2012年上海市春季高考数学试卷答案与解析

1、2012年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，要求直接填写结果，每题答对得4分,否则一律得零分。1. （4 分）（2012?上海）已知集合 A=1 , 2, k, B=2 , 5.若 A U B=1 , 2, 3, 5,则 k= 3 .考点：并集及其运算.专题：计算题.分析：根据集合的并集运算定义即可得k的值解答：解：. A=1 , 2, k, B=2 , 5,且 A U B=1 , 2, 3, 5 3CAk=3故答案为：3点评：本题考查集合的并集运算.首先要求掌握并集的定义，注意并集中的元素与原集合的 关系.属简单题2. （4分）（2012

2、?上海）函数 y='T历的定义域是 -2. +A .考点：函数的定义域及其求法.专题：计算题.分析：根据根号有意义的条件的条件进行求解；解答：解：:函数y=Vx+2, x+2 用， x 2,故答案为：-2, +8）;点评：此题主要考查函数的定义域及其求法，是一道基础题；3. （4分）（2012?上海）抛物线 y2=8x的焦点坐标是（2, 0）.考点：抛物线的简单性质.专题：计算题.分析：根据抛物线的标准方程，进而可求得p,根据抛物线的性质进而可得焦点坐标.解答：解：抛物线y2=8x,所以p=4,所以焦点（2, 0）,故答案为（2, 0）.点评：本题考查抛物线的交点，部分学生因不会求p,

3、或求出p后，误认为焦点（p, 0）,还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论4. （4分）（2012?上海）若复数z满足iz=1+i （i为虚数单位），则z= 1 i .考点：复数代数形式的乘除运算.专题：计算题.分析：由iz=1+i,两边除以i,按照复数除法运算法则化简计算.解答：解：由 iz=1+i ,得 z=-ltl一一' -=1 ii - i （-i）故答案为：1-i.点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念.属于基础题.5. （4分）（2012?上海）函数f （x） =sin （2x+）的最小正周期为兀4考点：三角函数的周期性及其求法.专题：计算题.廷中，即可求出

4、函数的最小正周期. |分析：由函数解析式找出 3的值，代入周期公式 T=解答.解：f (x) =sin (2x+), 4-卡2, T- 一万-1=兀）2则函数的最小正周期为兀.故答案为：兀 点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键.6. （4 分）（2012?上海）方程 4x- 2x+1=0 的解为 x=1.考点：有理数指数哥的运算性质.专题：计算题.分析：由于4x=22x,代入方程关系式即可.解答：解：4x=22x,方程 4x-2x+1=0 可化为：22x=2x+1,2x=x+1 , x=1 .故答案为：1 .点评：本题考查有理数指数哥的运算性质，熟练掌握数指

5、数哥的运算性质是解题的基础，属于基础题.7. （4分）（2012?上海）若（2x7）5;5十力肝治工24&#'+5” +气工5,则ao+a1+a2+a3+a4+a5= 1.考点：二项式定理的应用.专题：计算题.分析：直接令变量为1即可求出所有项的系数之和，即为结论.解答：解：令 x=1 可得，（21） 5=i=a0+a1+a2+a3+a4+a5,贝U a0+ai+a2+a3+a4+a5=1,故答案为：1 .点评：本题考查二项式定理的运用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合 适的数值代入.8. （4分）（2012?上海）若f （x）=但也一为奇函数，则实数 m= 2

6、考点：函数奇偶性的性质.分析：由f （x）=（工+2）（冀+m）为奇函数,可得f（ 1）=-f（l）,代入可求解答：解： f （x）=（工2）_为奇函数,xf （- 1） = - f （1）即 m - 1=3 （1+m）m= - 2故答案为：-2点评：本题主要考查了奇函数的性质的简单应用，属于基础试题9. （4分）（2012?上海）函数y=-（工七2, 4）的最大值为 _5; log2x:复合函数的单调性；函数的最值及其几何意义.:计算题. 一d,利用换元法，设t=log2x,则tq1, 2,将问题转化为求函数y=t+-在1 , 2上的最大值问题，利用导数证明此函数为减函数，利用单调性求最值即

7、可 解答：解：设 t=log2x, . xC2, 4,，tq1, 2A4y=t+上的导函数 y = 1?<0 tQ1, 21?y=t+ W在1 , 2上为减函数， ty=t+§的最大值为1+-=5y= log9s-H2, 4）的最大值为 5 w log2x故答案为5点评：本题主要考查了复合函数的最值的求法，换元法求函数的值域，利用导数求函数在闭区间上的最值问题的解法，转化化归的思想方法10. （4分）（2012?上海）若复数z满足忆-i|离万（i为虚数单位），则z在复平面内所对应的图形的面积为2兀.考点：复数的代数表示法及其几何意义.专题：计算题；数系的扩充和复数.分析：由|z

