圆锥曲线共同性质及应用

1、12.4圆锥曲线的共同性质及应用【知识网络】1. 用联系的观点看圆锥曲线的共同性质.2. 学会圆锥曲线几何性质的简单综合应用.分类讨论思想、数形结合思想.3. 进一步体会函数方程思想、化归转化思想、 【典型例题】例1( 1 )若抛物线A.-22x+(2)曲线10 mA .焦距相等2(3)双曲线笃a2 2冬y6.2 C . -4x22y =2px的焦点与椭圆6 -mB.2y_2=1的右焦点重合，则p的值为()=1(m : 6)与曲线5 mC .焦点相同离心率相等=1的离心率为+9 -m二 1(5： m ： 9)D准线相同2 2 e1，双曲线V=1的离心率为e2,则ei + e2的最小值为()A.

2、 4.2B. 2C.2、2 D. 42 :(4 )已知椭圆m n2-=1与双曲线2=1 ( m,n,p,q R+)有共同的焦点qF1、 F2, P是椭圆和双曲线的一个交点，贝U|PF1| |PF2|=.(5)若方程(1- k)x2+ (3 k2)y2=4表示椭圆，则k的取值范围是.2 2例2双曲线C与椭圆-1有相同的焦点，直线 y= 3x 为C的一条渐近线.84(1 )求双曲线C的方程；(2)过点P(0,4)的直线丨，交双曲线 C于A,B两点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重. . 8合)当PQ = QA = 2QB，且' '2二-时，求Q点的坐标.32例3已知椭圆C1的方程为

3、 y2 =1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,4而C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点。(1) 求双曲线C2的方程； 若直线I: y = kx 、. 2与椭圆Ci及双曲线C2恒有两个不同的交点，且I与C2的两个交点A和B满足OA OB <6（其中0为原点），求k的取值范围。例4学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图：航天器运行（按2y 1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后25顺时针方向）的轨迹方程为100返回的轨迹是以 y轴为对称轴、D(8, 0).观测点 A(4, 0)、B(6,（64M 0,为顶点的抛物线的实线部分，降落点为V 7丿0）

4、同时跟踪航天器（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测 得离航天器的距离分别为多少时， 应向航天器发出变 轨指令？【课内练习】2x1双曲线m2=1（mn =0）离心率为2，有一个焦点与抛物线 y2 =4x的焦点重合,则mn的值为3A.162.已知双曲线的中心在原点,则该双曲线与抛物线3.方程22si n 33168C.D.-833离心率为 3.若它的一条准线与抛物线 y2 =4x的准线重合,=4x的交点到原点的距离是（）B.21C. 18 12 2D. 2121所表示的曲线是 （）sin v -2焦点在x轴上的椭圆B .焦点在y轴上的椭圆C

5、.焦点在x轴上的双曲线D .焦点在y轴上的双曲线4. 某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，其中心为原点，对称轴为坐标轴，且过点A （- 2, 2 3）,B （2，- ,5）,则A 曲线C可以是椭圆也可以是双曲线B 曲线C一定是双曲线C .曲线C 一定是椭圆D.这样的曲线不存在2 25. 若直线mx ny - 3 = 0与圆x y3没有公共点，则以（m, n）为点P的坐标，过2 2点P的一条直线与椭圆 +工=1的公共点有个。732 2X y6 .设圆过双曲线1的右顶点和右焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心916的距离.27如图，从点M（Xo,2）发出的光线沿平行于抛物线y =4x的轴的方向射向此抛

6、物线上的点P，反射后经焦点F又射向抛物线上的点 Q，再反射后沿平行于抛物线的轴的方向射向直线I : x - 2y - 7二0上的点N,再反射后又射回点 M，贝UX0=.2 2 x y&设 R（-c，0）、F2（c，0）是椭圆2=1（a>b>0）的两个焦a b点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，若/PFF2=5/PF2F1,求椭圆的离心率.2 29双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，与圆x + y =17交于A （ 4，- 1）.若圆在点A的切线与双曲线的一条渐近线平行，求双曲线的方程.2 210.垂直于x轴的直线交双曲线 务-弓=1右支于M N两点，A，A为双曲线的

7、左右两个 a b顶点，求直线 AM与AN的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状.12.4圆锥曲线的共同性质及应用A组1若方程2 2X y9-k 4 _k=1表示双曲线时，这些双曲线有相同的(A .实轴长B .虚轴长C .焦距2 22. P是双曲线 =1的右支上一点，9162y = 1上的点，贝U |PM| |PN|的最大值为(D .焦点M N分别是圆（x+ 5） 2+ y2= 4 和（x 5） 2 +）2 23 .设双曲线以椭圆 -1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线259的渐近线的斜率为()413A .二 2 B . C . D .+ 3244.设0 WaV 2 n,若方程2

