专题十三圆锥曲线的综合问题讲义理(含解析)

1、专题十三圆锥曲线的综合问题三年考情纵横研宪妙卷I卷n卷川2018椭圆的标准方程、直线与椭圆 的位置关系、证明问题T19直线与抛物线的位置 关系、弦长问题、抛 物线与圆的综合问题T19直线与椭圆的位置关 系、不等式的证明与 平面向量综合冋题T202017椭圆的标准方程、直线过定点问题 T20轨迹问题、直线过定点问题 T20直线与抛物线的位置关系、直线方程、圆的方程 T202016轨迹问题、定值问题、面积的取值范围问题 T20直线与椭圆的位置关 系、求三角形的面 积、参数的取值范围问题 T20直线与抛物线的位置关系、轨迹问题、证明问题 T20纵向把握趋势卷I 3年3考，难度较大，涉及 椭圆的标准方

2、程、直线与椭圆 的位置关系、定点问题、定值 冋题、轨迹冋题、取值范围冋 题及证明问题特别注意2018年咼考将此综合题前移到第19题，难度降低.这一变化，预 计2019年仍会以椭圆为载体考 查椭圆方程、直线与椭圆的位 置关系以及定点或定值问题卷n 3年3考，难度 偏大，涉及轨迹冋 题、直线与抛物线的 位置关系、直线与椭 圆的位置关系、轨迹 问题、三角形面积、 范围问题以及直线过 定点问题特别注意 2018年高考将此综 合题前移到第19 题，难度降低这一 变化，预计2019年 会以椭圆为载体考查 弦长问题及弦长取值 范围问题卷川3年3考，涉及 直线与椭圆的位置关 系、直线与抛物线的 位置关系、轨迹

3、问题 及证明问题预计 2019年会将抛物线 与圆综合考查，考查 直线与圆或抛物线的 位置关系及其应用问 题解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知横向把握重点识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等.试题难度较大，多以压轴题出现.解答题的热点题型有：直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)轨迹方程及探索性问题的求解 考法一定点、定值问题题型策略(一一 )| “设参t用参t消参”二步解决圆锥曲线中的定点冋题. 2例1 (2018 南昌模拟)已知抛物线C：y= 2px(p>0)的焦点F(1,0) , 0为坐标原点，

4、A, B是抛物线C上异于O的两点.(1) 求抛物线C的方程；1(2) 若直线OA OB的斜率之积为2,求证：直线 AB过x轴上一定点.破题思路第问求什么想什么求抛物线C的方程，想到求 p的值给什么用什么给出焦点F的坐标，利用焦点坐标与p的关系求p第问求什么想什么求证：直线AB过x轴上一定点，想到直线 AB的方程给什么用什么题目条件中给出“ A, B是抛物线C上异于点0的两点”以及“直线 OA OB1的斜率之积为-2”，可设 代B两点的坐标，也可设直线 AB的方程差什么找什么要求直线 AB的方程，还需要知道直线 AB的斜率是否存在，可分类讨论解决规范解答(1) 因为抛物线y2 = 2px( p&

5、gt;0)的焦点坐标为F(1,0)，所以2= 1,所以p= 2.所以抛物线C的方程为y2=4X.(2) 证明：当直线 AB的斜率不存在时， 、t2t2设 A 4，t , B 4, - t .1因为直线OA 0B的斜率之积为一2,t 一 t 12所以步占=-2,化简得t2= 32.4 4所以A(8 , t) , B(8 , - t)，此时直线 AB的方程为x= 8.2_一_ 一 y = 4x,当直线AB的斜率存在时，设其方程为y= kx + b,A(XA,yA), B(XB,yB)，联立y = kx + b 消去x,化简得ky2-4y + 4b= 0.4b所以yAyB=k1因为直线OA OB的斜

