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北京大学2002 数学专业研究生 高等代数部分博士家园会员 uestar 友情提供 lingxingwei 网站名称：博士家园网站地址： 博士家园 论坛： 转载请注明出处，我们保留追究的权力。仅供学习交流，反对商业出售，违者必究！ 解答者：uestar.于2005-12-12完成.3，用正交变换化下面二次型为标准形；（要求写出正交变换的矩阵和相应的标准形）。解：二次型矩阵：；找其正交矩阵：；使得于是做正交替换化为标准型：4，对任意的非负整数n，令，证明：分析:用带余除法及待定系数法不易证明，考虑采用因式定理来证明，且最大公因式不因数域的扩大而改变。证明：已知的根是所以又由，知：将代入中得： ，所以，即5，设正整数n2，用表示数域k上全体nn,矩阵关于矩阵加法和数乘所构成的k上的线性空间。在中定义变换如下:其中: (1)证明: 是上的线性变换;(2)求出: 的维数与一组基;(3)求出: 的全部特征子空间.证明：证毕。6,用R表示实数域,定义的映射如下:其中: 证明:(1) 存在的一个n-r维子空间W,使得(2) 若是的两个n-r维子空间,且满足则一定有证明：（1）只需构造n-r个线性无关的向量满足方程。7,设V是数域K上的n维线性空间, 是V的S个真子空间,证明:(1)存在(2)存在V中的一组

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