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1、 5.3 隐函数与参数方程求导法则1、 隐函数求导法则 表示函数(对应关系)有多种不同的方法,其中有这样一种方法,自变量x与因变量y的对应关系是由二元方程F(x,y)=0所确定。定义 设有两个非空数集A与B.若,由二元方程F(x,y)=0对应唯一一个,则称此对应关系(或写为y=(x)是二元方程F(x,y)=0确定的隐函数。由隐函数的定义看到,二元方程F(x,y)=0确定的隐函数y=(x)(,)必是二元方程F(x,y)=0的解,因此,有 Fx,f(x)=0 (或Fx,f(x)0 ).例如,二元方程F(x,y)=2x-3y-1=0在R确定(从中解得)一个隐函数。事实上,由二元方程对应唯一一个,且
2、F(x , )=2x-3-10.二元方程F(x,y)=x+y-a=0(a0)在A=-a ,a确定两个连续的(B=0 ,+)与B=(- ,0)隐函数。事实上,由二元方程对应唯一一个=,且 与,且 于是,二元方程F(x,y)=x+y-a=0在A=-a ,a确定了两个连续的隐函数。 与。 这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间的上半圆周与下半圆周,如图5.5由此可见,所谓隐函数就是对应关系不明显的隐含在二元方程之中,相对隐函数来说,对应关系“明显”的函数,例如, , ,等等,就是显函数。在本节之前,所遇到的函数绝大多数都是显函数。值得注意的是,有些二元方程确定的隐函数并不能用代数方法从中解
3、出来,换句话说,隐函数不是初等函数或不能化为显函数。关于隐函数的存在性、连续性和可微性等理论问题将在第十一章介绍。本节所讨论的隐函数都是存在的,可导的。直接对隐函数所满足的方程求导,往往更便利些。由于二元方程确定的隐函数,有 .应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数,即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则:例1 求方程确定的隐函数的导数。解 方程两端对求导数,由复合函数的求导法则(注意,是的函数),有 , , ,解得隐函数的导数.例2 求方程确定的隐函数的导数。解 方程两端对求导数,由复合函数的求导法则(注意,是的函数),有 ,解得隐函数的导数 .例3 证明过双曲线上一点的切线方程
4、是 . (1)证明 首先求过点 的切线斜率 ,即求双曲线确定的隐函数 的导数在点的值. ,.解得.在点的切线斜率.从而,切线方程是 或 .因为点在双曲线上,所以.于是,所求得切线方程是 .当时,有.过双曲线上点的切线方程是,也满足(1)式.例4 证明抛物线 上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于.证明 在抛物线上任取一点,即.求抛物线在点的切线斜率.由隐函数求导法则,有 或.从而斜率.在点的切线方程是 .它在轴与轴上的截距分别是与.于是,二截距之和是 ( )+() =.求某些显函数的导数,直接求它的导数比较繁琐,这时可将它化为隐函数,用隐函数的求导法则求其导数,比较简单些。将显函数化为隐函数
5、常用的方法是在等号两端取绝对值再取对数,这就是对数求导法。适用于幂指函数以及其他一些函数.现举例如下:例5 求函数的导数。解 等号两端取绝对值的对数,有 .由隐函数的求导法则,有 ,即 .例6 求幂指函数的导数。解 将幂指函数等号两端取对数,有 .按隐函数求导法,对上式等号两端求导,有 ,由此得到 . 例7 求函数的导数. 解 等号两端取绝对值的对数,有 由求导数法则,有 ,即 .2、 参数方程求导法则 参数方程的一般形式是 若与都可导,且,又 存在反函数,则是的复合函数,即 , .由复合函数与反函数的求导法则,有 .这就是参数方程的求导公式。 例8 求椭圆上一点的切线斜率. 解法一 点 在上半椭圆上,从椭圆方程中解出上半椭圆方程是 , .则 解法二 由隐函数求导法,有 或 ,则 . 解法三 将椭圆化为参数方程 .点对应的参数.由参数方程求导法,有 则 . 例9 设炮弹的弹头初速度是,沿着与地面成角的方向抛射出去,求在时刻时弹头的运动方向
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