传染病模型SISIRSIS

1、页眉内容数学模型实验一实验报告10学院： 专 业：姓 名：学号： 实验时间： 实验地点：一、实验项目：传染病模型求解二、实验目的和要求a.求解微分方程的解析解b.求解微分方程的数值解三、实验内容问题的描述各种传染病给人类带来的巨大的灾难，长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。不同类型传染病有各自不同的特点，在此以一般的传播机理建立几种3模型。分别对3种建立成功的模型进行模型分析，便可以了解到该传染病在人类间传播的大概情况。模型一（SI模型）：页脚内容页眉内容(1)模型假设1 .在疾病传播

2、期内所考察地区的总人数N不变，人群分为健康人和病人，时刻t这两类人在总人数中所占比例为s (t)和i (t )。2 .每个病人每天有效接触的平均人数是常数a, a成为日接触率，当病人与健康者有效接触时，可使其患病。(2)建立模型根据假设，每个病人每天可使as (t)个健康人变成病人，t时刻病人数为Ni (t),所以每天共有 aNs(t) i (t)个健康者被感染，即病人的增加率为：Ndi/dt=aNsi又因为 s (t) +i (t) =1再记日刻t=0时病人的比例为i0则建立好的模型为：di ai(1 -i)dti(0)=i0(3)模型求解(代码、计算结果或输出结果)syms a i t i

3、0 % a:日接触率，i :病人比例，s :健康人比例，i0 :病人比例在t=0时的值i=dsolve('Di=a*i*(1-i)','i(0)=i0','t');y=subs(i,a,i0,0.3,0.02);ezplot(y,0,100)figurei=str2double(i);i=0:0.01:1;y=0.3*i.*(1-i);页脚内容页眉内容plot(i,y)« 五4口( it ,insenuebklqp rliir 叶 aexp详。吕4吸包对勾它 0 口页脚内容SI模型的it曲线SI模型的di/dti 曲线(4)结果分析由上

4、图可知，在i=0:1内，di/dt总是增大的，且在i=0.5时，取到最大值，即在 t->inf 时，所 有人都将患病。上述模型显然不符合实际，为修正上述结果，我们重新考虑模型假设，建立SIS模型模型二(SIS模型)(1)匚、V 1模型假设假设条件1.2与SI模型相同；3.每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数u,成为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然1/u是平均传染期。(2)模型建立病人的增加率：Ndi/dt=aNsi-uNi且 i (t) +s=1 ;则有：di/dt=ai(1-i)-ui在此定义k=a/b ,可知k是整个传染传染期内每个病人有效接触的平均人数，成为接触

5、数。>> syms a i u t i0 % a：日接触率,i ：病人比例，u：日治愈率，i0 :病人比例在t=0时的值>> dsoke('Di=a*i*(1-i)-u*i','i(0)=i0','t')求用u表小的i -t解析式>> syms k：接触数页眉内容则建立好的模型为：di一 =_aii _(1 _1/k) dti(0)=i0;(3)(4)模型求解(代码、计算结果或输出结果)>> k=a/u;>> i=dsoke('Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k)'

6、,'i(0)=i0','t')%求用k表小的i -t解析式%给k、a、i0指定特殊值，作出相关图像>> y=subs(i,k,a,i0,2,0.3,0.02);k>1的情况，以k=2为例>>pause>> plot(i,y)>> ezplot(y,0,100)作i t图，分析随时间t的增加,i的变化>> gtext('1/k')>>legend('k>1 本例中 k=2')>>figure>> i=str2double(i)

7、;>> i=0:0.01:1;>> y=-0.3*i.*i-1/2;作di/dt -i的图像>> gtext('1-1/k, 在此图中为 0.5')>> legend('k=2')页脚内容页眉内容k<1的情况，以k=0.8为例>> ezplot(y,0,100)%作it图，分析随时间t增加，i的变化>> y=subs(i,kai0,0.8,0.3Q02);%页脚内容>> legend('k<1 本例中 k=0.8')>>figure>