8、.x Sina y cos a =1表示焦点在y轴上的椭圆，贝U a的取值氾围是.25.已知双曲线笃-y2a= 1(a 0)的一条准线与抛物线y2= 6x的准线重合，则该双曲线的离心率是.2 226.设F1、F2为曲线C1 :1的焦点，P是曲线C2:-y =1与G的一个交点,6 23pF Pfe，+求的值.|PF| PF2 27.设双曲线方程为F为双曲线的一个焦点,笃 与=1(a b 0) , P为双曲线上任意一点, a b讨论以|PF为直径的圆与圆 x2 + y2=a2的位置关系.&已知A (- 2, 0), B ( 2, 0),动点P与A、B两点连线的斜率分别为 kpA和kpB，且

9、满足 kpA kpb =t (t 丰 0 且 tz 1).(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 当tv 0时，曲线C的两焦点为F- F2,若曲线C上存在点Q使得/ F!QF2=120°,求t的取值范围.2 2m： 9x 16y=144,若椭圆m的顶点为焦点，则椭圆n怖峨“走是'、.)人.16.16.25.25A. x 二工B.x =工C.x=：D.x =工53432 2222.当 8v kv 17 时，曲线x y 1与x1有相同的()17 -k 8k8171.已知双曲线n以m的焦点为顶点，以A.焦距3.已知椭圆Bx22a.准线2；21c,O),(c,O),3A.B.3若c是

10、a,m的等比中项,二C21 -D.44.设椭圆2 x 2 m2L2nC .焦点 D.离心率2 2x y(a> b> 0),与双曲线2 - 2日(m> 0,n > 0)有相同的焦点(一m n2 2是2m与c的等差中项，则椭圆的离心率是(=1，双曲线2 x 2 m2y22 =1，抛物线 y=2(m+n)x(其中 m> n> 0)的离心 n率分别为e1、e2、e3,贝U ee2与e3的大小关系是.2 15. 一动圆圆心在抛物线 x2=2y上，过点(0,)且恒与定直线l相切，则直线l的方程()21 11A. x=B. x=C.D. y=2 161626. 已知定点A

11、 (0, t) (t z 0),点M是抛物线y =x上一动点，A点关于M的对称点是N.(1 )求N点的轨迹方程；(2) 设(1)中所求轨迹与抛物线 y2=x交于B, C两点，求当AB丄AC时t的值.2 2XV27. 直线I: x 2y + 3=0与椭圆C: 一十二=1交于A, B两点，R是抛物线 O: y =2px(p > 430)上一点.若直线I与C2无公共点，且 ABR有最小面积，求p的值和R点的坐标.4&设双曲线C的中心在原点，以抛物线y2=2.、3x-4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准 线为双曲线的右准线(1) 试求双曲线C的方程；(2) 设直线I: y=2x+1与双曲

12、线C交于A、B两点，求| AE| ；(3) 对于直线y=kx+1,是否存在这样的实数 k,使直线I与双曲线C的交点A B关于 直线y=ax(a为常数)对称，若存在，求出 k值；若不存在，请说明理由.12.4圆锥曲线的共同性质及应用【典型例题】2y =2px的焦点为(2,0)，2 2(1 )解：椭圆- y 1的右焦点为(2,0)，所以抛物线6 2则p =4，故选D.x210 -m 6 m=1(m ： 6)知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，2 2x 匚 =1(5 ： m ： 9)知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案 A.5 -m 9 -m(3) C.提示：用基本不等式.(4) m-p .

13、提示：分别用椭圆和双曲线的定义，并将两等式平方相减.(5) (-3, 1).提示：将问题转化成解不等式组问题.2例2(1)依据渐近线设双曲线方程，并用待定系数法求得双曲线方程是X1 ;(2)设Q点3 的坐标，用定比分点公式联列方程组，得Q(_2,0).2 2例3、(1 )设双曲线C2的方程为x _y =1,则a2 =4-1 =3，再由a2 b2 =c2得b2 =1. a2 b22故C2的方程为_y2 =1.32(2)将 y = kx 2代入 X y2 二 1 得(1 4k2)x28 2kx 4=0.4由直线I与椭圆C1恒有两个不同的交点得短=(8 一 2)2k2 -16(1 4k2) =16(

