抛物线的标准方程及性质

1、抛物线的标准方程及性质一、抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中定点F叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线想一想: 定义中的定点与定直线有何位置关系?点F不在直线L上,即过点F做直线垂直于l于F，|FK|=P则P>0求抛物线的方程解：设取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线y轴 设KF= p 则F（），l：x = -。设抛物线上任意一点M（X，Y）定义可知 |MF|=|MN| 即： 化简得 y2 = 2px（p0）二、标准方程把方程 y2 = 2px（p0）叫做抛物线的标准方程，其中F（，0），l：x = - 而p 的几何意

2、义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离|FK|一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.1四种抛物线的标准方程对比图形标准方程焦点坐标准线方程2、怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来？ 顶点在原点 对称轴为x轴 对称轴为y轴标准方程为 标准方程为y2=+ 2px(p>0) x2=+ 2py(p>0) 开口与x轴 开口与x轴 开口与y轴 开口与y轴同向： 反向: 同向： 反向:y2=+2px y2=-2px x2=+2py x2=-2py(p>0) (p>0) (p>0) (p>0)三、

3、抛物线的性质设抛物线的标准方程y2=2px(p0)，则（1）范围：抛物线上的点(x,y)的横坐标x的取值范围是x0.,在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。（2）对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. （3）顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。（4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为1.（5）在抛物线y22px（p0）中，通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p.（6）平行于抛物线轴的直线与抛物线只

4、有一个交点. 但它不是双曲线的切线.（7）焦点弦长公式：过焦点弦长四、例题讲解例1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程(1)y2=6x （2） （3）2x2+5y=0解：（1）因为2p=6，p=3，所以焦点坐标是（，0） 准线方程是x=-（2）因为2p=，p=，所以焦点坐标是（0，）， 准线方程是Y=-（3）抛物线方程是2x2+5y=0, 即x2=-y, 2p=，则焦点坐标是F（0，-）, 准线方程是y=例2.根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点坐标是F（0，-2） (2)焦点在直线3x-4y-12=0上 (3) 抛物线过点A（-3，2）。解：(1)因为焦点在y轴的负半轴上，并且p/2

5、=2，p=4， 所以抛物线的方程是x2=-8y(2)由题意，焦点应是直线3x-4y-12=0与x轴或y轴的交点， 即A（4，0）或 B（0，-3）当焦点为A点时，抛物线的方程是y2=16x当焦点为B点时，抛物线的方程是x2=-12y(3) 当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2 =2py，当焦点在x轴的负半轴上时 得 p= 把A（-3，2）代入y2 = -2px，得 p=抛物线的标准方程为x2 =y或y2 = -x例3. 设P是抛物线上的一个动点。（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线的距离之和的最小值；（2）若B（3，2），求的最小值。解：（1）如图3，易知抛物

6、线的焦点为F（1，0），准线是由抛物线的定义知：点P到直线的距离等于点P到焦点F的距离。于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小。显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为，即为。图4图3（2）如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点P1，则，则有=4即的最小值为4巩固练习：1、已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为 解析：运用抛物线的定义，将到该抛物线准线的距离转化为到焦点的距离，如右图，当点与以及三点共线时，距离之和最小，即为2、已知A（3，1），抛物线上一点P（x,y），则|PA|+y

7、的最小值为 。解析：抛物线的准线为：y= -1，焦点F（0，1），记P在直线y= -1上的射影为Q，则y=|PQ|-1=|PF|-1，|PA|+y=|PA|+|PF|-1，问题转化为：求|PA|+|PF|的最小值，易见：|PA|+|PF|AF|=3，当且既当F、P、A共线时等号成立，故：|PA|+y的最小值为2。3、求证：以抛物线过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。证明：如图5，设抛物线的准线为，过A、B两点分别作AC、BD垂直于，垂足分别为C、D。取线段AB中点M，作MH垂直于H。图5由抛物线的定义有：ABDC是直角梯形即为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证。

8、4、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为 解析：如图，过点作垂直于准线于点，由抛物线定义得，又则，在中，即，此时垂直于轴，为等腰直角三角形，故面积为5、设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴.。证明：直线AC经过原点O,抛物线的焦点为F（，0），经过点F的直线AB的方程可设为x=my+，代入抛物线方程，得y2-2pmy-p2=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y1、y2是该方程的两根，y1y2=-p2.BCx轴，且点C在准线x=-上，点C的坐标为（-，y2）.直线OC的斜率为k=，即k

9、也是直线OA的斜率.直线AC经过原点O.6、A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OAOB（O为坐标原点）.求证：（1）A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；（2）直线AB经过一个定点.证明（1）设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y12=2px1、y22=2px2.OAOB,x1x2+y1y2=0，y12y22=4p2x1x2=4p2·(-y1y2).y1y2=-4p2，从而x1x2=4p2也为定值.（2）y12-y22=2p(x1-x2)，.由两点式可得：令y=0。可得直线AB与x轴的焦点坐标直线AB经过定点（2p，0）.7、若椭圆(ab0)的左、右

