中线倍长法和截长补短法学

1、几何证明-常用辅助线(一)中线倍长法： 例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图， ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD < (AB+AC)1分析：要证明 AD < - (AB+AC)，就是证明AB+AO2AD，也就是证明两条线 段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边” ，但题中 的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该 进行转化。待证结论 AB+AO2AD中，出现了 2AD，即中线AD应该加倍。证明：延长 AD至E,使DE=AD，连CE,贝U AE=2AD。在厶ADB和厶EDC中，AAD= DEZAD

2、B二 ZEDCBD= DC ADB EDC(SAS) AB=CE又在厶ACE中，AC+CE > AE1 AC+AB >2AD，即 AD < (AB+AC)小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即 中线倍长法 它可以将分居中线两旁的两条边 AB、AC和两个角/ BAD和/ CAD集中于同一 个三角形中，以利于问题的获解。课题练习：.'ABC中，AD是.BAC的平分线，且 BD=CD，求证AB=AC例2:中线一倍辅助线作法 ABC 中AD是BC边中线AD方式1:延长AD到E, 使 DE=AD , 连接BE方式2:间接倍长E作CF丄AD于F,作BE丄AD的延

3、长线于E连接BEN延长MD到N,使 DN=MD 连接CD例3:A ABC中，AB=5 , AC=3，求中线 AD的取值范围例4:已知在 ABC中，AB=AC , D在AB上，E在AC的延长线上， DE交BC于F,且ADFDF=EF，求证：BD=CE课堂练习：已知在 ABC中，AD是BC边上的中线,BE交AC于F,求证：AF=EF例5：已知：如图，在 心ABC中，AB式AC , D、E在BC上，且DE=EC过D作DF /BA交 AE于点 F, DF=AC. 求证：AE平分.BAC课堂练习：已知 CD=AB，/ BDA= / BAD , AE是厶ABD的中线，求证：/ C=Z BAE作业：1 在四

4、边形 ABCD中，AB / DC, E为BC边的中点，/ BAE= / EAF , AF与DC的延长线 相交于点F。试探究线段 AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论D2、已知：如图， ABC中，.C=90 , CM_AB于M , AT平分.BAC交CM于D,交BC 于T,过D作DE/AB 交BC于E,求证：CT=BE.3:已知在 ABC中，AD是BC边上的中线, 于F，求证：AF=EFCE是AD上一点,BE 交 AC且BE=AC，延长C= / BAE4:已知 CD=AB，/ BDA= / BAD , AE是厶ABD的中线，求证:5、在四边形 ABCD中，AB / DC, E为BC边的

5、中点，/ BAE= / EAF , AF与DC的延长线 相交于点F。试探究线段 AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论CED（二）截长补短法例1.已知，如图1-1 ,在四边形 ABCDK BC>AB At=DC BD平分/ ABC图1-1求证：/ BAD/BCD180° .分析：因为平角等于180。，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转 化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形， 可通过“截长补短法”来实现 E证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点 E,作DF丄BC于点F,如图1-2 BD平分/ ABC： DE=DF在 RtA ADE与 RtA

6、 CDF中,'DE = DF.AD =CD Rt ADE RtA CDF HD，DAE/ DCF又/ BAD/ DAE=180°,./ BAD/ DCI=180°,即/ BAD/ BCD180°例2.如图 2-1 , AD/ BC 点 E在线段 AB上,/ ADE/ CDE / DCE/ ECB求证：Ct=ADBC图2-1C例3.已知，如图3-1，/仁/ 2, P为BN上一点，且 PDL BC于点D, ABhBC=2BD求证：/ BAF+ / BCP180° .图3-1例4.已知：如图 4-1，在 ABC中，/ C= 2/ B,/ 1 = Z 2

7、.求证：AB=AQCD图4-1作业：1、已知：如图， ABCD是正方形，/ FAt=/FAE求证：BBDFAEDFC2、五边形 ABCD中, AB=AE BGDE=CD / ABC/ AED180°,求证：AD平分/ CDE（三）其它几种常见的形式:1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全 等三角形。例：如图1:已知ABC的中线，且/ 1 = / 2, / 3=/ 4,求证：BE CF> EF02、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全 等三角形。例：如图 2： AD ABC的中线，且/ 1 = / 2,/ 3=/4,求证：BECF> EFA练习：已知 ABC AD是BC边上的中线，分别以 AB边、AC边为直角边各 向形外作等腰直角三角形，如图 4,求证EF= 2ADF图43、延长已知边构造三角形：例如：如图6:已知AC= BD, ADLAC于A , BCLBD于B, 求证：AD= BCC4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解 决。D7例如：如图 7: AB/ CD AD/ BC 求证：AB=CD5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 8:在 Rt ABC中，AB= AC / BAC= 90 的延长于E。求证：BD= 2