全国高中数学竞赛专题-三角函数

1、1三角恒等式与三角不等式三角恒等式与三角不等式一、基础知识一、基础知识定义 1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。定义 2 角度制：把一周角 360 等分，每一等分为一度。弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值|=,其中 r 是圆的半径。rL定义 3 三角函数：在直角坐标平面内，把角 的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为（x,y），到原点的距

2、离为 r,则正弦函数 sin=,余弦函数rycos=,正切函数 tan=，余切函数 cot=，正割函数 sec=,余割函数 csc=rxxyyxxr.yr定理 1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan=,sin=，cos=；cot1csc1sec1商数关系：tan=；sincoscot,cossin乘积关系：tancos=sin,cotsin=cos；平方关系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2.定理 2 诱导公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan, cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin, co

3、s(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; （）sin=cos, cos=sin, tan=cot（奇变偶不变，符号看象限）222。定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得 y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，22 ,22kk232 ,22kk最小正周期：2. 奇偶性：奇函数 有界性：当且仅当 x=2kx+时，y 取最大值 1，当且仅当 x=3k-时, y 取最小值-1，值域为-1，1。22对称性：直线 x=k+均为其对称

4、轴，点（k, 0）均为其对称中心。这里 kZ.2定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得 y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k, 2k+上单调递减，在区间2k-, 2k上单调递增。最小正周期：2。 奇偶性：偶函数。有界性：当且仅当 x=2k 时，y 取最大值 1；当且仅当 x=2k- 时，y 取最小值-1。值域为-1，1。对称性：直线 x=k 均为其对称轴，点均为其对称中心。这里 kZ.0 ,2k定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数 y=tanx(xk+)在开区间(k-, k+)上为增函数, 222最小正周期为 ，值域为（-，+），点（k，0），（k+，0）均为其对称中心。2定理

5、 6 两角和与差的基本关系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin; tan()=.)tantan1 ()tan(tan2 两角和与差的变式：2222sinsincoscossin()sin() 2222cossincossincos()cos()三角和的正切公式：tantantantantantantan()1tantantantantantan定理 7 和差化积与积化和差公式:sin+sin=2sincos, sin-sin=2sincos,2222cos+cos=2coscos, cos-cos=-2sinsin,2222sincos=sin(+)+

6、sin(-), cossin=sin(+)-sin(-),2121coscos=cos(+)+cos(-), sinsin=-cos(+)-cos(-).2121定理 8 二倍角公式：sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=.)tan1 (tan22三倍角公式及变式：，3sin33sin4sin3cos34cos3cos ，1sin(60)sinsin(60)sin341cos(60)coscos(60)cos34定理 9 半角公式: sin=, cos=,22)cos1 (22)cos1 (tan=2)cos1 ()cos1 (.

7、sin)cos1 ()cos1 (sin定理 10 万能公式: , ,2tan12tan2sin22tan12tan1cos22.2tan12tan2tan2定理 11 辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b20，则取始边在 x 轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为 ，则 sin=,cos=，对任意的角 .asin+bcos=sin(+).22bab22baa)(22ba 定理 12 正弦定理：在任意ABC 中有，RCcBbAa2sinsinsin其中 a, b, c 分别是角 A，B，C 的对边，R 为ABC 外接圆半径。定理 13 余弦定理：在任意ABC 中有 a2=b2+c

8、2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B，C 的对边。定理 14 射影定理：在任意ABC 中有，coscosabCcBcoscosbaCcAcoscoscaBbA定理 15 欧拉定理：在任意ABC 中，其中 O,I 分别为ABC 的外心和内心。222OIRRr定理 16 面积公式：在任意ABC 中，外接圆半径为 R,内切圆半径为 r，半周长2abcp则211sin2sinsinsin(sinsinsin)224aabcSahabCrpRABCrRABCR 2221()()()(cotcotcot)4p papbpcaAbBcC定理 17 与ABC 三个内角有关的公式：3 （1）si

9、nsinsin4coscoscos;222ABCABC （2）coscoscos14sinsinsin;222ABCABC （3）tantantantantantan;ABCABC（4）tantantantantantan1;222222ABBCCA（5）cotcotcotcotcotcot1;ABBCCA（6）sin2sin2sin24sinsinsin.ABCABC定理 18 图象之间的关系：y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象；经左右平移得 y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到 y=sin()的图象（周期变换）；横坐标不变，1x0

10、纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到 y=Asinx 的图象。定义 4 函数 y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作 y=arcsinx(x-1, 1)，2,2x函数 y=cosx(x0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作 y=arccosx(x-1, 1). 函数 y=tanx的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x-, +). 2,2x函数 y=cotx(