8、-i|/的几何意义可知，点Z的轨迹是以（0, 1）为圆心，加为半径的实心圆.由 圆的面积公式可得答案.解答：解：|z- i|R,z在复平面内所对应的点 Z的轨迹是以（0, 1）为圆心， 加为半径的实心圆，该圆的面积为：兀（肥）2=2兀.故答案为：2兀点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，理解 熏Z的轨迹是以（0,1）为圆心，听为半径的实心圆”是解题的关键.11. （4分）（2012?上海）某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为 “ .（结果用数值表示）一k考点：等可能事件的概率.专题：计算题.分析：根据题意，首先计算从2名

9、男生和4名女生中选出4人数目，再分析选出的 4人中只 有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的 概率公式，计算可得答案.解答：解：根据题意，从2名男生和4名女生中选出4人，有C64=15种取法，其中全部为女生的有 C44=1种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4名志愿者中，男、女生都有的情况有15-1=14种，则其概率为1415'，,2考点：元二次不等式的应用.故答案为：15点评：本题考查等可能事件的概率计算，在求选出的志愿者中， 男、女生都有的情况数目时,可以先求出只有男生、女生的数目，进而由排除法求得.12. （4分）（2012?上海）若不等式

10、x2- kx+k - 1>0对xC （1, 2）恒成立，则实数 k的取值范围是k的取值范围.专题：综合题.分析：根据题意，分离参数，利用函数的单调性，即可得到实数 解答：解：不等式 x2 kx+k 1 >0 可化为(1 x) k> 1 - x2，xC (1, 2)1-2k<=1+xy=1+x是一个增函数k 司+1=2，实数k取值范围是（-h2故答案为：（-8, 2点评：本题考查一元二次不等式的应用，解题的关键是分离参数，利用函数的单调性确定参 数的范围.13. （4分）（2012?上海）已知等差数列an的首项及公差均为正数，令（nEN*, n<2012） .当 b

11、k是数列bn的最大项时，k= 1006工i V n V ±ui1± ti考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质.专题：综合题；压轴题.分析：设府>，石斫产由河+际二（nWN*, n<2012），根据 基本不等式（x+y ） 2=x2+y2+2xy a2+y2+x2+y2=2 （x2+y2）,得 bn2=（寸£+Ja20122或(an+a20i2-n) =2 (2ai006)=4ai006,由此能求出结果.解口.解：设百内, 7a20?2-n=y，根据基本不等式(x+y ) 2=x2+y2+2xy .2+y2+x2+y2=2 (x2+y2), 22得

12、bn =+机2(2' a 3n+a2012-n)=2(2a1006)=4a1006,当且仅当an=a20i2-n时，bn取到最大值，此时 n=1006,所以 k=1006 .故答案为：1006.点评：本题考查数列与不等式的综合应用，具体涉及到等差数列的通项公式、基本不等式的性质等基本知识，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.14. （4分）（2012?上海）若矩阵all al2a21 a22满足 a11, a12, a21, a22 q T , 1,且all a12a21 a22二0,则这样的互不相等的矩阵共有8个.考点：二阶矩阵.专题：计算题；压轴题.分析：根据题意，

13、分类讨论，分主对角线相同、相反，即可得出结论.解答： I巴 注一 aH a2_ _八一 一 一.用牛. ,一 a a 22 a z a21 一。， a11 , a125 a21 5 a22 q 1 , 1,矩阵all可以是-1 11 -1故答案为:点评：本题考查二阶矩阵，解题的关键是利用二阶矩阵的含义，属于基础题.二、选择题(本大题满分个结论是正确的，选对得20分)本大题共有 4题，每题都给出四个结论，其中有且只有 5分，否则一律得零分。15. (5 分)(2012?上海)222?已知椭圆 Ci： +=1, C2： +=1 ,则（）12 416 8A. Cl与C2顶点相同B. Ci与C2长轴长

14、相同C. Ci与C2短轴长相同D.Ci与C2焦距相等考点：椭圆的简单性质.专题：计算题.分析：求出两个椭圆的a, b, c即可判断选项.解答：解：因为椭圆+=1,所以a=2V3, b=2, c=2、注.1 12 4椭圆金+看=1 ,所以a=4, b=2&, c=2近；所以两个椭圆有相同的焦距.故选D.点评：本题考查椭圆的基本性质，考查计算能力.16. (5分)(2012?上海)记函数 y=f (x)的反函数为y=f 1 (x).如果函数y=f (x)的图 象过点(1, 0),那么函数y=f 1 (x) +1的图象过点()A . (0, 0)B. (0, 2)C. (1,1)D, (2,