8、> i=str2double(i);>> i=0:0.01:1;>> y=-0.3*i.*i-(1-1/0.8);>> plot(i,y)%作di/dt -i的图像>> legend('k=0.8')>> gtext('k<=1 时的情况)SIS模型的di/dt i曲线 (k>1)SIS 模型的i t曲线（k>1）SIS模型的di/dt i曲线 (k<1)SIS 模型的i t曲线(k<1)(4)结果分析不难看出，接触数 k=1是一个阈值，当k>1时，i (t)的增减性取

9、决于i0的大小，但其极限值 i( 8)=i-i/k随k的增加而增加；当 k<=l时，病人比例i (t)越来越小，最终趋于0,这是由于传染期内经有效解除从而使健康者变为的病人数不超过原来病人数的缘故。模型三.SIR模型(1)模型假设1.2.总人数N不变，人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称 SIR模型。时刻t三类人在总人数N中占得比例分别记作s/和r”3.4.病人的日接触率为 九，日治愈率为“(与SI模型相同)，传染期接触数为 仃=九/»。(2)模型建立由假设1显然有s(t) i(t) r(t) =1(1)对于病愈免疫的移出者而言应有dr(不妨设移出者的初始值 r0=0

10、),则(3)N 二Ni dt再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(s0>0)和i0(i0>0)SIR模型的方程可以写作di = Ksi Ni,i(0) =t0 dt-s = T.si,s(0) =s0dt模型求解我们无法求出解析解，先做数值计算:设九=1，0.3(0)=0.02以0)=0.98,用 matla歆件编程:function y=ill (t , x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1), -a*x(1)*x(2)'ts=0:50;x0=0.02,0.98;t,x=ode45('i11',ts,x0);t,xplot(

11、t，x(:，1)，t，x(:，2)，grid，pauseplot(x(:，2)，x(:，1)表1i(t)，s(t)的数值计算结果页眉内容i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.60270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.039

12、90.03990.0398t 012345678i(t),s(t)的图形-s图形(相轨线)(4)结果分析i(t)，s(t)的图形见左图，is的图形见右图，称为相轨线，随着t的增加，口沿轨线自右向左运动。由上图结合表1可知，乂由初值增长至约t =7时达到最大值，然后减少，tT g/T 0；s(t)则单调减少 tT M,sT 0.0398。进行相轨线分析，可得：si平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域(s,i)三D为D =( s,t) | s -0,i -0,s i £1在方程(3)中消去dt,并注意到的定义，可得di 1(一二= 一1 i |出仃 si|s=0 i0(4)容易求出它

13、的解为页脚内容页眉内容. ,.、1 . si = (s0 i0) s ln (5)二 So在定义域D内，上式表示的曲线即为相轨线1.不论初始条件S0,i0如何，病人终将消失，即(6)dr八-0出 ，而r（t） 一 1 ,故roC存在,0ds八-0其证明如下，首先，由（3）, dt 而s之0故s*存在；由（2）,M 再由（1）,对于充分大的t有dt 2 ,这将导致，与 显存在相矛盾。2.最终未被感染的健康者的比例是江，在（5）式中令i =0得到，so是方程1S-S0 i0 - s - 1 ln= 0一仃8在（0，1/Qr）内的根。在图形上，是相轨线与s轴在9W8内交点的横坐标。3.若s01/cr

14、,则i先增加，当s = 1/o时，i达到最大值1i =8 i0 一（1 ln。8） 仃（8）然后i（t）减小且趋近于0, s（t） 则单调减小至女。4.若s0 士1/。，则i（t）单调减少至0, s（t）单调减少至sc。如果仅当病人比例i（t）有一段增长的时期才 认为传染病在蔓延，那么1/仃是一个阈值，当s0 >1/G （即仃>1/s0）时传染病就会蔓延。而减小传 染期接触数 万，即提高阈值1/仃，使得s0 -1/O （即° M1/s0）,传染病就不会蔓延（健康者比例的 初始值s0是一定的，通常可认为 s0接近1）。并且，即使s0 ,小，从（7）, （8）式可以看出，仃减少时，舐增加（通过作图分析），im降低，也 控制了蔓延的程度，我们注意到，在 仃二九/"中，人们的卫生水平越高，日接触率人越小；医疗水平越高，日治愈率 “越大，于是 仃越小，所以提高卫生