10、焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成53的两段，则此椭圆的离心率为 ： (A) (B) (C) (D)来源:Zxxk.Com解析：抛物线y2=2bx的焦点为F（，0），F将线段F1F2分成53的两段，（+c）：（c -）=53c=2be=,选D。8、斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长分析：这是灵活运用抛物线定义的题目基本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和解：如图831，y2=4x的焦点为F (1，0)，则l的方程为y=x1由消去y得x26x+1=0设A (x1，y1)，B (x2，y2) 则x1+x

11、2=6又A、B两点到准线的距离为，则9、如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.则APB的重心G的轨迹方程为 .解析：设切点A、B坐标分别为，y/=2x，两切线斜率分别为：2x0和2x1,于是：切线AP的方程为： 切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为 ，结合=代入点P所在在直线方程，得到重心G的轨迹方程为：注：上述求轨迹的方法称为“参数法”，一般先设法将动点坐标用“参数”表示，再消参数。10、过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线，分别交准线于P、Q两点，又过P、Q分别作抛物线对称轴OF的平行线

12、，交抛物线于M、N两点，则M、N、F三点（ ）A.共圆B.共线C.在另一抛物线上D.分布无规律【解析】设M(x1，y1)，（x2，y2），设抛物线方程为y22px.则F（，0），准线x=,P（，y1），（，y2）由PFQF得1，y1y2p2kMFkNFM、N、F共线.11、抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（ ）A.m+n=mnB.m+n=4C.mn=4D.无法确定【解析】抛物线y2=4x的焦点为(1，0)，当焦点弦与抛物线的轴垂直时，m=2,n=2,m+n=mn.当焦点弦与抛物线的轴不垂直时，设焦点弦所在直线方程为y=k(x1)(k0).把y=k(x1)代

13、入y2=4x并整理得k2x22（k2+2）x+k2=0.x1·x2=1,m=x1+1,n=x2+1,x1=m1,x2=n1代入x1x2=1得(m1)(n1)=1即m+n=mn.【答案】A课后作业：一、选择题1对抛物线y4x2，下列描述正确的是()A开口向上，焦点为(0,1)B开口向上，焦点为(0，)C开口向右，焦点为(1,0) D开口向右，焦点为(0，)解析：由y4x2得x2y，开口向上，焦点坐标为(0，)答案：B2焦点在直线x1上的抛物线的标准方程是()Ay22x Bx24y Cy24x Dy24x解析：由焦点在x1上，故焦点坐标为(1,0)，抛物线开口向右且1，p2，方程为y22

14、px4x.答案：D3若抛物线y2ax的焦点与椭圆1的左焦点重合，则a的值为()A4 B2 C8 D4解析：由椭圆可知左焦点坐标为(2,0)，抛物线开口向左且2，p4，故方程为y28x，a8.答案：C4抛物线y2x上一点P到焦点的距离是2，则点P坐标为()A(，±) B(，±) C(，±) D(，±)解析：设P(x，y)，则点P到焦点距离为2，点P到准线x的距离也是2，即x2，x，y±.答案：B5若A是定直线l外的一定点，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线一支 D抛物线图1解析：如图1，以直线l为y轴，以过点A且与l垂

15、直的直线为x轴建立直角坐标系，设动圆的圆心为P，则|PA|PB|.即动点P到定点A和到定直线l的距离相等，依定义可知，动圆圆心的轨迹为抛物线答案：D6已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()Ax22y1 Bx22y Cx2y Dx22y2解析：由yx2得x24y，F(0,1)设PF中点M(x，y)，P(x0，y0)则即.又(x0，y0)在x24y上，故4x24(2y1)得x22y1.答案：A二、填空题7过(2,4)点，顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线的标准方程为_解析：由已知可设抛物线方程为x2my代入点(2,4)得44m，m1故方程为x2y.答案：x2

16、y8已知抛物线yx2，过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A、B两点，则坐标原点与A、B两点构成的三角形的面积为_解析：由抛物线的方程可得：x24y，焦点坐标F(0,1)，将y1代入方程可得：x±2.|AB|4，SOAB·|OF|·|AB|×1×42.答案：29设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|_.解析：由y24x得F(1,0)，准线方程为x1，又0，可知F是ABC的重心，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，1，即x1x2x33.又抛物线定义可得|x11，|x21，|x31|x1x2x333

17、36.答案：6三、解答题10抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线1的一个焦点，并且这条准线垂直于x轴，又抛物线与双曲线交于点P(，)，求抛物线和双曲线的方程图2解：交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，可设抛物线方程为y22px(p>0)点P(，)在抛物线上，()22p×，p2，y24x.y24x的准线为x1，且过双曲线的焦点，c1，c1，即有a2b21，又点P(，)在双曲线上，1.联立，解得a2，b2，双曲线方程为4x2y21.故所求的抛物线与双曲线方程分别为y24x和4x2y21.11抛物线y22px(p>0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y2x，斜边长是5，求此抛物线方程解：设AOB为抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O，AO边的方程是y2x，则OB边的方程是yx.由可得点A坐标为(，p)由可得点B坐标为(8p，4p)|AB|5，5.p>0，解得p，所求的抛物线方程为y2x.12已知动点P(x，y)(y0)到定点F(0,1)的距离和它到直线y1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设圆M过点A