15、 0)考点：反函数.专题：计算题.分析：由题意可知，y=f 1 (x)必过点(0, 1),从而可得答案.解答：解：.=£ (x)的图象过点(1, 0),，其反函数y=f 1 (x)必过点(0, 1),即f 1 (0) =1,. y=f 1 (x) +1 的图象过点(0, 2).故选B.点评：本题考查反函数的概念， 理解互为反函数的两个函数的定义域与值域之间的关系(互 换)是关键，属于基础题.17. （5分）（2012?上海）已知空间三条直线1、m、n.若1与m异面，且1与n异面，则（）A . m与n异面B . m与n相交C. m与n平行D . m与n异面、相交、平行均有可能考点：平面

16、的基本性质及推论.专题：作图题；压轴题.分析：可根据题目中的信息作图判断即可.解答：解：空间三条直线1、m、n.若l与 m异面，且l与n异面, m与n可能异面（如图3）,也可能平行（图1）,也可能相交（图 2）,点评：本题考查平面的基本性质，着重考查学生的理解与转化能力，考查数形结合思想，属 于基础题.18. （5分）（2012?上海）设。为4ABC所在平面内一点.若实数x、y、z满足xOA+yOB+zOC = O , （x2+y2+z2加），则xyz=0”是 尊O在4ABC的边所在直线上”的（）A.充分而不必要条件C.充要条件B.必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分

17、条件与充要条件的判断.专题：常规题型；压轴题.分析：.画出草图，根据已知条件 xOA+yOB+z口C=0移项得xOA+y 0B= - zOC,再由xyz=0 ,推出x, y, z只有一个为0,再根据三角形的性质进行求解；二 解：: O为4ABC所在平面内一点.实数x、y、z满足xOA+yOB+zOC= 0（x2+y2+z2用）,. . xOA+y 0B= - zOC,若xyz=0"则x、y、z中只能有一个为 0,（否则若x=y=0 ,可推出z=0,这与x2+y2+z2加 矛盾）假设x=0 （y、z不为0）,可得yOB= -zQC，而二-义OC，" y，向量65和66共线，O

18、只能在4ABC边BC上；若点O在4ABC的边所在直线上，假设在边 AB上，说明向量 而和演共线，z=0,xyz=0 ,Xyz=0”是 点O在4ABC的边所在直线上”的充要条件；故选C.点评：此题以三角形和平面的向量为载体，考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，是一道基础题.三、解答题（本大题满分 74分）本大题共有 5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。19. （12分）（2012?上海）如图，正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面边长为1,高为2, M 为线段AB的中点.求：（1）三棱锥 C1-MBC的体积；（2）异面直线CD与MC1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）DCj考点

19、：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积.专题：计算题；证明题.分析：（1）连接CM，根据M为AB中点，且正方形 ABCD边长为1 ,得到 BCM的面积为S=1S正方形abcd=± 因为CC1,平面ABCD ,是三棱锥C1 - MBC的高，所以利用 44锥体体积公式，可得三棱锥C1 - MBC的体积；（2）连接BC1,正方形 ABCD中，因为CD/AB,所以/ C1MB （或其补角）为异面直线CD与MC1所成的角.RtAMC1B中，可算出BC1=V$ 而mb=2ab=2,利22Bg 厂用直角三角形中三角函数的定义，得到tan/ C1MB=f"=245,所以异面直线 C

20、D与MC 1所成角为 arctan 24三.解答：解：（1）连接CM,正方形 ABCD中，M为AB中点，且边长为1,.BCM的面积为S=_1s正方形ABCD=1 .44又 C”平面ABCD ,.CCl是三棱锥 Cl - MBC的高，三棱锥Ci - MBC的体积为：Vci mbc="!工>2:！；3 46(2)连接BCi CD / AB ,，/ CiMB (或其补角)为异面直线CD与MCi所成的角. . ABL平面 BiCiCB, BC1?平面 B1C1CB,AB ± BCi，RtMClB 中，BCi =JbC2 + CC = =，MB=-AB=-22一 BC 1rz

21、. tan/ CiMB= 广=>力I所以异面直线 CD与MC1所成角为arctan 2泥.本题给出一个特殊的正三棱柱，求其中的异面直线所成角和三棱锥体积，着重考查了棱锥的体积公式和异面直线及其所成的角等知识点，属于中档题.20. （i4分）（20i2?上海）某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）.（i）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为i0分钟，求内环线列车的最小平均速度；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为 30千米/小时.现内、外环线共有 i8列列车全部投入运行，要使内外

22、环线乘客的最长候车时间之 差不超过i分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？ 考点：函数模型的选择与应用.专题：应用题；综合题.分析：（i）设内环线列车的平均速度为v千米/小时，根据内环线乘客最长候车时间为i0分钟，可得 粤X60410,从而可求内环线列车的最小平均速度；9v（2）设内环线投入x列列车运行，则外环线投入（i8-x）列列车运行，分别求出内、外环线乘客最长候车时间t =2X60-，t 型乂房n 6。 根% 25工 2-区t2-3Q (13_x) 'BO-一据I t - t 2 I二I丝Kl，解不等式，即可求得结论.解答：解：(1)设内环线列车的平均速度为10分钟，可得-|X