14、4k2 -1)0,即 k2-.42将y =kx.2代入 刍 -丫2 =1 得(1 _3k2)x2 _6.2kx _9=0.由直线I与双曲线C2恒有两个不同的交点 A , B得即k21 -3k -0, 2 =(-6 Vk)2 36(1 -3k2) =36(1-k2)0.-91-3k26/k设A(xa, yA), B(xB, yB),则xA xB,xA xBZk由OA OB ：6得xAxB yAyB < 6,而 XaXb YaYb 二 XaXb (kxA 、2)( kXB、2)= (k2 1)XaXb2k(XA Xb) 2296、2k=(k 1)2、2k 221 -3k21 -3k223k

15、7 -3k2 -1 .2 2于是3k_ 6,即堡戶3k -13k -113-0.解此不等式得k 或k215由、得121亠132k 或 k 1.4 315故k的取值范围为(-1,u(年马呢孕UC；'1)例4、（ 1）设曲线方程为y = ax264,7由题意可知，o =a 64 64 .71 2二曲线方程为y = x7C（x, y），根据题意可知64+ 7（2）设变轨点为2 y2 + =1,J1002512 丄 64y = x + ,、_779 y=4或y（不合题意，舍去）.4y =4.得x =6或x - -6 （不合题意，舍去） | AC | = 2、5,答：当观测点| BC | = 4

16、.得4y2A、B测得AC、BC距离分别为1.A .提示：可以分别求出 m, n.2.B.提示：求出基本量.3.C.提示：注意sin B的取值范围.4.B .提示：考虑对称性.5.2.提示：运用点到直线的距离公式后，说明点6.163.提示:可以利用距离相等求出圆心的坐标.7.6.提示：由抛物线方程得焦点坐标，进而得到【课内练习】标,QN与MN关于直线I对称, I PF |PF2 | 2C再由直线63 °sin 15sin 7512c2a=e、2si n603-7 y - 36 = 0 ,C点的坐标为（6, 4）,2.5、4时，应向航天器发出变轨指令P在椭圆内.P, Q的坐 求得X0._

17、 | PF1 | | PF2 | _,sin15 sin75 sin 15 cos15 '2a16 2 29.-1 提示：先求圆的切线方程，进而得到双曲线的渐近线方程，再用待定系255255数法求双曲线的方程.2 2x y10.飞 2 =1 , a=b时表示以原点为圆心，a为半径的圆；a>b时，表示焦点在 x轴上的 a b椭圆；avb时，表示焦点在 y轴上的椭圆.提示：设出点的坐标，写出直线方程（含参变量)，结合点在曲线上，消去参数.12.4圆锥曲线的共同性质及应用A组1. D .提示：焦点可以在不同的轴上.2设双曲线的两个焦点分别是Fi (- 5, 0)与F2 ( 5, 0),

18、则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P与M、Fi三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM| |PN|=( |PFi| 2)-( |PF2 1 )= 10- 1 = 9 故选 B.3. C .提示：求出基本量.4. (三西)U( 3旦).提示：二次项系数为正，且y2的分母较大.2 ' 42 ' 45. |.3提示：依据基本量之间的关系及准线方程，分别求出a,c .16. 3.提示：分别应用椭圆、双曲线的定义，求出|PF1| , |PF2|，再用余弦定理.7. 当点P在双曲线的右支上时，外切；当点 P在双曲线的左支上时，内切.提示：用双曲 线的定义及两圆相切时的几

19、何性质.2 2yV22XV8 (1)设点P坐标为(x,y),依题意得=t= y =t(x 4)+=1x+2x 24-4t2 2轨迹C的方程为+ L =1 （x丰一 2）.4-4t当一1v tv 0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆,设 PF1 =r1, PF2 = n,贝V n+ n=2a=4.在厶 F1PF2 中，F1F2 =2c=4 心 +t ,/ F1PF2=120，由余弦定理,得 4c2=r2 +r 2 2r1r2Cos120 = r2 +r 2 + nn2 21*2221=（r什 r2） -仃2（1+n） - （-）=3a, 16（ 1+t ） 12, / t一一.241 °

20、所以当一-w t v 0时，曲线上存在点 Q使/ F1QF2=1204当tv- 1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，设 PF1 =r1, PF2 =2,贝V1+r2=2a= 4 t,在厶 F1PF2 中，F1 F2 =2c=4l 1t.F1PF2=120°,由余弦定理，得 4c2=2 +r； -2rir2Cos120° = * +r； +也2 21 2 2 2 =(r什 r2)- rir2> (i+2)- (-) =3a , a 16 (- 1-1)>- 12t= t <-4.2所以当t<- 4时，曲线上存在点 Q使/ F1QF2=120°综上知当tv °时，曲线上存在点 Q使/ AQB=12° °的t的取值范围是1- ,° .1 4丿1. C 提示：注意基本之间的联系.2. A 提示：将方程均化为标准方程，再求其焦距.3. D 提示：联想基本量之间的关系.4. e®v es，提示：用离