【函数的单调性和奇偶性_例题和练习_高中数学】

1、函数的单调性和奇偶性经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1.证明函数在(0，+)上的单调性. 证明：在(0，+)上任取x1、x2(x1x2)， 令x=x2x10 则 x10，x20， 上式0，y=f(x2)f(x1)0 在(0，+)上递减.总结升华：1证明函数单调性要求使用定义；2如何比较两个量的大小？(作差)3如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1x2，则 0x1x21 x1x20，0x1x21 0x1x21 故，即f(x1

2、)f(x2)0 x1x2时有f(x1)f(x2) 上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x23|x|+2； (2)解：(1)由图象对称性，画出草图f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2) 图象为 f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|； (2)(3).解：(1)画出函数图象， 函数的减区间为，函数的增区间为(1，+)；(2)定义域为， 其中u=2x1为增函数，在(，0)与(0，+

3、)为减函数， 则上为减函数；(3)定义域为(，0)(0，+)，单调增区间为：(，0)，单调减区间为(0，+).总结升华：1数形结合利用图象判断函数单调区间；2关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.3复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+)上是减函数，比较f(a2a+1)与的大小. 解： 又f(x)在(0，+)上是减函数，则.4. 求下

4、列函数值域： (1)； 1)x5，10； 2)x(3，2)(2，1)；(2)y=x22x+3； 1)x1，1； 2)x2，2.思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在5，10上单增，； 2)；(2)画出草图 1)yf(1)，f(1)即2，6； 2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x1，3时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；

5、 (2)故函数f(x)在1，3上单调递增x=1时f(x)有最小值，f(1)=2x=3时f(x)有最大值x1，3时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2(a1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围. 解：(1)对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需； (2)f(2)=222(a1)+5=2a+11又a2，2a4f(2)=2a+114+11=7.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性： (1) (2)(3)f(x)=x24|x|+3 (4)f(x)=|x+3|x3| (5)(6) (7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行

6、判断.解：(1)f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)x10，f(x)定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意xR，都有xR，且f(x)=x24|x|+3=f(x)，则f(x)=x24|x|+3为偶函数 ；(4)xR，f(x)=|x+3|x3|=|x3|x+3|=f(x)，f(x)为奇函数；(5) ，f(x)为奇函数；(6)xR，f(x)=x|x|+x f(x)=(x)|x|+(x)=x|x|x=f(x)，f(x)为奇函数；(7)，f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)； (2)f(x)=|x+1|x1|； (3)f

7、(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(x)=|x+1|x1|=(|x+1|x1|)=f(x) f(x)为奇函数；(3)f(x)=(x)2+(x)+1=x2x+1 f(x)f(x)且f(x)f(x) f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x0则x0，f(x)=(x)2+2(x)1=x22x1=(x2+2x+1)=f(x) 任取x0，则x0 f(x)=(x)2+2(x)+1=x22x+1=(x2+2x1)=f(x) x=0时，f(0)=f(0) xR时，f(x)=f(x) f(x)为奇函数.举一反三：【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定

8、义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则 F(x)=f(x)+g(x)=f(x)g(x)=f(x)+g(x)=F(x) G(x)=f(x)·g(x)=f(x)·g(x)=f(x)·g(x)=G(x) f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合) 7.已知f(x)=x5+ax3bx8，且f(2)=10，求f(2). 解：法一：f(2)=(2)5+(2)3a(2)b8=32

9、8a+2b8=408a+2b=108a2b=50 f(2)=25+23a2b8=8a2b+24=50+24=26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数g(2)=g(2) f(2)+8=f(2)8f(2)=f(2)16=1016=26.8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=x2x，求当x0时，f(x)的解析式，并画出函数图象. 解：奇函数图象关于原点对称， x0时，y=(x)2(x)即y=x2x又f(0)=0，如图9. 设定义在3，3上的偶函数f(x)在0，3上是单调递增，当f(a1)f(a)时，求a的取值范围. 解：f(a1)f(a) f(|a1|)f(|a|)

10、而|a1|，|a|0，3.类型六、综合问题10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合， 设ab0，给出下列不等式，其中成立的是_.f(b)f(a)g(a)g(b)； f(b)f(a)g(a)g(b)；f(a)f(b)g(b)g(a)； f(a)f(b)g(b)g(a).答案：.11. 求下列函数的值域： (1) (2) (3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.解：(1)；(2)经观察知，；(3)

