掌握函数的概念及表示方法

1、 1 掌握函数的概念及表示方法；掌握函数的概念及表示方法；2 理解函数的单调性、有界性、奇理解函数的单调性、有界性、奇 偶性、周期性等基本性质；偶性、周期性等基本性质；3 理解复合函数、反函数、基本初理解复合函数、反函数、基本初 等函数、初等函数等概念。等函数、初等函数等概念。 第一章第一章 实数集与函数实数集与函数教学目标教学目标：下页下页第一章第一章 实实数集与函数数集与函数 1 实实 数数 数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概念 一一 实实数及其性数及其性质质： 回顾中学中关于有理数和无理数的定义. 有理数有理数：( ,0)p qqp能用互质分数 为整数，

2、表示的数；q有限十进小数或无限十进循环小数表示的数 若规定： 012012.(1)999nna a aaa a aa 则有限十进小数都能表示成无限循环小数。 例如： 001. 2 记为 999000. 2 ；0 记为 000. 0 ； 8 记为 999. 7 下页下页实实数数大大小小的的比比较较 定定义义 1 给定两个非负实数 nnbbbbyaaaax210210.,. 其中 kkba , 为非负整数，9,0kkba。若由 1） ,2,1,0,kbakk 则称 x 与 y 相等，记为 yx 2） 若存在非负整数 l，使得 ),2,1,0(,lkbakk，而11llba，则称 x 大于 y （或

3、 y 小于 x ），分别记为 yx （或xy ）。 规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数yx ,，若按定义1 有 yx，则称 xy 实实数数的的有有理理数数近近似似表表示示 定定义义2 2 设设 naaaax210.为非负实数，称有理数 nnaaaax210. 下页下页为实数 x的n 位不足近似值，而有理数 nnnxx101 称为 x的n 位过剩近似值。 对于负实数 naaaax210. x的n 位不足近似值规定为：nnnaaaax101.210； x的n 位过剩近似值规定为：nnaaaax210. 比如 21.4142 ，则 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 称为 2

4、 的不不足足近近似似值值； 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 称为 2 的过过剩剩近近似似值值。 命命题题 设 01201 2.,.xa a ayb b b 为? 个实数，则 ,nnxynxy存在非负整数使得 下页下页例 1 设yx , 为实数，yx ，证明：存在有理数 r 满足 yrx 证明 由 yx 存在非负整数 n ，使得 nnyx ，取 2nnyxr 则 r 显然为有理数，且 yyrxxnn 实实数数的的一一些些主主要要性性质质 1 四则? 算封闭性: 2 三? 性( 即有序性 ): 任何两个实数 ba ,，必满足下述三个关系之一： bababa, 3 实数大小由传递

5、性，即,abbc则有 ac. 4 Achimedes 性: . , , 0 ,bnanabbaNR 5 稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义. 6 实数集的几何表示： 数轴: 例 , 0, .0, a b +ababab 下页下页二二. . 绝绝对对值值与与不不等等式式 绝对值定定义义： ,0| |,0aaaa a 从数轴上看的绝对值就是到原点的距离： a 0 -a 绝绝对对值值的的一一些些主主要要性性质质 | | | 00| | 0- ; | |,04.5. | | | | |6.,0| |aaaaaaaahh a hahh a h haba bababa baabbb 1.

6、当且仅当时2. -| |3. | | 下页下页性质4（三角不等式）的证明：性质4（三角不等式）的证明： 由性质2 -|a| a |a|, -|b| b |b|两式相加 -(|a|+|b|) a+b |a|+|b|由性质 3 上式等价于 |a+b| |a|+|b|把上式的 b 换成 -b 得 |a-b| |a|+|b| 由此可推出 | )(|)(|)(|AxfAAxfAAxf 下页下页 三三. 几几个个重重要要不不等等式式: （1） ,222abba . 1 sin x . sin xx （2）对,21Rnaaa 记 ,1 )(121niiniannaaaaM (算术平均值) ,)(1121nn

7、iinniaaaaaG (几何平均值) .1111111)(1121niiniiniananaaanaH (调和平均值) 有有均均值值不不等等式式: ),( )( )(iiiaMaGaH等号当且仅当naaa21时成立. （3） Bernoulli 不不等等式式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对,0 x 由二项展开式 23(1)(1)(2)(1)1,2!3!nnn nn nnxnxxxx 有: (1)nh 上式右端任何一项. 下页下页abab 2 2 数数集集. . 确确界界原原理理 一一 区区间间与与邻邻域域: : 区区间间 ： ),(ba记作bxax, ba记作称称为为开开区区间间, ,