11、x0, )的反函数称为反余切函数，记作 y=arccotx(x-, +).定理 19 三角方程的解集，如果 a(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ。方程 cosx=a 的解集是x|x=2kxarccosa, kZ. 如果 aR，方程 tanx=a 的解集是x|x=k+arctana, kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.22定理 20 若干有用的不等式：（1）若，则 sinxxtanx.2, 0 x（2）函数在上为减函数；函数在上为增函数。sin xyx(0, )tan xyx(0,)2（3）嵌入不

12、等式：设 A+B+C=，则对任意的 x,y,zR，有2222cos2cos2cosxyzyzAxzBxyC等号成立当且仅当 yzsinA=zxsinB=xysinC.二、方法与例题二、方法与例题1结合图象解题。例 1 求方程 sinx=lg|x|的解的个数。【解】在同一坐标系内画出函数 y=sinx 与 y=lg|x|的图象，由图象可知两者有 6 个交点，故方程有 6 个解。2三角函数性质的应用。例 2 设 x(0, ), 试比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小。【解】 若，则-1cosx0，所以 cos，,2x0 ,2x所以 sin(cosx) 0,又 00，所以 cos(s

13、inx)sin(cosx).若，则因为 sinx+cosx=sin(x+0,2x2)，所以 0sinx-cosxcos(-cosx)=sin(cosx).2综上，当 x(0,)时，总有 cos(sinx)0).例 6 已知 f(x)=sin(x+)(0, 0)是 R 上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间0 ,43M上是单调函数，求和的值。2, 0【解】 由 f(x)是偶函数，所以 f(-x)=f(x)，所以 sin(x+)=sin(-x+)，所以 cossinx=0，对任意 xR 成立。又 0，解得=，2因为 f(x)图象关于对称，所以=0。0 ,43M)43()43(xfxf5取 x=0，

14、得=0，所以 sin所以(kZ)，即=(2k+1) (kZ).)43(f. 0243243 k32又0，取 k=0 时，此时 f(x)=sin(2x+)在0，上是减函数；22取 k=1 时，=2，此时 f(x)=sin(2x+)在0，上是减函数；22取 k=2 时，此时 f(x)=sin(x+)在0，上不是单调函数，31022综上，=或 2。327三角公式的应用。例 7 已知 sin(-)=，sin(+)=- ，且 -，+，求 sin2,cos2 的值。135135,22 ,23【解】 因为 -，所以 cos(-)=-,2.1312)(sin12又因为 +，所以 cos(+)=2 ,23.13

15、12)(sin12所以 sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=,169120cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例 8 已知ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，且，试求的值。BCAcos2cos1cos12cosCA【解】 因为 A=1200-C，所以 cos=cos(600-C)，2CA又由于)120cos(coscos)120cos(cos1)120cos(1cos1cos1000CCCCCCCA=，2221)2120cos()60cos(2)2120cos(120cos21)60c

16、os(60cos2000000CCCC所以=0。解得或。232cos22cos242CACA222cosCA8232cosCA又0，所以。2cosCA222cosCA例 9 求证：tan20 +4cos70 =3【解】 tan20 +4cos70 =+4sin2020cos20sin20cos40sin220sin20cos20cos20sin420sin20cos40sin10cos30sin220cos40sin40sin20sin. 320cos20cos60sin220cos40sin80sin例 10 证明：7cos77cos521cos335cos64cosxxxxx6分析：等号左

17、边涉及角 7x、5x、3x、x右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为xsin、xcos的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次.证明：因为,cos33coscos4,cos3cos43cos33xxxxxx所以 从而有xxxxx226cos9cos3cos63coscos16 )2cos1 (29)2cos4(cos326cos1xxxxxxxxxxxxxxxxxcos20cos2cos30cos4cos12cos6cos2cos64,2cos992cos64cos66cos1cos3276 .cos353cos215cos77coscos20cos153cos153cos65

18、cos65cos7cosxxxxxxxxxxx评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令77)1(cos128,1cos2,sincoszzzziz从而则，展开即可.2013 北约7例 11 已知.20012tan2sec:,2001tan1tan1求证证明：)4tan()22sin()22cos(12cos2sin12tan2sec.2001tan1tan1.2001tan1tan1例 12 证明：对任一自然数n 及任意实数mnkmxk, 2 , 1 , 0(2为任一整数），有.2cotcot2sin14sin12sin1xxxxxnn思路

19、分析：本题左边为 n 项的和，右边为 2 项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多中间项.证明：,2cotcot2sin2coscossin2cos22sin2coscos22sin122xxxxxxxxxxx同理xxx4cot2cot4sin1xxxnnn2cot2cot2sin11评述：本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：nnnntantantan) 1tan(3tan2tan2tantan.1cot1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos1.2cot2cot2tan22tan22tan2

