函数的最大小值与导数习题

1、学业水平训练1下列说法正确的是()A函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值解析：选D由极值与最值的区别知选D2函数yx(1x2)在0,1上的最大值为()A. BC D解析：选A.y13x20，x±.当0x时，y0；当x1时，y0.所以当x时，y极大值；当x0时，y0；当x1时，y0.所以当x时，ymax.3函数f(x)2xcos x在(，)上()A无最值

2、 B有极值C有最大值 D有最小值解析：选A.f(x)2sin x0恒成立，所以f(x)在(，)上单调递增，无极值，也无最值4函数f(x)x(x1,3)的值域为()A(，1)(1，) B.C D解析：选Df(x)1，所以在1,3上f(x)0恒成立，即f(x)在1,3上单调递增所以f(x)的最大值是f(3)，最小值是f(1).故选D5若函数yx3x2m在2,1上的最大值为，则m等于()A0 B1C2 D解析：选Cy3x23x3x(x1)由y0，得x0或x1.f(0)m，f(1)m，又f(1)m，f(2)86mm2，f(1)m最大m.m2.6函数f(x)xln x的最小值为_解析：f(x)(xln

3、x)ln x1.令f(x)0，解得：x，又x时f(x)0,0x时f(x)0，f(x)xln x在x处取得极小值即为最小值f()e1.答案：e17已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a_.解析：y2x2，令y0，得x1，函数在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减若a1，则最大值为f(a)a22a3，解之得a(a舍去)；若a1，则最大值为f(1)1234.综上知，a.答案：8函数f(x)3xsin x在x0，上的最小值为_解析：f(x)3xln 3cos x.x0，时，3xln 31，1cos x1，f(x)0，f(x)递增，f(x)minf(0)1.答案：19已知函数f(x)ln

4、 x，求f(x)在上的最大值和最小值解：f(x).由f(x)0，得x1.当x在上变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,2)2f(x)0f(x)1ln 2单调递减极小值0单调递增ln 2由上表可知，f(x)的最小值为f(1)0.因为f1ln 2，f(2)ln 2，ff(2)2ln 2(ln e3ln 16)又因为e316，所以ff(2)0，因此f(x)在上的最大值为f1ln 2.10已知函数f(x)x3ax22，且f(x)的导函数f(x)的图象关于直线x1对称(1)求导函数f(x)及实数a的值；(2)求函数yf(x)在1,2上的最大值和最小值解：(1)由f(x)x3ax2

5、2，得f(x)3x22ax.f(x)的图象关于直线x1对称，1.a3，f(x)3x26x.(2)由(1)知f(x)x33x22，f(x)3x26x.令f(x)0，得x10，x22.当x在1,2上变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)00f(x)222由上表可知，当x1或x2时，函数有最小值2，当x0时，函数有最大值2.高考水平训练1函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A0a1 B0a1C1a1 D0a解析：选B.f(x)3x23a，令f(x)0，可得ax2，又x(0,1)，0a1，故选B.2已知函数f(x)x3ax2b(

6、a，b为实数，且a1)在区间1,1上的最大值为1，最小值为1，则a_，b_.解析：f(x)3x23ax3x(xa)，令f(x)0，解得：x10，x2a.a1，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,1)1f(x)0f(x)1ab极大值b1ab由题意得b1.f(1)，f(1)2，f(1)f(1)，1，a.答案：13求证：ln x(x1)21(1x)3.证明：设f(x)ln x(x1)2(x1)31(x0)，则f(x)(x1)2(x1)2(x1)2(x1)2(x1)3·.令f(x)0，解得x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值由上表可知，当x1时，f(x)有极小值，这里也是最小值当x0时，f(x)f(1)0.ln x(x1)21(1x)3.4设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围解：(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1(t1不合题意，舍去)当t变化时，g(t)、g(t)的变化情