高数洛必达法则

1、三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式00第二节第二节洛必达法则洛必达法则 )()(limxgxf微分中值定理微分中值定理函数的性态函数的性态导数的性态导数的性态函数之商的极限函数之商的极限导数之商的极限导数之商的极限 转化转化00( 或或 型型)()(limxgxf本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则一、一、0)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在存在 (或为或为 )()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2内可导在与aUxFxf0)( xF且定理定理 1.型未定式型未定式00(洛必

2、达法则洛必达法则) 【定义】【定义】这种在一定条件下通过分子分母分别求导这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .( 在在 x , a 之间之间)证证: 无妨假设无妨假设, 0)()(aFaf在指出的邻域内任取在指出的邻域内任取,ax 则则)(, )(xFxf在以在以 x, a 为端点的区间上满足柯为端点的区间上满足柯0)(lim)(lim) 1xFxfaxax故故)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)()(limxFxfax)()(limFfax)()(limxFxfax)3定理条

3、件定理条件: 西定理条件西定理条件,)()(lim)3xFxfax存在存在 (或为或为 ),)()()()2内可导在与aUxFxf0)( xF且推论推论1. 定理定理 1 中中ax 换为下列过程之一换为下列过程之一:, ax, ax,xx推论推论 2. 若若)()(limxFxf满足定且型仍属)(, )(,00 xFxf理理1条件条件, 则则)()(lim)()(limxFxfxFxf)()(limxFxf 条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理定理 1 仍然成立仍然成立.,x)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax洛必达法则洛必达法则例例1. 求求.123lim233

4、1xxxxxx解解: 原式原式型0023注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx lim1x洛洛266lim1xxx洛洛例例2. 求求.arctanlim12xxx解解: 原式原式 xlim型00221limxxx1211x21x11lim21xx思考思考: 如何求如何求 nnn12arctanlim( n 为正整数为正整数) ?型洛洛二、二、型未定式型未定式)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在存在 (或为或为)()(limxFxfax定理定理 2.)()(limxFx

5、fax(洛必达法则洛必达法则),)()()()2内可导在与aUxFxf0)( xF且1)0)()(limxFxfax的情形的情形)()(limxFxfax limax)(1xF)(1xf limax)()(12xFxF)()(12xfxf)()()()(lim2xfxFxFxfax)()(lim)()(lim2xfxFxFxfaxax)()(lim)()(lim1xfxFxFxfaxax)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax从而从而型00证证: 仅就极限仅就极限)()(limxFxfax存在的情形加以证明存在的情形加以证明 .2)0)()(limxFxfax的情形的情形. 取常数

6、取常数,0k,0 kkxFxfax)()(lim)()()(limxFxFkxfax)()()(limxFxFkxfax)()()(limxFxFkxfaxkxFxfax)()(lim)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax可用可用 1) 中结论中结论3)()(limxFxfax时时, 结论仍然成立结论仍然成立. ( 证明略证明略 )说明说明: 定理中定理中ax 换为换为之一之一, 条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理仍然成立定理仍然成立., ax, ax,xx,x例例3. 求求. )0(lnlimnxxnx解解:原式原式11limnxxxnnxxn1lim0例例4.

7、 求求解解: (1) n 为正整数的情形为正整数的情形.原式原式0 xnxxnelim1xnxxnne) 1(lim22. )0(elim, 0nxxnx型型洛洛xnxne!lim洛洛洛洛例例4. 求求. )0(elim, 0nxxnx(2) n 不为正整数的情形不为正整数的情形.nx从而从而xnxexkxexkxe1由由(1)0elimelim1xkxxkxxx0elimxnxx用夹逼准则用夹逼准则kx1kx存在正整数存在正整数 k , 使当使当 x 1 时时,例例4. )0(0elim, 0nxxnx. )0(0lnlimnxxnx例例3. 说明说明:1) 例例3 , 例例4 表明表明x时

8、时,lnx后者比前者趋于后者比前者趋于更快更快 .例如例如,xxx21lim21limxxxxxx21lim事实上事实上xxx21lim11lim2xx1)0(ex, )0( nxn用洛必达法则用洛必达法则2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题计算问题 . 3) 若若,)()()(lim时不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx)sin1 (limxxx1极限不存在极限不存在不能用洛必达法则不能用洛必达法则 ! 即即 三、其他未定式三、其他未定式:,0 ,00

9、,1型0解决方法解决方法:通分通分转化转化000取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化转化例例5. 求求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx洛洛型. )tan(seclim2xxx解解: 原式原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例例6. 求求通分通分转化转化000取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化转化洛洛例例7. 求求.lim0 xxx型00解解: xxx0limxxxln0elim0e1利用利用 例例5通分通分转化转化000取倒数取倒数

10、转化转化0010取对数取对数转化转化例例8. 求求.sintanlim20 xxxxx解解: 注意到注意到xx sin原式原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31型00洛洛例例3nn1nnln1e1例例9. 求求. ) 1(limnnnn2111limxxxx原式法法1. 直接用洛必达法则直接用洛必达法则.型0下一步计算很繁下一步计算很繁 ! 21 limnn法法2. 利用例利用例3结果结果.) 1(lim121nnnn1eln1nn21limnnnnln121lnlimnnn0uu1e 原式原式例例3内容小结内容小结洛必达法

11、则洛必达法则型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111fggflne思考与练习思考与练习1. 设设)()(limxgxf是未定式极限是未定式极限 , 如果如果)()(xgxf是否是否)()(xgxf的极限也不存在的极限也不存在 ? 举例说明举例说明 .极限不存在极限不存在 , )1ln()cos1 (cossin3lim. 2120 xxxxxx说明说明3) 3) 原式原式xxxxx120cossin3lim21xxx)1ln(0时，)03(2123分析分析:说明说明3)2cos1x分析分析:203cos1limxxx30 limxx3.xxxx1sin1cotlim0原式原

12、式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161xxxxxx20sin)sin(coslim洛洛,1xt 则则2011221limtttt4. 求求xxxxx122lim23解解: 令令原式原式tt2lim0 21)21 ( t21)1 (t2)1 ()21 (lim2323210ttt41洛洛洛洛作业作业 P138 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), *4第三节 洛必达洛必达(1661 1704)法国数学家法国数学家, 他著有他著有无穷小分析无穷小分析(1696), 并在该书中提出了求未定式极并在该书中提出了求未定式极限的

13、方法限的方法, 后人将其命名为后人将其命名为“ 洛必达法洛必达法的摆线难题的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的以后又解出了伯努利提出的“ 最速降最速降 线线 ” 问题问题 , 在他去世后的在他去世后的1720 年出版了他的关于圆年出版了他的关于圆锥曲线的书锥曲线的书 .则则 ”. 他在他在15岁时就解决了帕斯卡提出岁时就解决了帕斯卡提出求下列极限求下列极限 :;)11ln(lim) 12xxxx解解:tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt.cossec)1ln()1ln(lim)3220 xxxxxxx;e1lim)2211000 xxx)11ln(lim) 12xxxx)1 (2lim0tttt备用题备用题ttt21lim11021)1(xt 令洛洛,12xt 则则tttelim50原式原式 =50limettt0ttte50lim49211000e1lim)2xxx解解: 令令