几何画板在立体几何教学的应用

1、几何画板在立体几何解题教学中的应用数学教学中的数学活动，是为了帮助学生探索未知的事实和规律，它是为了说明思想概念，阐述道理方法，指导学生操作练习。许多数学问题情景，在传统的黑板和纸笔提供的教学环境中，教师只能讲一讲， 学生只能想一想。用多媒体辅助教学，就可以变抽象为具体就可以演示、操作了。几何画板作为一种适合中学教师使用的教学软件，是21世纪的动态几何。用几何画板绘制各种立体图形非常直观，可以解决学生从平面图形向立体图形，从二维空间向三维空间过渡的难题，因为它确实能把一个“活”的立体图形展现在学生面前。 在立体几何中，有些问题用直接法来寻求解题途径比较困难，甚至无从着手，这时用构造法并利用几何

2、体的特点和性质来帮助解题，可起到事半功倍的效果，引入多媒体技术后，利用几何画板辅助教学，可以丰富教学模式，实现过程教学，提高了生学习数学的兴趣。解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思维。但有些问题按照这种思维方式来寻求解题途径比较困难，甚至无从着手。在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度思考，以便找到一条绕过障碍的新途径。构造性思想及其方法就是这样的一种手段。构造法在立体几何中主要表现在辅助线、体的添加，这就是常说的分形与补形,并根据题目的特征,精心构造一个相应的“模型”,把复杂问题转化为简单问题。由于实际的三维图形,总是用二维图形来表示,这就造成了学生识图、画图、用图

3、的困难。这就需要培养学生用运动的观点观察点、线、面的位置关系，使空间图形成为学生头脑中活的思维对象。几何画板为数学教学提供了一个很好的动态视觉的环境，能对图象进行各种变换、平移、旋转和动画等处理功能。从数学课堂教学的角度上看，其最大的优点是实现了动态教学，尤其对空间想象能力薄弱的中学生而言，在立体几何的教学中CAI的优势得到了很好的体现和发挥。下面就此谈谈我在利用几何画板辅助立体几何解题教学时的一些体会,以求教于同行。一、构造三棱锥三棱锥是一个特殊的锥体，它的每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，每一个面都可以作为三棱锥的底面.利用它不但可以灵活地计算三棱锥的体积,而且还可以求点到平面的距离或异面

4、直线间的距离.例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线1与AC间的距离.分析：(利用几何画板展示教学步骤)如图所示,连结A1C1 , AC1,则AC/A1C1 AC /平面A1DC1 A到平面A1DC1的距离h就是AC与DA1间的距离. 即AC、A1D间的距离为 二、构造正方体正方体是最特殊的四棱柱，它的六个面都是全等的正方形，线线、线面、面面之间都有垂直或平行关系，这便提供了多姿的化繁为简的条件，以它为“模型”是最妙不过了.例2： 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）.（2003年全国高考题）A3p B.4p C.p D. 6p分析:

5、构造一个棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D(如图) 连AB1,AD1,AC,CD1,CB1,B1D1,则四面体B1ACD1为符合题意的四面体，它的外接球的直径即为正方体的对角线长.设该外接球的半径为R,则2R=AC1=,所以此正四面体外接球的表面积为S=4pR2=3p,故选A.例3：在四面体的四个侧面中,直角三角形最多可有( ).A. 1个 B. 2个 C. 3个 D .4个 分析:构造如图所示的正方体,连B1D1、A1B、BD1 ,考察四面体BB1D1A1 ,它的四个侧面都是直角三角形,故选D.例4:过正方形ABCD的顶点A作线段PA面ABCD ,若AB=PA ,求面PAB和面PCD所成

6、二面角的大小.分析:如图,将四棱锥PABCD补成正方体PQRSABCD ，则PQ为面PAB与面PCD的交线.由正方体性质知PDPQ ,APPQ , ÐDPA为所求二面角的平面角,易知ÐDPA=45°.二、 构造长方体长方体的六个面都是矩形，每个顶点上的三条棱两两互相垂直.利用这些性质,构造长方体,常能使很多问题得到简化.例5：已知ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AB和AD的中点,GC平面ABCD于C,且GC=2,求点B到平面GEF的距离.(1991年全国高考题)分析:如图,以边长为4的正方形ABCD为底面,GC为侧棱,构造长方体.由BD/EF,得BD/面E

7、FG ,到平面EFG的距离,转化为底面中心O到平面EFG的距离四、应用等积变换构造立几模型 充分应用等积变换、构造、辅助解题的模型，理清思路，这是解几何难题的一种常用方法.例6：在四面体A-BCD中，已知AB=a，CD=b，AB与CD间的距离为h，它们所成的角为，求四面体的体积.分析：（用等积变换）在平面BCD内过B点作BECD，DEBC，BE、DE交于E点从而得平行四边形BCDE，连AE则A-BCDE为四棱锥CDBE，且AB与CD所成角为ABE是AB、CD所成的角或补角，即ABE=或-.CDBE，CD面ABE设AB与CD的公垂线为GF，则GF就是CD与面ABE的距离，也就是棱锥D-ABE的高

8、线.显然GF面ABE，且GF=hDEBC，SBDE = SBCD .VD-ABE= VA-BDE = VA-BCD .VA-BCD = abhsin五、分割图形巧补图形可使某些立几问题迅速准确获解,同样适当地分割图形,也可使某些立几问题趋于简单,从而为问题的顺利解决提供了方便.例7：如图三棱锥PABC中，已知PABC，PA=BC=l，PA、BC的公垂线段DE=h.求三棱锥PABC的体积.分析:直接考虑会因条件用不上感到束手无策.如考虑过DE、BC的平面分割三棱锥PABC为两个三棱锥PBCD和ABCD.则问题简捷解出.解:PABC,PADE, PA面BCD.例8 ：已知正三棱柱ABC-A1B1C

9、1的底面边长为6，侧棱长为,求三棱锥B- CA1 C1的体积.如图： 分析：面BA1C1 、面BCA1将这个三棱柱分割为三个三棱锥.易证 = V正三棱柱 = SABCh= ×××62×3=27以上用几何画板设计的不同的按纽如：（1） 用移开、合拢、显示、隐藏按纽突出构造模型的过程，（2）多个按纽的组合（或系列）进行教学步骤设计，实现教师分析、板书、作图按知识点的同步教学，环环相扣，层层深入地引发学生思考，这些是传统教学难以媲美的.（3）利用几何画板实现数形结合，增强了图形的立体感和美感（立体、色彩、对称、动画等可增加图形的美感，让学生欣赏数学美，增添数学兴趣），利于学生的思维的发生、发展和充分想象，寻找问题的解决途径，进而实现学生的自主学习.(4)用显示、隐藏按纽来重复讲解学生不太清楚的问题,实现学生的分层次教学.(5)用旋转按纽,可以从多角度、全方位来观察问题,实现学生思维的全面性,这个旋转也是让学生充分感受数学美的魅力所在,进而激发学生探索数学的无穷乐趣.构造思想方法充分体现了“他山之石可攻玉”的哲理.用构造法来解立体几何问题,实际上是将待解决问题的条件和数量关系,显示在所构造的“模型”上,并且得到相应的解释,从而转化为所构造模型的相应问题,实现用简捷方法解决复杂问题的目标。引入多媒体技术，利