函数的性质综合应用

1、训练目标函数的单调性、最值、奇偶性、周期性.训练题型(1)判定函数的性质；(2)求函数值或解析式；(3)求参数或参数范围；(4)和函数性质有关的不等式问题.解题策略(1)利用奇偶性或周期性求函数值(或解析式)，要根据自变量之间的关系合理转换；(2)和单调性有关的函数值大小问题，先化到同一单调区间；(3)解题时可以根据函数性质作函数的草图，充分利用数形结合思想.一、选择题1(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是()Aylog3x By3|x|Cyx Dyx32(2016·荆州模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x(0,1)时

2、，f(x)3x1，则f等于()A.1 B.1C1 D13(2016·西安模拟)设f(x)是定义在实数集上的函数，且f(2x)f(x)，若当x1时，f(x)ln x，则有()Af<f(2)<fBf<f(2)<fCf<f<f(2)Df(2)<f<f4已知函数f(x)log(x2ax3a)在1，)上单调递减，则实数a的取值范围是()A(，2 B2，)C. D.5(2016·威海模拟)函数f(x)(x2)(axb)为偶函数，且在(0，)上单调递增，则f(2x)>0的解集为()Ax|x>2或x<2 Bx|2<x&

3、lt;2Cx|x<0或x>4 Dx|0<x<46(2016·杭州高三联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)0，且在(，0)上单调递增，如果x1x2<0且x1x2<0，则f(x1)f(x2)的值()A可能为0 B恒大于0C恒小于0 D可正可负7(2016·浙江诸暨中学交流卷一)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，现有关于函数f(x)的如下四个命题：f(f(x)0；函数f(x)是偶函数；任取一个不为零的有理数T，f(xT)f(x)对任意的xR恒成

4、立；存在三个点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，C(x3，f(x3)，使得ABC为等边三角形其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D48关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：若函数yf(x)满足f(x1)f(3x)，则f(x)的一个周期T2；若函数yf(x)满足f(x1)f(3x)，则f(x)的图象关于直线x2对称；函数yf(x1)与函数yf(3x)的图象关于直线x2对称；若函数y与函数f(x)的图象关于原点对称，则f(x).其中正确的个数是()A1 B2 C3 D4二、填空题9(2016·孝感模拟)已知yf(x)是定义在R上周期为4的奇函数，且当0x2时，f(x)x

5、22x，则当10x12时，f(x)_.10对于函数f(x)，若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)f(2ax)，则称f(x)为准偶函数下列函数中是准偶函数的是_(把正确的序号都填上)f(x)|x2|；f(x)x2；f(x)sin x；f(x)cos 2x.11(2016·北京大兴区高三4月统一练习)已知函数f(x)若在其定义域内存在n(n2，nN*)个不同的数x1，x2，xn，使得，则n的最大值是_；若n2，则的最大值是_12(2016·武汉部分学校毕业生2月调研)已知函数f(x)alog2|x|1(a0)，定义函数F(x)给出下列命题：F(x)|f(x)

6、|；函数F(x)是奇函数；当a>0时，若x1x2<0，x1x2>0，则F(x1)F(x2)>0成立；当a<0时，函数yF(x22x3)存在最大值，不存在最小值其中所有正确命题的序号是_答案解析1D2.D3C由f(2x)f(x)可知函数f(x)的图象关于x1对称，所以ff，ff，又当x1时，f(x)ln x，单调递增，所以f<f<f(2)，即f<f<f(2)4D令tg(x)x2ax3a，易知f(t)logt在其定义域上单调递减，要使f(x)log(x2ax3a)在1，)上单调递减，则tg(x)x2ax3a在1，)上单调递增，且tg(x)x2a

7、x3a>0，即所以即<a2.5C由题意可知f(x)f(x)，则(x2)(axb)(x2)(axb)，即(2ab)x0恒成立，故2ab0，即b2a.则f(x)a(x2)(x2)又函数在(0，)上单调递增，所以a>0.f(2x)>0，即ax(x4)>0，解得x<0或x>4.故选C.6C由x1x2<0，不妨设x1<0，x2>0.x1x2<0，x1<x2<0.由f(x)f(x)0，知f(x)为奇函数，又由f(x)在(，0)上单调递增，得f(x1)<f(x2)f(x2)，f(x1)f(x2)<0.故选C.7C命题，

8、因为f(x)0或f(x)1，即f(x)Q，所以f(f(x)1，故错误；命题，因为x和x要么同为有理数，要么同为无理数，所以f(x)f(x)，故正确；命题，因为T为有理数，所以xT和x要么同为有理数，要么同为无理数，所以f(xT)f(x)，故正确；命题，取B，C两点在x轴上，A点在直线y1上，由两直线距离是1，可知BC边上的高为1，所以三角形的边长是，当A的横坐标为有理数x1时，B，C的横坐标分别为x1±，为无理数，所以也成立故选C.8C在f(x1)f(3x)中，以x1代换x，得f(x)f(2x)，所以正确；设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是yf(x)上的两点，且x1x1，x23x

9、，有2，由f(x1)f(x2)，得y1y2，即P，Q关于直线x2对称，所以正确；函数yf(x1)的图象由yf(x)的图象向左平移1个单位得到，而yf(3x)的图象由yf(x)的图象关于y轴对称得yf(x)，再向右平移3个单位得到，即yf(x3)f(3x)，于是yf(x1)与函数yf(3x)的图象关于直线x1对称，所以错误；设P(x，y)是函数f(x)图象上的任意一点，点P关于原点的对称点P(x，y)必在y的图象上，有y，即y，于是f(x)，所以正确9x222x120解析f(x)在R上是周期为4的奇函数，f(x)f(x)由f(x4)f(x)，可得f(x12)f(x)设2x0，则0x2，f(x)f

10、(x)x22x，当10x12时，2x120，f(x)f(x12)(x12)22(x12)x222x120.10解析因为f(x)f(2ax)(a0)，所以函数f(x)的对称轴为xa.所以准偶函数的定义等价于“若函数f(x)存在对称轴xa(a0)，则称f(x)为准偶函数”因为函数f(x)|x2|的对称轴为x2，所以f(x)|x2|是准偶函数；因为f(x)x2只有一条对称轴是x0，不满足准偶函数的定义，所以f(x)x2不是准偶函数；因为x是函数f(x)sin x的一条对称轴，所以函数f(x)sin x是准偶函数；因为x是函数f(x)cos 2x的一条对称轴，所以函数f(x)cos 2x是准偶函数综上

11、，应填.11342解析画出函数f(x)的图象，如图，使得的x1，x2，xn的个数就是直线ykx与yf(x)的图象的交点个数，由图知直线ykx与yf(x)的图象的交点个数最多有三个，所以n的最大值是3.当n2时，的最大值就是直线ykx与x24x3(1x3)的图象相切时k的值，由判别式可得k42(k42不合题意舍去)，即的最大值是42.12解析因为|f(x)|而F(x)这两个函数的定义域不同，不是同一个函数，即F(x)|f(x)|不成立，错误当x>0时，F(x)f(x)alog2|x|1，x<0，F(x)f(x)(alog2|x|1)(alog2|x|1)F(x)；当x<0时，F(x)f(x)(alog2|x|1)，x>0，F(x)f(x)alog2|x|1alog2|x|1F(x)，所以函数F(x)是奇函数，正确当a>0时，F(x)f(x)alog2|x|1在(0，)上是单调增函数若x1