23、60<10v千米/小时，则要使内环线乘客最长候车时间为v 或0，要使内环线乘客最长候车时间为小时；(2)设内环线投入 x列列车运行,10分钟，内环线列车的最小平均速度是20千米/则外环线投入(18-x)列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为则 t/x60，t1, t2分钟，t =21_会 口二上_2 3018 - x岛飞x2- 150x+1296<0x2+114x- 1296<0.150- V17316-114+V181802x CN + ,x=10，当内环线投入10列列车运行，外环线投入 8列列车时，内外环线乘客的最长候车 时间之差不超过1分钟.解题的关键是正确求出点

24、评：本题考查函数模型的构建，考查利用数学模型解决实际问题, 乘客最长候车时间.221. (14分)(2012?上海)已知双曲线 C1：(1)求与双曲线 Ci有相同焦点，且过点 P (4, V3)的双曲线C2的标准方程;(2)直线l： y=x+m分别交双曲线 C1的两条渐近线于 A、B两点.当 国诬二3时，求实 数m的值.考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程.专题：综合题.分析：(1)先确定双曲线 C*2 -宁=1的焦点坐标，根据双曲线 C2与双曲线C1有相同焦点，且过点 P (4, V3),建立方程组，从而可求双曲线C2的标准方程；(2)直线方程与双曲线 C1的两条渐近线联立，求出

25、 A、B两点的坐标用坐标，利用 数量积，即可求得实数 m的值.解答:2解：（1）二.双曲线Ci：工2 一二二1，4，焦点坐标为（加，0）,（ 一加，0）22设双曲线C2的标准方程为 工- Ji (a> 0, b>0), 2 i 2Ta b双曲线C2与双曲线Ci有相同焦点，且过点 P （4, Vs）.-16 3 ,解得之二2-_ 之1 b=i【a b2，双曲线C2的标准方程为 工-V?二14(2)双曲线Ci的两条渐近线为 y=2x, y=-2x,(v=2x 一口., 一、由，,可得 x=m , y=2m , . A (m, 2m)、尸 x+mf y= - 2iti9i由,可得 x=一

26、工m, y=±m, . . B (-3339 、 m, 'm)30A*0B=3m2=3点评：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量的数量积，联立方程组是关键.22. （16 分）（2012?上海）已知数列an、bn、cn满足（%+%）必+二5（rEN”）（1）设？=3n+6, an是公差为3的等差数列.当bi=1时，求b2、b3的值；（2）设心目二言, "=n* _ 2n 求正整数k,使得对一切nCN ,均有bnbk；（3）设cn=2n +m an=当b1=1时，求数列bn的通项公式.考点：数列递推式；数列的函数特性.专题：计算题；

27、压轴题；分类讨论.分析：（1）先根据条件得到数列bn的递推关系式，即可求出结论；（2）先根据条件得到数列bn的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出结论;（3）先根据条件得到数列bn的递推关系式；再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列bn的通项公式，最后综合即可.:解：(1)bn+1 - b1=1, , " b2=4,''' an+1 an=3, bn=n+2,b3=8.(2) an+1 an=2n 7,3bn+1 - bn=2n - 7由 bn+1 - bn>0,解得 nN,即 b4Vb5Vb6；由 bn+1 - bn< 0,解得 n<3

28、,即 b1>b2>b3>b4.k=4.n+1(3) . an+1 - an= ( T ), bn+1 bn= ( 1) n+1 (2n+n).bn bn-1= ( 1) n (2n 1+n 1) (n或).故 b2 b1=21+1 ；b3- b2= ( - 1) (22+2),bn 1 - bn 2= (1) n 1 (2n 2+n 2).bn - bn 1= ( T) n ( 2n 1+n T ).当n=2k时，以上各式相加得bn b1= (2 2+ 2 +2 ) +1-2+ (n 2) + (n 1)2-2 nr1 - ( - 2)2) n 2+2n n+=+232-bn=-1当 n=2k 1 时,n+1(2n+n)岸+粤+紫(2n+n)竺n 13 +bn="n=2k - 1kC Nn=2k本题主要考察数列递推关系式在求解数列通项中的应用.是对数列知识的综合考察, 属于难度较高的题目.23. (18分)(2012?上海)定义向量 0M= (a, b)的 相伴函数”为f (x) =asinx+bcosx,函数f (x) =asinx+bcosx的 相伴向量”为0M= (a, b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量 的相伴函数”构成的集合为S.(1)设 g (x) =3sin (x+J1) +4sinx,求证：g (x) CS