示范教案一(离散型随机变量的分布列第2课时)分享

1、文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！ 示范教案一(离散型随机变量的分布列 第2课时) 课 题§1.1.2 离散型随机变量的分布列(二)教学目标(一)教学知识点1.离散型随机变量的分布列、随机变量的取值范围及取这些值的概率、分布列的两个基本性质.2.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.3.研究独立重复试验及相关的二项分布.(二)能力训练要求1.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列.2.能根据分布列求出某事件的概率.3.培养学生的收集信息、分析问题和解决问题的实际应用能力.(三)德育渗透目标通过离散型随机变量的分布列和独立重复试验及相关的二

2、项分布列的学习，使学生了解社会、热爱人生、热爱生命、学会生存、学会审美、学会收集信息和处理信息的能力，培养学生爱国精神和为中华民族的伟大的复兴和崛起而发奋读书的意识，培养学生刻苦钻研的坚强毅力的非智力因素，让他们树立自信心.教学重点离散型随机变量的分布列和二项分布，特别是运用分布列研究有关随机变量的概率，研究独立重复试验和其相关的二项分布.教学难点离散型随机变量的分布列的两个性质，二项分布P(=k)=与二项式定理的了解与区别.教学方法主动建构式的教学方式在教师的正确引导下，由学生已学过的有关知识，如离散型随机变量的取值及所取的值对应的概率，让学生积极主动地建构出离散型随机变量的分布列，由n次独

3、立重复试验发生k次的概率，主动建构二项分布这一重要的离散型随机变量的分布列.教具准备实机、幻灯片(两张)第一张：(记作§1.1.2 )问题1：抛掷一个骰子，设得到的点数为，则的取值情况如何 .取各个值的概率是什么？问题2：连续抛掷两个骰子，得到的点数之和为，则取哪些值，对于有一个的概率是什么？第二张：(记作§1.1.2 B)问题3：张华连续将一枚硬币抛掷10次，其中正面向上次数的随机变量为，则的取值为哪些？的各个值所对应的概率又是什么呢？请同学们计算，并设计1张表格，将有关数值填写进去.问题4：在上述问题中，如果张华是连续抛掷n次，其中正面向上的次数为，情况又如何呢？请你们

4、也设计一张表格，并考虑对于所有的值对应的各个概率之和为定值吗？你能将上述问题再进一步推广到一般情形吗？教学过程.课题导入同学们，上学期我们学习了概率知识，其中有这样的一个试验，(教师拿出一枚硬币)抛掷一枚硬币正面向上和反面向上的概率都是(教师边说边演示)，上节课我们也讨论这个随机试验中的随机变量，我们可以规定正面向上记为0，反面向上记为1，(板书0，1及概率，这时黑板上呈现的形状)这样我们把随机变量及相应的概率都一一列举出来，这就是我们今天这节课要学习的内容：离散型随机变量的分布列(二)(板书课题，左上角).讲授新课1.师(教师放幻灯片A)，请同学们看这样的两个问题：问题1：抛掷一个骰子，得到

5、的点数为，则的取值为 ，每一个所对应的概率是 .(用纸片遮住问题2)生(走到讲台上，边讲边写)，的取值为1，2，3，4，5，6(板书)，骰子各面向上的概率都是均等的，即等于.于是就有任何一个随机变量的所对应的概率都是.点评：这时学生就模仿老师讲课的姿势，按刚才掷硬币正面向上所得概率的表列一样写出：写完后，学生高兴地回到座位上.师讲得很好，但上述表中有点问题，两行数字，哪一行是随机变量的值，哪一行是对应的概率的值呢？生你写在黑板上表格也是这样的，我是照着你的样子写的.师这是我的错误，向大家检讨，做事应严谨，要一丝不苟才行.(教师实事求是的教学态度赢得广大学生的信任和高度的赞扬，这时课堂上的气氛开

6、始活跃了，学生研究问题、探究问题的情绪高涨)我现在把这两张表格补齐(第一行写上，第二行写上P).现在我们再来看问题2：连续抛掷两个，求所得的两个骰子的点数之和的取值及各个对应的概率是什么？生(站起来走到讲台上，拿起粉笔，边讲边写)，由于骰子是均匀的，每个面向上的概率都是相等的，即，而这两个骰子所得点数的取值是相互独立的.抛一个骰子得到点数为1，2，3，4，5，6.连续抛掷两个骰子，将以相同的概率得到以下36种结果之一：(板书如下)(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)；(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)；(3，1)，(3，2)

7、，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)；(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)；(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)；(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).以上的(i,j)表示抛出的第一个骰子得i点，且第2个骰子得j点.设两个骰子的点数之和为，则的取值及对应的概率如下表：生刚才的36种情形可以不要一一列举出来，我们可以用数形结合思想法，作出=i+j2,12,N在坐标系中的点.从这个图中一目了然的取值情况，的取值就是6×6正方形中的点(36个点)求横坐标与纵坐标之和，由对称性，

