2020年领军高考数学(理)一轮必刷题函数的奇偶性与周期性(解析版)

1、第6页共7页2020年领军高考数学(理)一轮必刷题考点06函数的奇偶性与周期性1.下列函数为奇函数的是 ()A . f(x)=5B . f(x)= exC. f(x) = cos xD. f(x) = ex e x【答案】D. . . .v 1【斛析】对于 A, te义域不关于原点对称，故不是；对于 B, f(-x) = e =ex f(x),故不是；对于 C, f(x) = cos(-x) = cos x= f(x),故不是；对于 D, f(-x) = e xex=(exe x) = - f(x),是奇函数，故选 D.2.设函数f(x)=x+sin x(xC R),则下列说法错误的是()A

2、. f(x)是奇函数B. f(x)在R上单调递增C. f(x)的值域为RD. f(x)是周期函数【答案】D【解析】因为f(-x)=- x+ sin(-x)=- (x+ sin x)=f(x),所以f(x)为奇函数，故 A正确；因为f 'x)=1 +cos x>0,所以函数f(x)在R上单调递增，故 B正确；f(x)的值域为R,故C正确；f(x)不是周期函数，故 D 错误.3.对于函数f(x) = asin x+bx3+cx+ 1(a, b, cC R),选取a, b, c的一组值计算f(1), f(-1),所得出的正 确结果可能是()A . 2 和 1B . 2 和 0C. 2

3、和一1D. 2 和一2【答案】B【解析】设g(x)= asin x+ bx3+cx,显然g(x)为定义域上的奇函数，所以 g(1)+g(1)= 0,所以f(1) + f(1)= g(1)+g(1)+2=2,只有B选项中两个彳1的和为2.4.已知函数f(x) = ax2+bx是定义在a 1,2a上的偶函数，那么 a+b的值是()B.1D. 21C. -2【答案】B【解析】: f(x)是偶函数，f(x)= f(x), b= 0.又 a1 = 2a,a = 1,a+b=1.故选 b.335.已知 y=f(x)是偶函数，且当 0虫wi时，f(x) = sin x,而 y= f(x+1)是奇函数，则 a

4、=f( 3.5), b=f(7), c = f(12)的大小关系是()B . c< a< bD. avbvcA. cvbvaC. a< c< b【答案】B【解析】因为y=f(x)是偶函数，所以f(x)=f( x),因为y= f(x+1)是奇函数，所以f(x) = f(2 x),所以 f(-x) = - f(2-x),即 f(x)=f(x+4).所以函数f(x)的周期为4,又因为当0虫W1时，f(x) = sin x,所以函数在0, 1上单调递增，因为 a=f(3.5)= f(3.5+4) = f(0.5);b = f(7)=f(78) = f(1)=f(1),c=f(1

5、2) = f(1212) = f(0),又因为f(x)在0, 1上为增函数，所以 f(0) vf(0.5)vf(1),即 cv avb.6.已知函数f(x)在R上是奇函数，且满足 f(x+4) = f(x),当xC(2,0)时，f(x)=2x2,则f(2 019) =()A. - 2B. 2C. -98D. 98【答案】B【解析】由 f(x+4)=f(x)知,函数 f(x)的周期为 4,则 f(2 019) = f(504>4+ 3)=f(3), 又 f(3) = f(-1),且 f(-1)=2,f(2 019) = 2.7 .已知f(x)是定义在R上的奇函数，当xRO时，f(x) =

6、x2 + 2x,若f(2a2)>f(a),则实数a的取值范围是()A . (8, 1)U(2, +8)B, ( 1, 2)C. (-2, 1)D. (8, 2)U(1, +8)【答案】C【解析】 f(x)是奇函数，.,.当 xv 0 时，一x> 0, .-.f(-x)=(-x)2-2x, f(x) = x2-2x, f(x) = - x2+2x. 作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知 f(x)是R上的增函数，由f(2 a2)>f(a),得2 a2 >a,解得2vav1.8 .设e是自然对数的底数，函数f(x)是周期为4的奇函数，且当0Vx<2时，