11、令.12. 已知函数f(x)=x22ax+a21. (1)若函数f(x)在区间0，2上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x1，1时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)f(x)=(xa)21 a0或a2(2)1°当a1时，如图1，g(a)=f(1)=a2+2a 2°当1a1时，如图2，g(a)=f(a)=1 3°当a1时，如图3，g(a)=f(1)=a22a ，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x2)

12、3. 解：令x=2，y=2，f(2×2)=f(2)+f(2)=2 f(4)=2再令x=4，y=2，f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 f(8)=3f(x)+f(x2)3可转化为：fx(x2)f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明. 证明：任取0x1x2， 0x1x2，x1x20，x1·x20 (1)当时 0x1·x21，x1·x210 f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2) 上是减函数. (2)当x1，x2(1，+)时， 上是增函数.难点：x1·x21的符号的确定，如何分段.15. 设a为实数，函数f(x)=x2

13、+|xa|+1，xR，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a0时，f(x)=x2+|xa|+1，为非奇非偶函数.(1)当xa时， 1 且 2上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当xa时， 1上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1 2上的最小值为综上：.学习成果测评基础达标一、选择题1下面说法正确的选项( )A函数的单调区间就是函数的定义域B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2在区间上为增函数的是( )A B C D3

14、已知函数为偶函数，则的值是( )A. B. C. D. 4若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )ABCD5如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )A增函数且最小值是 B增函数且最大值是C减函数且最大值是 D减函数且最小值是6设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是( )A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数.7下列函数中，在区间上是增函数的是( )A B C D8函数f(x)是定义在6，6上的偶函数，且在6，0上是减函数，则( )A. f(3)+f(4)0 B. f(3)f(2)0 C. f(2)+f(5)0 D. f(4)f(1)0二、填

15、空题1设奇函数的定义域为，若当时， 的图象 如右图，则不等式的解是_.2函数的值域是_.3已知，则函数的值域是_.4若函数是偶函数，则的递减区间是_.5函数在R上为奇函数，且，则当，_.三、解答题1判断一次函数反比例函数，二次函数的单调性.2已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上 单调递减；(3)求的取值范围.3利用函数的单调性求函数的值域；4已知函数. 当时，求函数的最大值和最小值； 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.能力提升一、选择题1下列判断正确的是( )A函数是奇函数 B函数是偶函数C函数是非奇非偶函数 D函数既是奇函数又是偶函数2若函数在上是单

16、调函数，则的取值范围是( ) A B CD3函数的值域为( )A B CD4已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )A B C D5下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若 函数与轴没有交点，则且；(3) 的递增区间 为；(4) 和表示相等函数.其中正确命题的个数是( )A B C D6定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则( )A B C D二、填空题1函数的单调递减区间是_.2已知定义在上的奇函数，当时，那么时，_.3若函数在上是奇函数，则的解析式为_.4奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为1， 则_.5若函数在上是减函数

17、，则的取值范围为_.三、解答题1判断下列函数的奇偶性(1) (2)2已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；(2)函数是奇函数. 3设函数与的定义域是且，是偶函数， 是奇函数，且，求和的解析式.4设为实数，函数，.(1)讨论的奇偶性；(2)求的最小值.综合探究1已知函数，则的奇偶性依次 为( )A偶函数，奇函数 B奇函数，偶函数C偶函数，偶函数 D奇函数，奇函数2若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的 大小关系是( )A B C D3已知，那么_.4若在区间上是增函数，则的取值范围是_.5已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有，(1)求；(2

18、)解不等式.6当时，求函数的最小值.7已知在区间内有一最大值，求的值.8已知函数的最大值不大于，又当，求的值.答案与解析基础达标一、选择题 1.C.2.B.3.B. 奇次项系数为4.D. 5.A. 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性6.A. 7.A. 在上递减，在上递减，在上递减8.D.二、填空题1. 奇函数关于原点对称，补足左边的图象2. 是的增函数，当时，3. 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大4. 5.三、解答题1解：当，在是增函数，当，在是减函数； 当，在是减函数， 当，在是增函数； 当，在是减函数，在是增函数， 当，在是增函数，在是减函数.2解：，则， 3解：，显然是的增函数， 4解：对称轴 (2)对称轴当或时，在上单调 或.能力提升一