8、区域关于直线y=x对称，故只有11个值.然后再利用对称性找出的每个值的概率，从图形中，这样点出现的次数(关于y=x对称)，如=3时，直线y=x两侧各有一个点(1，2)，(2，1)，概率P(=3)=;又如=4时，直线y=x两侧各有一个点(1，3)，(3，1)，但直线上还有一点(2,1),这样=4就对应着3个点，它所对应的概率为.余下以此类推得到上述同学列出的概率表格.这就是我的想法，请老师和同学批评指正(这时班级同学给予掌声鼓励).师刚才两位同学的精彩表演，给我很大的启发，他们都是爱动脑筋，勤于思考的学生，这也是我们班级很有特色的学风.同学们严密科学的论证、实事求是的作风、谦虚务实的态度、敢于创

9、新的勇气值得我们教师学习.(学生被我这番小结深深感动，对教师的敬佩油然而起，课堂气氛十分活跃，打破师生之间的界限，这种融洽的、和谐的、民主的教学氛围是学生积极主动建构新知识最佳的途径之一)师问题1和2中随机变量可能取的值，以及取这些值的概率，从表中直观上可以看出这些.此表从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布状况，称为随机变量的概率分布.如何给出定义呢？生就是把刚才两个问题中的具体数字抽象化就可以了.师你说说看，如何抽象呢？又怎样表述呢？生设离散型随机变量可能取的值为x1,x2,xn,取每一个值xn(n=1,2,3,)的概率P(=xn)=pn,则称表为随机变量的概率分布,简称为的分布

10、列.(教师根据学生抽象概括的语言进行总结，并板书分布列的定义)师问题1和2的两个随机变量的概率分布表可以得出这个表格具有什么性质呢？连同我开始讲的抛掷硬币正面向上的概率分布(教师边说边指向黑板)，从这三个问题中进行总结概括.生任何一个随机变量的概率pn都是大于或等于0的，即pi0(i=1,2,3,).(教师板书)师请同学们再观察表格对于所取的所有值xi而言，所有的概率pi满足什么关系呢？生由“硬币”问题有：=1；由问题1有： =1；由问题2有： =1，于是我们可以猜想：一般地应有p1+p2+pn+=1.但我没有办法证明这是正确的，还是错误的.(该生也是走上讲台，指着三张表，进行总结概括，然后在

11、pi0，下方写出猜想).师他的猜想是正确的.这样我们就得到了随机变量的分布列的两个重要性质：(1)pi0,i=1,2,3,;(2)p1+p2+pn+=1.这两条性质都是由直觉猜想而得到的，这种思想方法在科学领域中是十分重要的，不少科学的发明、发现都是依靠直觉提出猜想和预见，然后再通过大量的试验或科学论证，才得到证实或否定，这样才能推动科学技术的发展，所以我们在以后的学习中要大胆猜想、科学地证明.(课堂反应：学生的脸上充满了喜悦的情绪，他们在议论着教师的总结)师(打出幻灯片B)，现在请同学们看问题3，并运用我们学过的知识回答问题.生(走向讲台，指着银幕说)连续抛掷10次，正面向上的次数取值为0，

12、1，2，3，10共11个值.每一个对应的概率为P(=k)=()k·(1)10k=·()n,这是由n次独立重复试验发生k次的概率Pn(k)=pk(1p)nk而得到的.可以得下表：师回答得很好，完全正确.对问题3，我们推广到一般情况呢？(打出问题4)生在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(=k)=pkqnk,其中q=1p,k=0,1,2,3,n.于是得到随机变量的概率分布如下：(学生边说边板书，列出上述表格)师由上述表格中各

13、概率的表达式，我们能联想到什么呢？生由p0qn,p1qn1,pkqnk, pnq0,我们联想到二项式定理(q+p)n的展开式:p0qn+p1qn1+pkqnk+pnq0.它们分别是这个展开式中的项.pkqnk是展开式中的第k+1项(k=0,1,2,n)中的各个值.师联想的正确.由于pkqnk恰好是二项展开式.(q+p)n=p0qn+p1qn1+pkqnk+pnq0中的第k+1项(这里k可取0，1，2，3，n)中的各个值，所以，称这样的随机变量服从二项分布.记作B(n,p),其中n,p为参数，并记pkqnk=b(k;n,p).例如：抛掷一个骰子，得到任一确定点数(比如2点)的概率都是.重复抛掷骰

14、子n次，得到此确定点数的次数服从二项分布，B(n,).又如，重复抛掷一枚硬币n次，得到正面向上的次数服从二项分布，B(n,).二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布.2.课本例题某一射手射击所得环数的分布列如下：师(分析)“射击一次命中环数7”是指互斥事件“=7”“=8”“=9”“=10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射击一次命中环数7”的概率.生(教师板书)解：根据射手射击所得环数的分布列，有P(=7)=0.09,P(=8)=0.28,P(=9)=0.29,P(=10)=0.22,所求的概率为P(7)=0.09+0.28+0.29+0.22=0.88.师若求此射手“射击

