七年级数学9.3分式方程讲解与例题

1、9.3分式方程第8页 共6页学习目标1. 了解分式方程的意义,掌握解分式方程的一般步骤.了解解分式方程验根的必要性.思维导图2 .能熟练地解可化为一元一次方程的分式方程，并验根.3 .掌握列分式方程解应用题的基本步骤.4 .能熟练地应用分式方程的数学模型来解决现实情境中的问题.齐文范础羯镀，拿埋族本技跄1 .分式方程的概念(1)分母中含有未知数的方程叫做分式方程.(2)分式方程有而个童会用吊E: 一是方程；二是分母中含有未知数.因此整式方程和分2式方程的根本区别就在于分母中是否含有未知数.例如 x + -=2, 5=-=7Tx y y-2 x-2 2-x22x + 3 x _ 1 x+a x

2、_ b都是分式方程，而 x2x+1 = 0, =一彳一,一=2( x是未知数)等都是整式方32 b a程，而不是分式方程.【例1】下列方程中，分式方程有 ().(1)x+L = 3; (2)1=2; 兀x(3) 2x +x = 1； (4) -23=|-43 2，x 2 x+1A.1个B . 2个C. 3个 D . 4个解析：对于方程(1),因为兀是常数，所以该方程不是分式方程，是整式方程；方程(3)中的分母不含字母，所以不是分式方程.方程(2)(4)符合分式方程的概念，都是分式方程.答案：B2.分式方程的解法(1)把分式方程转化为整式方程，然后通过解整式方程，进一步求得分式方程的解，这是解分

3、式方程的关键.本章中，解分式方程都是把分式方程转化为一元一次方程，通过解一元一次方程求解分式方程.分式方程的解题思路如下图：去分母解整式方程分式方程 整式方程检验(2)解可化为一元一次方程的分式方程的一般步骤是：去分母，即在方程的两边乘以最简公分母，把原方程化为整式方程.解这个整式方程.验根：把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零， 使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去.程点(1)增根能使最简公分母等于 0; (2)增根是去分母后所得的整式方程的根.以上步骤可简记为“一去 (去分母)、二解(解整式方程)、三检验(检查求出的根是否是 增根)” .x 6【例2】解分式万程

4、：(i)xrr2+xT2 =1；736 x2+ x x-x2 x2- 1.分析：(1)中方程的最简公分母是(x2)(x+2); (2)中方程的最简公分母是 x(x+ 1)( x -1).当方程有根时，检验的过程可以简写为经检验.解：(1)原方程两边同时乘以(x2)( x+2),得 x(x+2)+6(x2) =(x2)( x+2),即 x2+2x+6x12=x24,解这个整式方程，得 x=1.经检验x= 1是原方程的解.故原方程的解是x= 1.(2)原方程可化为736x x + +x x x+ x，去分母，方r程两边都乘以 x(x+1)( x 1)后，原方程化为整式方程7(x1)+3(x+1)=

5、6x,解这个整式方程，得 x=1.经检验，x=1时，最简公分母 x(x+ 1)( x-1) = 0.故x=1是原方程的增根，原分式方程无解.森应在去分母时，根据等式的基本性质，方程左右两端的每一项都要同乘以最简公分母，要避免某一项漏乘，从而导致错误.如本题 (1)小题中右端的1去分母时，往往被 忽略，忘记乘以(x 2)( x + 2),从而导致错误.3.增根(1)增根的概念将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根.如：若方程 T+3 =x2得 2( x+ 2) + mx= 3( x 2),.这个方程有

6、增根， . x2 4= 0,解得 x= 2 或 x= 一 2.由于当x=2时，m= 4;当x= 2时，m= 6.故m= - 4或6.技巧解决此类问题可按如下步骤进行：(1)根据最简公分母确定增根；(2)化分式方程为整式方程；(3)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.4.分式方程的应用分式方程的应用主要是列方程解应用题， 它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基 本思路和方法一样，不同的是，因为有了分式的概念，表示数与数的相依关系的代数式不受 整式的限制.一般地，列分式方程解应用题步骤如下：(1)审题，了解已知数与所求的各是什么.(2)设未知数.(3)找出相等关系，列出分式方程.(4)解这个

