微积分简答题答案

1、微积分简答题答案您的位置：考核练习 >> 简答练习 当前练习：第一阶段基础测验窗体顶端 1、在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的庄子·天下篇中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，就是 的朴素思想。     问题反馈【教师释疑】、在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的庄子·天下篇中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，就是极限 的朴素思想。 2、公元3世纪，中国数学家刘徽的 ，就用圆内接正多边形周长去逼近圆周长这一极限思想来近似地计算圆周率率的 

2、60;   问题反馈【教师释疑】所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。 中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些

3、，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。 在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，

4、其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。 按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率 为3.14和 3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位。在西方，这个成绩是由法国数学家韦达于1

5、593年取得的,比祖冲之要晚了一千一百多年。祖冲之还求得了圆周率的两个分数值，一个是“约率” ，另一个是“密率”.，其中 这个值，在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得到的，都比祖冲之晚了一千一百年。刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重大贡献，历史是永远不会忘记的。 利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周。早在公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰

6、与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题。到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在论球和阅柱一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小。阿基米德又在圆的度量一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十 ，还说圆面积与夕卜切正方形面积之比为11：14，即取圆周率等于22/7。公元263年，中国数学家刘徽在九章算术注中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为徽率。书中还记载了圆周率更精确的值3927/1

7、250（等于3.1416）。刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。其思想与古希腊穷竭法不谋而合。割圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用262边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果。分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道。 3、极限概念产生于 ， 两个实际问题。     问题反馈【教师释疑】极限的概念产生于解决维分学与积分学的基本问题。极限概念产生于求曲边形

8、面积和曲线上任一点的切线两个实际问题。 4、常微分方程     问题反馈【教师释疑】如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程叫做常微分方程,也简称微分方程； 5、偏微分方程     问题反馈【教师释疑】如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分方程就是偏微分方程. 6、变量分离方程     问题反馈【教师释疑】分离变量法是一种解析常微分方程或偏微分

9、方程的方法。使用这方法，可以借代数来将方程式重新编排，让方程式的一部分只含有一个变量，而剩余部分则跟此变量无关。这样，隔离出的两个部分的值，都分别等于常数，而两个部分的值的代数和等于零。 1 利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。最后将这些通解“组装起来”。分离变量法是求解波动方程初边值问题的一种常用方法 7、什么是费马定理？     问题反馈【教师释疑】费马（Fermat）引理是实分析中的一个定理，以皮埃尔·德·费马命名。通过证明函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为

10、零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题。需要注意的是，费马引理仅仅给出了函数在某个点为极值的必要条件。也就是说，有些驻点可以不是极值，它们是拐点。要想知道一个驻点是不是极值，并进一步区分极大值和极小值，我们需要分析二阶导数（如果它存在）。当该点的二阶导数大于零时，该点为极小值点；当该点的二阶导数小于零时，该点为极大值点。若二阶导数为零，则无法用该法判断，需列表判断。）。费马定理：设在的某邻域内有定义，而且在这个领域上有（其中为局部最大值）或者（其中为局部最小值），当在处可导时，则有证明：因为假设存在，由定义可得左导数和

11、右导数均存在且满足：当时，所以当时，所以所以以上是对于这种情况进行的证明，同理也可证明这种情形 8、什么是罗尔定理？     问题反馈【教师释疑】罗尔定理：设在上连续，在上可导，若，则必有一点使得证明：分两种情况，若为常值，结论显然成立若不为常值，根据最大、最小值定理（有界闭区间上的连续函数具有最大值和最小值）可知，必在内某一点处达到最大值或最小值，再有费马定理可得， 9、什么是拉格朗日定理？它的辅助函数是怎样构成的?     问题反馈【教师释疑】拉格朗日中值定理：设在上连续，在上可导，则一定有

12、一点使证明：分两种情况，若恒为常数，则在上处处成立，则定理结论明显成立若在不恒为常数时，由于在上连续，由闭区间连续函数的性质，必在上达到其最大值和最小值，有一种特殊情况时，定理成立，这就是上面所证明过的罗尔定理考虑一般情形，做辅助函数由连续函数的性质及导数运算法则，可得在上连续，在上可导，且，这就是说满足刚刚的特殊情况，因此在内至少有一点，使得即定理得证柯西中值定理：若和在上连续，在上可导，且，则一定存在使证明：首先能肯定，因为如果，那么由拉格朗日中值定理，在内存在零点，因此与假设矛盾还是做辅助函数由，再由拉格朗日中值定理，可以证明定理成立 10、函数的性质有哪些？ 

13、60;   问题反馈【教师释疑】奇哦奇哦奇偶窗体底端11、单调函数的图像特点是总是 或总是 。     问题反馈【教师释疑】单调函数的图像特点总是上升或总是下降。 12、反函数的图像特点是关于 对称。     问题反馈【教师释疑】反函数的图像特点是关于y=x 对称。 13、从极限产生的历史背景来看，极限概念产生于解决微积分的基本问题：求 、 、 、 以及 在一点的切线问题。     问题反馈【教师释疑】从极限产生的历史背景来看，极限概念