8、 称称为为闭闭区区间间, , bxax下页下页abab ao bxax,( ba记作称称为为半半开开区区间间, , ),xaxa 无限区无限区间间下页下页xaooxb),xaxa),(bxxb),(下页下页xaaaxaaa下页下页二二 有有界界数数集集 . 确确界界原原理理: 1. 有有界界数数集集: 定义(上、 下有界, 有界) 设 S为实数R上的一个数集， 若存在一个数M （ L） , 使得对一切 Sx 都有 )(LxMx，则称S为有上界(下界)的数集。 若集合S既有上界又有下界，则称S为有界集。 例如，闭区间、( , ) ( ,a ba b为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 ) , (

9、 ,sin xxyyE 也是有界数集. 无无界界数数集集: 若对任意0M ，存在 , |xSxM，则称S为无界集。 例如，) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (，有理数集等都是无界数集, 例1 证明集合 ) 1 , 0 ( ,1 xxyyE是无界数集. 下页下页证明：对任意0M , 存在 11(0,1),11xyEyMMMx 由无界集定义，E为无界集。 确确界界，先给出确界的直观定义：若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集 S 的上确界，记作 Ssup；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界，记作 Sinf。 MM2M1上确界上界 m2

10、mm1下确界下界下页下页确界的精确定义确界的精确定义定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条： （1） 对一切 Sx 有 x，即 是数集 S 的上界； （2） 对任意0，存在 Sx 0 使得0 x（即是 S 的最小上界）， 则称数为数集 S 的上确界。记作 Ssup 定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条： 1）对一切 Sx 有 x，即 是数集 S 的下界； 2）对任意0，存在 Sx 0使得0 x（即是 S 的最大下界）， 则称数为数集 S 的下确界。记作 Sinf 0 x 0 x S 下页下页 例 1 （1） ,) 1(1nSn 则._inf _,sup

11、SS （2） .), 0( ,sin xxyyE 则 ._inf _,supEE 定定理理 1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界。 证明(建教材 p7) 例2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的. 例3 设S 和 A是非空数集，且有.AS 则有 .infinf ,supsupASAS. 例 4 设A和 B 是非空数集. 若对Ax和,By都有, yx 则有 .infsupBA 证 Ax和,By都有, yx y是 A的上界, 而Asup 是 A的最小上界 .sup yA 此式又Asup 是B 的下界,Asup Bin

12、f（B 的最大下界） 下页下页例 5 A和 B 为非空数集, .BAS 试证明: . inf , inf mininfBAS 证 ,Sx 有Ax 或,Bx 由Ainf和Binf分别是 A和 B 的下界,有 Axinf或. inf , inf min .infBAxBx 即 inf , inf minBA是数集 S 的下界, . inf , inf mininf BAS 又SAS , 的下界就是 A的下界, Sinf是 S 的下界, Sinf 是 A的下界, ;infinf AS 同理有.infinfBS 于是有 inf , inf mininfBAS . 综上, 有 inf , inf min

13、infBAS . 1. 数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 2. 确界与最值的关系: 设 E 为数集. E 的最值必属于 E , 但确界未必, 确界是一种临界点. 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. 若Emax存在, 必有 .supmaxEE ，对下确界有类似的结论. 下页下页下页下页 3 3 函函数数概概念念 函数是整个高等数学中最基本的研究对象, 可以说数学分析就是研究函数的. 因此我们对函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识. 一一 函函数数的的定定义义 1. 函数的几点说明. 函函数数的的两两要要素素: : 定义域和对应法则 约定: 定义域是自变

14、量所能取的使算式有意义的一切实数值. 21,: 1,1yxD，例例如如21,:( 1,1)1yDx例例如如，()0 x0()fx对对应应法法则则 f xyDW下页下页函函数数的的表表示示法法: 解析法, 列表法, 图像法. 分段函数 1 ,0sgn0 ,01 ,0 xxxx 狄里克雷函数 1,( )0 xD xx为有理数，为无理数 黎曼函数 1,( )00 10 1pxqqR x既约真分数， 下 ，和 （ ，） 内的无理数 三三 函数的四则运算函数的四则运算y1-1xo下页下页 四四 复复合合函函数数: 设有两个函数 ExxguDuufy,)(,)(，若 )(|*EDxgxE，则 *Ex， 通