7、f(x) = ln x,则ef)的值为()3B.D.3A. 5C.【答案】D【解析】因为函数以4为周期，所以fg ；= f|-4 ；= f 5 '：-=噜；=ln 5,所以ef(3)=eln 5奇.故选D.9 .对任意的实数 x都有f(x+2) f(x) = 2f(1),若y=f(x1)的图象关于x= 1对称，且f(0) = 2,则f(2 019) +f(2 020)=()A. 0B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】: y=f(x1)的图象关于x= 1对称，则函数y=f(x)的图象关于x=0对称，即函数f(x)是偶函数.令 x= - 1,则 f(-1 + 2)-f(-1)=2f(

8、1),即 f(1)-f(1) = 2f(1)=0,即 f(1)=0.则 f(x+ 2)-f(x) = 2f(1) = 0,即 f(x+2) = f(x),即函数的周期是 2,又 f(0)=2,则 f(2 019)+f(2 020) = f(1)+f(0)=0+2= 2,故选 B.10.已知偶函数f(x)的定义域为R,若f(x1)为奇函数，且f(2) = 3,则f(5) + f(6)的值为()A. -3B. - 2C. 2D. 3【答案】C【解析】依题意f(x)在(0, +8止单调递减，且在 R上是奇函数，所以f(x)在(8, 0)上单调递减，所以f(2)=- f(2) = 0,结合图象可知f(

9、x)>0的解集为(一8, 2) U (0,2),故选C.x2+x, x>Q11.已知函数f(x)=若af(a) f(a)>0,则实数a的取值范围是()|-3x, x<0,A . (1 , +8)B. (2, +8)C. (8, 1)U (1 , + 8)D. (8, - 2) U (2, + 8)【答案】B【解析】由题意，偶函数f(x)在0, +8正是减函数，即不等式 f(a)弄x)对任意xC 1,2恒成立，即不等式f(|a|)好x|)对任意xC 1,2恒成立，所以 同双网任意xC 1,2恒成立，所以|a| 则1 qw做选B.12.已知函数f(x)对任意xC R,都有f

10、(x+6)+f(x)=0, y=f(x1)的图象关于点(1,0)对称，且f(2)=4,则f(2 014)=()A. 0B. - 4C. 8D. - 16【答案】B【解析】由题意可知，函数 f(x)对任意 xC R,都有 f(x+6) = f(x), .f(x+12)=f(x+6)+6 = -f(x+ 6) = f(x),，函数f(x)的周期T=12.把y=f(x 1)的图象向左平移1个单位得y=f(x1 + 1)=f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，f(2 014) = f(167M2+10) = f(10) = f(1012) = f( 2)=f(2) = 4.故

11、选 B.13 .已知定义在R上的函数f(x)满足f(x 3) = f(x),在区间0, 31上是增函数，且函数y=f(x 3)为奇函数，则()A. f(31)vf(84)vf(13) B. f(84)vf(13) Vf(31) C. f(13)vf(84) Vf(31) D. f(31)vf(13)vf(84) 【答案】A.【解析】根据题意，函数f(x)满足f(x3) = f(x),则有f(x6)=f(x 3)=f(x),则函数f(x)为周期为6的周期函数.若函数y=f(x3)为奇函数，则f(x)的图象关于点(一3, 0)成中心对称，则有 f(x) = f( 6 x),又由函数的周期为6,则有

12、f(x) = -f(-x),函数f(x)为奇函数.又由函数在区间0, 3 上是增函数，则函数f(x)在-2, 3 上为增函数，f(84) = f(14>6+0) = f(0), f(-31) = f(-1-5X6) = f(-1), f(13) = f(1 + 2X6) = f(1), 则有 f(-1)<f(0)<f(1),即 f(-31)<f(84)<f(13),故选 A.14 .已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，且当0<x<1时，f(x)=9x,则f 5 ;+ f(2) =. 【答案】3【解析】.函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇

