于对称轴的弦,M(Xo, yo)为 AB12.的中点，贝V KomK ABb2x° a2y。,即 K ABb2x°。a y。若P°(X0, y°)在双曲线方程是竽aycyb2x°a"13.若P0(X0,y°)在双曲线2 ab222)y。2b2 .22xy2.2ab22x y(a>0,b >0)内，则被 Po(a>0,b >0)内，则过 Po所平分的中点弦的的弦中点的轨迹方2x 程疋一2 a2y

7、x°xy°yb2a2b2椭圆与双曲线推导的经典结论椭圆2 21.椭圆笃笃a2 b21 ( a>b>o)的两个顶点为A,(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于R、P2时AP1与A2P2交点的轨迹方程是2x 2 a21.2 22.过椭圆%1 (a > 0, b > 0)上任一点A(x0, y0)任意作两条倾斜角互补的直a bb2x线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC戶(常数).a y3.2若p为椭圆笃a(a> b>0)上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点，4.5.PF1F2PF2F1圧 tan-cot-.，则

8、a c2设椭圆笃a1 (a>b>0)的两个焦点为Fi、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记F1PF2PF1F2F1F2P，则有since sin sin a2若椭圆冷a2y21 (a> b > 0)b2的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为L,则当01时，可在椭圆上求一点P,使得PFi是P到对应准线距离 d与PF2的比例中项6.2 2P为椭圆笃与 1a2 b2(a> b>0)上任一点，F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点,7.8.则 2a |AF2| I PA I(x X0)2椭圆 2aA2a2 B2b22x已知椭圆二a的最小值是

9、IPF1I2a| AF1 |,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成(yby。)22(Ax。By。1与直线 Ax By C 0有公共点的充要条件是C)2.2(a > b> 0),0为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP OQ . b1|OQ |2114a2b2； ( 2) |0P| 2+|OQp 的最大值为 ； (3) S opqaba b22a b2 "2 .a b9.2 2x y过椭圆一221 (a> b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦a b10.11.12.13.14.15.16.MN的垂直平分线交2已知椭圆笃a2y_b2线与x轴相交

10、于点2设P点是椭圆笃a记 F1PF2PAB(1) |PA|x轴于P,则J-PF-I| MN |1 ( a > b > 0) ,A、B、是椭圆上的两点， 线段AB的垂直平分a2 b2P(x0,0),贝V2 y b2，则(1)2是椭圆笃aPBA22ab |cosa22已知椭圆笃aXoa2 b21 ( a >b>0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点I PFj PF21c2j .三.S1 cosprf2b2%.(a > b > 0 )的长轴两端点，P是椭圆上的一点,BPA , c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有+ 彳 2。 2a2b2+tan tan 1

11、 e .(3) S PAB 22 cotb a2古1( a > b>0 )的右准线l与x轴相交于点的直线与椭圆相交于 A B两点，点C在右准线I上，且BC过线段EF的中点.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交,焦点的连线必与切线垂直过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,半径互相垂直.E，过椭圆右焦点FX轴，则直线AC经则相应交点与相应则该点与焦点的连线必与焦椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注 :在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17.椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦

12、顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项1.2 双曲线x_a2.椭圆与双曲线的经典结论双曲线2每 1 (a >0,b > 0)的两个顶点为 A1( a,0) , A2(a,0),与y轴b22平行的直线交双曲线于P1、P2时AP1与A2P2交点的轨迹方程是 冷厶 1.a2b22 2 过双曲线爲a b1 (a>0,b >o)上任一点 A(xo,y°)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBCb2Xoa yo(常数)3.2若P为双曲线笃a2b2 1( a >0,b > °)

13、右(或左)支上除顶点外的任一点，F1，F 2是焦点,PFiF2PF2F1C a tan2COt (或c a、tan cot ).c a4.2x设双曲线a2y1 (a > 0,b >0) b2的两个焦点为Fi、F2,P (异于长轴端点)5.为双曲线上任意一点，在 PF1F2记 F1PF2PF1F2sinF1F2P，则有(si n sin ) ae.2若双曲线笃a2b 1 (a >0,b >0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1v ew 2 1时，可在双曲线上求一点 P,使得PR是P到对应准线距离 d与PR的比例中项.22P为双曲线 % 岭 1 (a>0

14、,b >0)上任一点,F 1,F2为二焦点，A为双曲线a b内一定点，贝y | AF2 | 2a |PA| | PF1 |,当且仅当代F2,P三点共线且P和代F2在y轴同侧时，等号成立27.双曲线冷a2y1 (a> 0,b > 0)与直线 Ax By b2C 0有公共点的充要条件是A2a2B2b2 C2.8.已知双曲线(b > a > 0), O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OPOQ .12|OQ|1p ; (2) |OP| 2+|OQ|2 的最小值为b22 24ab (3) SOPQb a的最小值是2,2a b.b a9.1 (a > 0,b &g

15、t; 0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于10.11.12.M,N两点，弦MN的垂直平分线交 x轴于P,则2x已知双曲线二a垂直平分线与|PF | e| MN |2占1 (a> 0,b > 0) ,A、B是双曲线上的两点,x轴相交于点P(X0,O),则X02xP点是双曲线一2a其焦点记PF1F2b2%.2A、B是双曲线X2a线段 AB的2 .2a b亠 或X。aa2 b2F1PF2(a>0,b >0) 上异于实轴端点的任一点尸、F2b2，则叭叭飞.(a>0,b >0)的长轴两端点，P是双曲线上的离心率，则有(1)|PA| |a222ab |cos |c2co s2(2) tan tan21 e .(3)S PAB2 22a b .7-22 cotb a的右准线I与x轴相交于点E，过双曲2x13.已知双曲线a2y21 (a>0,b >0)b线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点，点C在