15、过函数 g 对应 D 内唯一u ，而 u通过函数 f 对应唯一 y 这样，*Ex都有唯一 y 和它对应，因此确定了一个以 x为自变量，y 为因变量的函数，记作 )(xgfy ，称为函数gf 和的复合函数，并称 f 为外函数， g为内函数，u 为中间变量。 E D E* g )(ufy )(|Dxgx f x )(xgu 下页下页五五 反反函函数数 0 x0y0 x0yxy)(xfy 函数ox)( yx反函数o)( xfy 直接函数xyo),(abQ),(baP)( xy反函数下页下页1 1 常常函函数数 2 幂幂函函数数 xy 幂函数 35,xx clf,x=-1:0.02:1; y1=x.(

16、-3);y2=x.(-5); plot(x,y1,x,y2),hold on axis(-1,1,-500,500); legend(x-3,x-5); plot(-2,2,0,0,r,0,0,-500,500,r) -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-500-400-300-200-1000100200300400500 x-3x-5下页下页幂函数 21/2,xx 图象 clf,x=0:0.02:1.6; y1=x.2;y2=x.(1/2); axis(-0.1,1.4,-0.1,1.2) legend(x,x1/2) plot(x,y1,x,y2,linewi

17、dth,2),hold on plot(-0.1,2,0,0,r,0,0,-0.1,1.5,r) -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81050100150200250300350400450500 x-2x-4下页下页幂函数 21/2,xx 图象 00.20.40.60.811.21.400.20.40.60.811.2x x1/2下页下页 31/3,xx 00.20.40.60.811.21.400.20.40.60.811.2x3 x1/3下页下页 xx2log,2图像00.511.522.53-4-202468log2x2x 下页下页5 三角函数6 反三角函数

18、arcsinx , arccosx 图像-1-0.500.51-1.5-1-0.500.511.5xasin (x)-1-0.500.5100.511.522.53xacos (x)下页下页-6-4-20246-1.5-1-0.500.511.5xatan(x)arctgx 图图 像像下页下页下页下页-MyMxoy=f(x)X有界函数有界函数4 具具有有某某些些特特性性的的函函数数 1. 有有界界函函数数 若函数)(xf在定义域D上既有上界又有下界， 则称 f 为D上的有界函数。这个定义显然等价于，对一切Dx，恒有 Kxf| )(| 有界函数的几何意义 下页下页M-MxoX0 xy无界函数无界

19、函数请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义。 例 ), 0 (,sin)(xxxxf 是无界函数。 证明 对任意的 0M，存在 Mnn22:，取22 nxm ，则 下页下页)(xfy )(1xf)(2xfxyoIMnxfm22)( 2 2. . 单单调调函函数数 看下面函数的图像，给出单调函数的定义 )(xfy)(1xf)(2xfxyoI下页下页o-2-424-224-4奇函数与偶函数奇函数与偶函数 （1）定义域关于原点对称 （2）奇函数（偶函数）对任何Dx 有 )()(xfxf， （)()(xfxf） 下页下页奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy 两条缺一不可。 clf, x=

20、-2:1/20:2; y1=x.3; y2=x.2-1; subplot(1,2,1) plot(x,y1,r,linewidth,2),hold on 下页下页plot(-1.8,1.8,0,0) plot(0,0,-6,6) legend(x3) subplot(1,2,2) plot(x,y2,r,linewidth,2),hold on plot(-1.8,1.8,0,0) plot(0,0,-2,4) axis(-2,2,-2,4), legend(x2); 下页下页 奇、偶函数的运算性质 请看下面几个图象，回答奇偶函数的运算性质 clf, x=-1.2*pi:1/20:1.2*pi

21、; -2-1012-8-6-4-202468x3-2-1012-2-101234x2下页下页subplot(2,2,1); y1=sin(x).*x.3; plot(x,y1,r,linewidth,2), hold on plot(-4,4,0,0,b,0,0,-35,10,b) title(x3*sinx);hold on subplot(2,2,2) y2=cos(x).*x.2; plot(x,y2,r,linewidth,2) hold on plot(-4,4,0,0,b,0,0,-15,5,b) title(x2*cosx); subplot(2,2,3); y3=sin(x).*cos(x);plot(x,y3,r,linewidth,2) 下页下页hold on plot(-4,4,0,0,b,0,0,-0.5,0.5,b) title(sinx*cosx); subplot(2,2,4);y4=3*sin(x)+sin(x./3); plot(x,y4,r,line