13、函数,.f52厂又当 0<x<1 时,f(x)=9x,f 5 2 '厂-91=- 3.又 f(2) = f(0)=0, 卜2 f(2) = 3.15 .定义在 R上的奇函数f(x)满足f(x 4) = f(x),且在0, 2上为增函数，若方程 f(x)=m(m>0)在区间8, 8上有四个不同的根 x1，x2, x3,凡，则x+x2+x3+x4的值为 .【答案】8【解析】因为f(x 4)=f(x),所以f(x 8) = f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由f(x 4) = f(x) 可得 f(x+ 2) = - f(x+6) = -f(x- 2),因为

14、f(x)是奇函数，所以 f(x+2) = f(x 2)=f(2-x),所以 f(x)的图象 关于直线x = 2对称，结合f(x)在0, 2上为增函数，可得函数f(x)的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2%6),另两个交点的横坐标之和为2X2,所以x1 + x2+x3+x4=8.J 716,若函数f(x)=ax2+bx+ 1是定义在1 a,2a上的偶函数，则f(2a-b)=.【答案】5【解析】函数 f(x)= ax2+ bx+ 1是定义在1 a,2a上的偶函数，1 - a + 2a= 0,即a=1.f(x)=f(-x),ax2+ bx+ 1 = ax2 bx+ 1,

15、 1. b= 0,即 f(x)= x2+ 1.则 f(2a b) = f(2) = 5.17 .已知函数f(x)在R上为奇函数，且 x>0时，f(x)=,+ 1,则当x<0时，f(x) =.【答案】户:-1【解析】: f(x)为奇函数，且 x>0 时，f(x)=qx+1，当 x<0 时，即一x>0,有 f(x)= - f(-x)= - (x+ 1),即 x<0 时，f(x)= (+ 1) = « x 1.18 .已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当 xRO时，f(x)=x2+2xf(2a2)>f(a),则实数a的取值范围 是. !oiEy

16、fe >1-1> OFK【答案】(2,1)【解析】f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=x2+2x.做出函数f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知f(x)是 R 上的增函数.由 f(2 a2)>f(a),得 2a2>a,解得一2<a< 1.-x2+2x, x>0,19 .已知函数f(x)=<0, x=0,是奇函数.、x2 + mx, x<0(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1, a2上单调递增，求实数 a的取值范围.【答案】【解析】 设 x<0,则一x>0 ,所以 f(-x)=- (-x)2+2(-x)=

17、- x2-2x.又 f(x)为奇函数，所以 f(-x) = - f(x),于是 x<0 时，f(x)= x2+2x= x2+mx,所以 m= 2.(2)要使f(x)在1, a2上单调递增,一人 ，一.- a - 2>一1,结合f(x)的图象(如图所不)知a-2<1所以1vaW3,故实数a的取值范围是(1,3.20.已知函数f(X)的定义域为D = X|XW0且满足对任意X1,X2CD,有f(XiX2)= f(Xl)+ f(X2).求f(1)的值；(2)判断f(X)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)=1, f(X1)<2,且f(X)在(0, +8止是增函数,求 x

18、的取值范围.【答案】(1) 0(2) f(x)为偶函数(3)( 15,1) U (1,17)【解析】(1).对于任意 X1, X2D,有 f(X1 X2)=f(X1) + f(X2), .令 X1 = X2=1,得 f(1) = 2f(1) ,f(1) = 0.(2)f(x)为偶函数.证明：令 X = X2= 1,有 f(1)=f(-1)+f(-1),一 ,、 1-f(-1)=2f(1) = 0.令 X1 = 1, X2=X,有 f( x) = f(1)+f(x), ，f(x)=f(x),，f(x)为偶函数.(3)依题意有 f(4 冲)=f(4) + f(4) = 2,又由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)<2? f(|x1|)<f(16). f(x)在(0, +8)上是增函数,.0<|X 1|