14、产生于解决微积分的基本问题：求 面积，体积，弧长、瞬时速度以及 曲线在一点的切线问题。 14、极限概念描述的是变量在某一变化过程中的 。     问题反馈【教师释疑】·极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态。··极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态是一个无限逼近的过程是一个客观上存在但又永远达不到的数。· 15、线性相关     问题反馈【教师释疑】比如有三个数a，b，c如果存在不全为0的三个数m，n，k使得ma+nb+kc=0就说a，b

15、，c线性相关 否则若只有当m=n=k=0时成立，则它们线性无关其实a，b，c代表的东西很多，不一定就是数字，也可以是向量啊，等等数量也不一定是三个，在这只是举个例子，也可以是无限多个由此定义看出  是否线性相关，就看是否存在一组不全为零的数 k1, k2, ···,km使得上式成立。即是看  这个齐次线性方程组是否存在非零解，将其系数矩阵化为最简形矩阵，即可求解。此外，当这个齐次线性方程组的系数矩阵是一个方阵时，这个系数矩阵存在行列式为0，即有非零解，从而  线性相关。 16、极极 &

16、#160;   问题反馈【教师释疑】在数学中， 极线通常是一个适用于圆锥曲线的概念，如果圆锥曲线的切于A,B两点的切线相交于P点，那么P点称为直线AB关于该曲线的极点(pole)，直线AB称为P点的极线(polar) 17、无穷小量     问题反馈【教师释疑】无穷小量是极限为0的变量而不是数量0，是指自变量在一定变动方式下其极限为数量0，称一个函数是无穷小量，一定要说明自变量的变化趋势。例如  在  时是无穷小量，而不能笼统说  是无穷小量。也不能说无穷小是

17、60; ，  是指负无穷大。 18、请举例说明费马定理只给出了极值的必要条件而不是充分条件。     问题反馈【教师释疑】例如：直线y=c(c为常数),在任意一点都满足费马定理的条件,且导数值都是0,但是在任意一点处都不是极值点. 19、最大值与极大值是一回事吗？     问题反馈【教师释疑】：不是一回事.连续函数在某个闭区间上可能有多个极大值和极小值,但是最大值和最小值却各有一个. 20、求最大值或最小值通常要经过哪几个步骤？   &

18、#160; 问题反馈【教师释疑】答：（1）找出驻点和那些连续但不可导的点来,并计算出这些点的函数值；（2）计算出比区间端点处的函数值；（3）将以上个函数值进行比较,可得到最大值与最小值.（4）如果是应用问题,则需先分析题意,设变量,列出函数关系,在求出唯一驻点,它就是答案.21、若x1(t),x2(t),.x3(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是_。     问题反馈【教师释疑】w 22、方程组x/A(t)x的_称之为x/A(t)x的一个基本解组。     问题反馈【教师释

19、疑】n个线性无关解 1(t) (0) l 23、若若(t)是常系数线性方程组x/Ax的基解矩阵，则expAt =_。     问题反馈【教师释疑】(t) 24、满足_的点（x*,y*），称为方程组的奇点。     问题反馈【教师释疑】X(x,y)=0,Y(x,y)=0 25、可变成本     问题反馈【教师释疑】可变成本(Variable Costs)，又称变动成本，是指在总成本中随产量的变化而变动的成本项目，主要是原材料，燃料，动力等生产要素的

20、价值，当一定期间的产量增大时，原材料，燃料，动力的消耗会按比例相应增多，所发生的成本也会按比例增大，故称为可变成本。可变成本等于总成本减固定成本。 26、边际成本     问题反馈【教师释疑】在经济学和金融学中，边际成本指的是每一单位新增生产的产品（或者购买的产品）带来的总成本的增量。 这个概念表明每一单位的产品的成本与总产品量有关。比如，仅生产一辆汽车的成本是极其巨大的，而生产第101辆汽车的成本就低得多，而生产第10000辆汽车的成本就更低了（这是因为规模经济带来的效益）。 但是，考虑到机会成本，随着生产量的增加，机会成本也可能会增加。还是

21、这个例子，生产新的一辆车时，所用的材料可能有更好的用处，所以要尽量用最少的材料生产出最多的车，这样才能提高边际收益。边际成本简写为MC或MPC 27、长期总成本     问题反馈【教师释疑】长期总成本是长期中生产某一产量所花费的最低短期总成本。人们可以用这个来总结自己的总成本。 28、长期平均成本     问题反馈【教师释疑】长期平均成本是指工厂规模可以变动条件下，平均每单位产品所分摊的长期总成本。 29、导数的绝对值大小告诉我们什么？它反映在函数曲线上情况又怎样？ 

22、0;   问题反馈【教师释疑】 30、什么是极大值?     问题反馈【教师释疑】31、函数xxx上点点(0,1)处的切线方程是_。     问题反馈【教师释疑】 32、物体运动方程为S=111t（米）。则在t=1秒时，物体速度为V=，加速度为a=。     问题反馈【教师释疑】 33、若若若若ce2dx)x(f2x，则f(x)=_。     问题反馈【教师释疑】 34、求dy

23、 =f(x,y)满足足(x0)y0的解等价于求积分方程_的dx连续解。     问题反馈【教师释疑】 35、沉没成本     问题反馈【教师释疑】 36、显性成本     问题反馈【教师释疑】 37、隐性成本     问题反馈【教师释疑】 38、伯努利方程     问题反馈【教师释疑】 39、微分方程的定义。     问题反馈【教师释疑