15、一次命中环数6”的概率.生由上述问题知：P(7)=0.88,所以P(6)=P(=6)+P(7)=0.06+0.88=0.94.师此射手“射击一次命中环数<4”的概率.生由对立事件的概率公式P()=1P(A)，我们只要计算P(4)的概率.因为P(4)=P(=4)+P(=5)+P(6)=0.02+0.04+0.94=1,“命中环数小于4”的概率为11=0.师由此题可以看出：一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和(教师板书).3.精选例题例1(2000年高考题)某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中，任意地连续取出2件，其中次品数的概率分

16、布是解：由题意“任意连续取出2件”可认为两次独立重复试验，则次品数服从二项分布.即(2,0.05)=0时，p1=0.952=0.9025=1时，p2=0.95×0.05=0.095=2时，p3=0.052=0.0025则：的概率分布为例2一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，求的分布列.分析：随机取出3个球的最大号码所有可能取值为3，4，5，6.“=3”对应事件取出的3个球，编号为1，2，3；“=4”对应事件取出的3个球中恰取到4号球和1，2，3号球中的2个；“=5”对应事件取出的3个球中恰取到5号球和1，2，3，4

17、号球中的2个；“=6”对应事件取出的3个球中恰取到6号球及1，2，3，4，5号球中的2个，而要求其概率则要利用等可能事件的概率公式和排列组合知识来求解，从而获得的分布列.解：随机变量的取值为3，4，5，6从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为，事件“=3”包含的基本事件总数为，事件“=4”包含的基本事件总数为；事件“=5”包含的基本事件总数为；事件“=6”包含的基本事件总数为；从而有P(=3)=P(=4)=P(=5)=P(=6)=随机变量的分布列为：评析：确定离散型随机变量的分布列的关键是要搞清取每一个值对应的随机事件.进一步利用排列组合知识求出取每个值的概率.例3在一袋中装有一只红球和九

18、只白球.每次从袋中任取一球，取后放回，直到取得红球为止，求取球次数的分布列.分析：袋中虽然只有10个球，由于每次任取一球，取后又放回.因此应注意如下几点.(1)一次取球两个结果：取红球(A)或取白球()，且P(A)=0.1(2)取球次数可能取1，2，；(3)由于“取后放回”.因此，各次取球相互独立.解：的所有可能取值为：1，2，n,.令Ak表示第k次取得红球，则由于各次取球相互独立，且取到红球的概率为p=0.1,于是得：P(=1)=P(A1)=p=0.1P(=2)=P(1A2)=P(1)P(A2)=0.9×0.1.P(=k)=P(12k1·Ak)=P(1)P(2)P(k1)

19、P(Ak)=(1p)(1p)(1p)p=0.9×0.9×0.9×0.1=0.9k1×0.1因此，分布列为评析：此例进一步抽象可表述为：在每次试验时，若事件A发生的概率为p，发生的概率为q=1p，则事件A首次发生的试验次数是一个随机变量，它的取值为1，2，n,其分布列为这类分布称为几何分布.这一模型具体化可表现在射击命中目标次数的讨论、也可体现在产品次品的抽查上，教材中曾多次出现，你能化归为一类数学模型去认识它们吗？例4某同学计算得一离散型随机变量的分布列如下：试说明该同学的计算结果是否正确.错解：以上计算结果正确.错因：由概率的性质可知，任一离散型随机变

20、量的分布列都具有下述两个性质：(1)pi0,i=1,2,;(2)p1+p2+=1(总概率为1).故只要有一条不满足，所得结果都不可能是任何离散型随机变量的分布列.解：因为p1+p2+p3=P(=1)+P(=0)+P(=1)=.不满足总概率为1这一条件，因而该同学的计算结果是错误的.课堂练习(一)课本P8练习第4题.(二)补充练习题A.选择题1.设随机变量的分布列为P(=i)=a()i, i=1,2,3,则a的值为( )A.1 B. C. D.答案：D解析：P(=1)=a·, P(=2)=a·()2, P(=3)=a·()3,由P(=1)+P(=2)+P(=3)=1

21、,知，a·()+a·()2+a·()3=1.a=.故本题应选D.2.设离散型随机变量的概率分布如下：则p的值为( )A. B. C. D.答案：C解析：P(=1)=, P(=2)=, P(=3)= ,P(=1)+P(=2)+P(=3)+p=1,p=1=.故本题应选C.3.如果是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( )A.取每一个可能值的概率是非负实数B.取所有可能值的概率之和为1C.取某两个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D.在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和答案：D解析:离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.4.已知随机变量服从二项分布，B(6, ),则P(=2)等于( )A. B. C. D.答案：D解析：已知B(6, ), P(=k)=pkqnk,当=2, n=6, p=时有P(=2)=()2(1)62=()2·()4=.B.填空题5.已知随机变量B(5,),则P(=3)