7、分式方程.(5)检验，看方程的解是否满足方程，符合题意，写出答案.重点列分式方程解应用题的关键是用分式表示一些基本的数量关系，列分式方程 解应用题一定要验根，还要保证其结果符合实际意义.【例41】 2011年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心.“一方有 难、八方支援”，某厂计划生产1 800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前 3天完成了生产任务. 求原计划每天生产多少吨纯净水？解：设原计划每天生产x吨纯净水，则依据题意，得 1800-1800- = 3,整理得4.5 x = x 1.5 x900,解得x= 2

8、00.把x代入原方程，成立，因此x= 200是原方程的解.故原计划每天生产 200吨纯净水.【例4 2】甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起 跑，绕过P点跑回到起跑线(如图所示)；途中乒乓球掉下时需捡起并回到掉球处继续赛跑， 用时少者胜.结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了 6 s,乙同学则顺利跑完.事后，甲 同学说：“我俩所用的全部时间的和为50 s . ”乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍.”根据图文信息，请问哪位同学获胜？P30 m*II分析：用球拍托着乒乓球走的游戏，相信同学们看到过或亲身经历过，解此题，要注意在甲来回用时中不可漏加他浪费

9、的6 s.要判断谁获胜就是看谁来回用时少，根据对话情景可得相等关系：甲来回用时+乙来回用时=50 s,其中甲来回用时要包含掉球后浪费的6 s.解：设乙同学的速度为 x m/s ,则甲同学的速度为 1.2 x m/s.根据题意，得601.2 x60-=50, x解得x= 2.5.经检验，x=2.5是原方程的解.因此甲同学所用的时间为60r+6=26(s),1.2 x乙同学所用的时间为60 -,、=24(s).x因为2624,所以乙同学获胜.5.分式方程的特殊解法解分式方程，一般是在方程的两边都乘以最简公分母，化为整式方程求解.但有些特， 殊的方程，按此方法往往比较繁琐，而且易错，若根据分式自身的

10、特点，灵活处理，将已知 方程简化，会收到事半功倍的效果.如换元法、化归法、观察比较法、分离常数法、逐项通 分法等都是一些特殊的解法.(1)如果一个分式方程中，同一个分式的分子、分母最高次数相同，且左、右两边各个分式的分子、分母最高次数的项的系数之商减常数M(2)根据系数特点，逐项通分，使分子都为 就使方程的解答过程变得简单了.(或商的和)相等，同为常数 M那么方程两边同1,即利用分子相等时，分母也相等，这样【例5】解方程：(1)一 222x - 12 2x+6x 24x2- 5 x2+ 3x 11，1111(2) x + 2 x+ 3 x+4 + x+5解：(1)因为原方程可化为2x2- 12

11、x2 5-22x + 6x- 242 = 2 2.x + 3x 11 ，一 2 一 2所以5 =x2+3x11即 x25=x2+3x11,解得 x= 2.检验：把x= 2代入原方程，得左边=4,右边=4, 因此左边=右边，即 x = 2是原方程的根.因为原方程可化为&一七.卜 3一七尸，所以x+2 1 x+3 1x+1 x+；Jrr11即 x*Y, =Y,/|x* 彳，从而可得(x+2)( x+3) =(x+4)(x+5),解x十二x十i_rx十吐x十J得 x= 3.5.检验：当x= 3.5时，该分式方程中各分式的分母的值均不为0,所以x= 3.5为原方程的解.6.列方程解应用题的两种技巧(1