20、tan1122nnnn11000000cot2cot2sin(n 1)tan(1)tancoscos(n 1)nnnnnn提示：例 13 设的内角所对的边成等比数列，则 的取值范围是（ ）ABCA B C, ,a b csincotcossincotcosACABCBA. B. C. D. (0,)51(0,)25151(,)2251(,)2解 设的公比为，则，而, ,a b cq2,baq caqsincotcossincoscossinsincotcossincoscossinACAACACBCBBCBC sin()sin()sinsin()sin()sinACBBbqBCAAa因此，只需

21、求的取值范围q因成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必需且只需且, ,a b cac, ,a b cabc即有不等式组bca8即解得22,aaqaqaqaqa 2210,10.qqqq 1551,225151.22qqq 或从而，因此所求的取值范围是故选 C515122q5151(,)22例 14 ABC 内接于单位圆，三个内角 A、B、C 的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，则的值为（ ）CBACCCBBBAAAsinsinsin2cos2cos2cos111A2B4C6D8解：如图，连 BA1，则 AA1=2sin(B+)22cos(2)222sin(2)2CBCB

22、CBAA)2cos(2cos2cos2cos)22cos(22cos1CBCACBAACBAAA同理,sinsin)2cos(BCB,sinsin2cos1CABBB,sinsin2cos1BACCC原式=选 A.),sinsin(sin22cos2cos2cos111CBACCCBBBAAA. 2sinsinsin)sinsin(sin2CBACBA例 15 若对所有实数，均有，则（ ）. xsinsincoscoscos 2kkkxkxxkxxk 、；、；、；、A6B5C4D3解：记 ，则由条件，恒为，取，得 sinsincoscoscos 2kkkf xxkxxkxx f x02x，则为

23、奇数，设，上式成为，因此为偶数，令，则 sin12kk k21knsin12n n2nm，故选择支中只有满足题意故选 D41km3k 例 16 已知是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是 2222212f xxabxaabbyA B. 2 C. D. 422 2解：由已知条件可知，函数图象与轴交点的纵坐标为。令，2210ab y222aabb,scosinba则。因此 选 A。22222sincossincos2sin2c s22oaabb例 17 已知，直线与,R 1sinsinsincosxy1cossincoscosxy的交点在直线上，则 。yx cossincinsso9解：由

24、已知可知，可设两直线的交点为，且为方程，00(,)xx,inssco001sincosxxtt的两个根，即为方程的两个根。20sinc(cos)sinos(cos)i0s nttx因此，即0。cos(sinsincos) cossincinsso1、 。22cos( 15756)xxxx2、已知函数，则f(x)的最小值为_。)4541(2)cos()sin()(xxxxxf3、已知，且。则的值是_ _.3sin)2sin(),(2,21Zknnktan)tan(4、设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(xc)=1 对任意实数x恒成立，则= acbco

25、s5、设 0.21111nnaa22n8、已知.cossin)tan(:, 1|),sin(sinAAA求证9、若 A，B，C 为ABC 三个内角，试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。10、证明：.2sin21sin)2sin()sin()2sin()sin(sinnnn11、已知 ， 为锐角，且 x（+-）0，求证：2. 2sincossincosxx12、求证：16178cos66cos42cos6cos sin1sin2sin3sin89=.106)41(45全国高中数学竞赛专题全国高中数学竞赛专题- -三角恒等式与三角不等式三角恒等式与三角不等式 实战演练答案实战演练答案1、

26、解：根据题意要求，。于是有。因此2605xx20571xx2715xx。因此答案为 1。22cos( 15756)cos01xxxx102、解：实际上，设，则g(x)0，g(x)在)4541(2)4sin(2)(xxxxf)4541)(4sin(2)(xxxg上是增函数，在上是减函数，且y=g(x)的图像关于直线对称，则对任意，存在43,4145,4343x43,411x，使g(x2)=g(x1)。于是，而f(x)在上是45,432x)(2)(2)(2)()(22212111xfxxgxxgxxgxf45,43减函数，所以，即f(x)在上的最小值是。554)45()( fxf45,415543

27、、解：. 213131sin)2sin(1sin)2sin(sin)2sin(21sin)2sin(21sin)cos(cos)sin(tan)tan(ba4、解：令c=，则对任意的xR，都有f(x)+f(xc)=2，于是取，c=，则对任意的xR，af(x)21 ba+bf(xc)=1，由此得。1cosacb一般地，由题设可得，其中且，1)sin(13)(xxf1)sin(13)(cxcxf2032tan于是af(x)+bf(xc)=1 可化为，即1)sin(13)sin(13bacxbxa，0) 1()cos(sin13cos)sin(13)sin(13baxcbcxbxa所以。0) 1()