12、)利用列表法解分式方程应用题列分式方程解应用题同列整式方程解应用题一样，都需要寻找题目中的等量关系.其中，利用列表的方法可以很快地找到等量关系，从而比较方便地解决问题.(2)灵活选取未知数的设法列分式方程解决实际问题时，应根据题目的特点，采用灵活的设未知数的方法.如可采用直接设未知数法、间接设未知数法等得方程.直接设未知数法直接设未知数法是问什么就设什么为未知数的一种设元法.这种设法可以直接求得答案.间接设未知数法所谓间接设未知数法， 就所设的未知数并不是所要求的.间接设未知数法也是一种比较重要的解题方法.这种设未知数的方法易于问题的解决.【例6】王老师家在商场与学校之间，离学校1 km,离商

13、场2 km.一天王老师骑车到商场买奖品后再到学校，结果比平常步行直接到校迟20 min.已知骑车速度为步行速度的2.5倍，买奖品时间为10 min.求其骑车的速度.分析：题目中的相等关系是：王老师骑车到.校的行程为5 km所用的时间一步行走 1 km数的方法.解：10 , 一， ，一 ，、 一 所用的时间为 而小时（因为买奖品时间为 10 mi1n）.为了易于列出方程，可米用间接设未知设王老师步行的速度为x km/h ,则他骑车速度为 2.5 x km/h.这天王老师骑车到校的行程为5 km,比平常步行多用时间10 min.由题意，得510 12.5 x 60 x1111即一 1=一,一 =二

14、.x 6 x x 6所以x=6.经检验x= 6是原方程的根.因为当x=6时，2.5 x= 15.所以王老师骑车的速度为 15 km/h.技巧间接设法一般在利用直接设法数量关系不容易表达或无法表达时采用.本题 也可以采用直接设未知数的方法列方程.fcJt愿唯广度，学科创鼾费被7.与分式方程有关的综合题分式方程常与列代数式、不等式等知识综合出题，常见的有：求方程中字母系数的值及 取值范围、求满足条件的代数式中字母的取值等.此类型题主要考查分式方程的解法，解答时可根据要求列分式方程求解或把条件代入方程中求解新方程.,、，一，、一x+ 1 2a 3 一一工如a为何值时，关于 x的万程:=-的解等于零？

15、x - 2 a 十 5显然，要求解本题，可根据方程解的意义，先把x=0代入原分式方程，得到关于 a的方程，再解方程即可求出 a的值.这里要特别注意，关于 a的方程也是分式方程，因此不要漏了验根这一步骤. xm【例7】已知关于x的分式方程 一-2=一有正数解，试求 m的取值范围.x3x- 3分析：先由原分式方程得 x=6m要使x= 6m是原分式方程的正数解，一方面要保 证x=6m不是增根，另一方面要满足 x=6m0,综合以上两点的 m值才适合题意.x _ m .口 一解：由-2=二得 x = 6-m,x- 3 x- 3要使x= 6m是原方程的正数解，应满足的条件是xw3,即 6-m3,|x0,即

16、 6- n0,rn 3,解之可得, m6. 、一一 xm故当m5),则x的值是解析：本题以音乐学科和数学学科相融合来命题，使题目具有挑战性， 能够激发学生的解题热情.通过阅读材料可知，调和数15,12,10 ,其倒数满足式子112111=15 10 121111因而倜和数 x, 5,3( x5),应满足式子5-x = 3-.解这个方程，得x= 15.经检验：x= 15是原方程的根故填 15.答案：151 x1有增根，则这个增根一定是 x=2.2-x(2)增根产生的原因把分式方程转化为整式方程过程中，方程的两边都乘以的整式可能使分母为零，这样无形中去掉了原分式方程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，于是就产生了如下两种情况：(1)如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值范围内，那么整式方 程的根就是分式方程的根；(2)如果整式方程的有些根不在分式方程未知数的取值范围内， 那么这种根就不是分式方程的根，是分式方程的增根.因此，解分式方程时，验根是必不可少的步骤.、3-6【例31解万程yx =7“.分析：先去分母，再解整式方程，最后检验.