28、cos(sin13)sin()cos(13baxcbxcba由已知条件，上式对任意xR恒成立，故必有，)3(01)2(0sin) 1 (0cosbacbcba若b=0，则由(1)知a=0，显然不满足(3)式，故b0。所以，由(2)知 sinc=0，故c=2k+或c=2k(kZ)。当c=2k时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2k+(kZ)，cosc=1。由(1)、(3)知，所以21 ba。1cosacb5、【解】因为 00, cos0.22022所以 sin（1+cos）=2sincos2= 2222cos2cos2sin22222=322232cos2cos2sin22.934

29、2716当且仅当 2sin2=cos2, 即 tan=, =2arctan时，sin(1+cos)取得最大值。222222229346、思路分析：等式左边同时出现12tan18tan、12tan18tan，联想到公式tantan1tantan)tan(.证明：12tan312tan18tan18tan311112tan18tan)12tan18tan1)(1218tan(312tan18tan)12tan18(tan3112tan18tan)12tan18tan1)(1218tan(312tan18tan)12tan18(tan3112tan18tan)12tan18tan1)(1218tan

30、(312tan18tan)12tan18(tan3评述：本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证)43tan1 ()2tan1)(1tan1 (222)44tan1 (等.7、【证明】 由题设知 an0，令 an=tanan, an，2, 0则 an=.tan2tansincos1tan1sectan1tan111111112nnnnnnnnaaaaaaaa因为，an，所以 an=，所以 an=21na2, 0121na.210an又因为 a0=tana1=1，所以 a0=，所以。4nna214又因为当 0 xx，所以2.22tan22nnna注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另

31、外当 x时，有 tanxxsinx，这是个熟2, 0知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。8、分析：、分析：条件涉及到角、，而结论涉及到角，.故可利用)()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A”入手.证法 1： ),sin(sin A ),sin()sin(A),cos(sin)(cossin(),sin(sin)cos(cos)sin(AA .cossin)tan(, 0)cos(, 0cos, 1|AAA从而.cossin)tan(, 0)cos(, 0cos, 1|AAA从而.cossin)tan(, 0)cos(, 0cos, 1|AAA从而.cossin)t

32、an(, 0)cos(, 0cos, 1|AAA从而证法 2：sin)sin(cossin)sin()sin(sincossinsinsin A ).tan(sin)cos(sin)sin()sin()sin(cossin)sin().tan(sin)cos(sin)sin()sin()sin(cossin)sin().tan(sin)cos(sin)sin()sin()sin(cossin)sin(9、【解】 因为 sinA+sinB=2sincos, 2BA2sin22BABAsinC+sin, 23sin223cos23sin23CCC又因为，3sin243cos43sin223sin2

33、sinCBACBACBA12由，得 sinA+sinB+sinC+sin4sin,33所以 sinA+sinB+sinC3sin=,当 A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）max=.32333233注：三角函数的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。10、证明：),2cos()2cos(212sinsin)sin()2sin()sin(sin2sin,)212cos()212cos(212sin)sin(,)23cos()25cos(212sin)2sin(),2cos()23cos(212si

34、n)sin(nnnn各项相加得类似地 .21sin)2sin()2cos()212cos(21nnn.21sin)2sin()2cos()212cos(21nnn所以，.2sin21sin)2sin()sin()sin(sinnnn评述：类似地，有.2sin)2cos(21sin)cos()cos(cosnnn 利用上述公式可快速证明下列各式：2sin21cos2sincos3cos2coscosnnn .2197cos95cos93cos9cos.2175cos73cos9cos等.2197cos95cos93cos9cos.2175cos73cos9cos等11、【证明】 若 +，则 x0

35、，由 -0 得 coscos(-)=sin,所以 0sin(-)=cos, 所以 01，2sincos所以. 2sincossincossincossincos00 xx若 +，则 x0，由 0-cos(-)=sin0,所以1。2222sincos又 0sin1，2sincos13所以，得证。2sincossincossincossincos00 xx注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。12、证明：cos6cos42cos66cos78=cos6cos54cos6654cos78cos42cos.16154cos4)183cos(4154cos478c

36、os42cos18cos.16154cos4)183cos(4154cos478cos42cos18cos.16154cos4)183cos(4154cos478cos42cos18cossin1sin2sin3sin89=(sin1sin59sin61)(sin2sin58sin62)(sin29sin31sin89)sin30sin60=4387sin6sin3sin)41(2960sin30sin)87sin33sin27(sin)66sin54sin6)(sin63sin57sin3(sin3)41(3045sin)54sin36)(sin63sin27)(sin72sin18)(sin18sin9(sin3)41(81sin18sin9sin3)41(404045sin)54s