6、率之积为一,VaVb所以-=xaxb整理得 xax-+ 2yAyB= 0.2 2yAyB4 4 + 2yAy-= 0,解得 yAyB= 0（舍去）或 yAyB= 32. 所以 yAy-=罟=一 32,即 b=-8k,所以 y= kx- 8k, 即卩 y = k( x- 8).综上所述，直线 AB过定点(8,0).题后悟通思路受阻分析1不能正确应用条件“直线 OA OB的斜率之积为-2'是造成不能解决本题的关键技法定点问题实质及求解步骤关键解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或点拨圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动.这类问题的求解一般可分为以下三步：:选择扰

7、屯鼠冋題申的屯点、闊嶷一个量的变牝： L；而国定，可逸梯这牛輦为吏董席时可匾择两个吏i £品点的坐标、轩轧義鹿爭値君#刑算他辅射条怦消去其屮査一泉出疋点所询足的亦程”即把试去逮阴为宅点时/ 问莖歳#咸芙于上述班量的才程时上連方和进打必*的杷商*印可得到直盍坐标:i1i-j对点训练2 2X y1. (2018 成都一诊)已知椭圆C亍+含=1(a>b>0)的右焦点F(3, 0)，长半轴长与 短半轴长的比值为 2.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M N,若点B在以线段 MN为直径的圆上，证明直线I过定点，并求出该定点的坐

8、标.解：由题意得，c = 3, b= 2, a = b + c , a= 2, b= 1,2X 2椭圆C的标准方程为-+ y2= 1.4(2)当直线I的斜率存在时，设直线l的方程为y = kx+1), M(X1, y” , N(X2, y2).y = kx + m,联立22消去y,x + 4y = 4222可得(4k + 1)x + 8kmx+ 4m 4 = 0.a = 16(4 k2+ 1 m)>0 ,28km4m 4X1+ X2=2 7 , X1X2 =2.4k + 1'4k + 1点B在以线段MN为直径的圆上， "BM "Bn = 0.则 bM bN =

9、 (X1, kx1+ m 1) ( X2, kx2+ m 1) = (k2+ 1)X1X2+ k(m 1)(x1 + X2) + (m21) = 0,24m 4 8km (k + 1) 4k2+ 1 + k( m 1) 4k2+ 1+ ( m 1) = 0,整理，得 5m 2m 3 = 0,3 解得mi= -或rn= 1(舍去).53 直线I的方程为y = kx-5.易知当直线I的斜率不存在时，不符合题意.3故直线I过定点，且该定点的坐标为0,云.5题型策略(二)1 “设参T用参T消参”三步解决圆锥曲线中的定值问题2 2X y例2(2018 沈阳质监)设O为坐标原点，动点M在椭圆-= 1上，过

10、M作x94轴的垂线，垂足为 n点p满足"NiP =寸2 "Nm.(1) 求点P的轨迹E的方程；(2) 过F(1,0)的直线丨1与点P的轨迹交于 A, B两点，过F(1,0)作与I 1垂直的直线I 2与1 1点P的轨迹交于C, D两点，求证：+为定值.Iab |cd破题思路第问求什么想什么求点P的轨迹E的方程，想到建立点P的横坐标x与纵坐标y的关系式给什么用什么题目条件中给出"NP =型"NM，利用此条件建立点 P的横坐标与纵坐标 的关系式差什么找什么要求点P的轨迹方程，还缺少点P, M N的坐标，可设点P(x, y), Mx。，y。), N(x, 0)，

11、然后用 x, y 表示 X0, y第问求什么想什么1 1要证明|AB +1 cd为定值，想到利用合适的参数表示IAB和1 CD给什么题目条件给出过F(1,0)互相垂直的两条直线分别与轨迹E分别交于A,用什么B和C D两点，用弦长公式可求|AB和|CD差什么要求IAB和I CD，还缺少直线I1和12的方程，可设出直线斜率，利用找什么点斜式表示直线方程.但要注意直线斜率不存在的情况规范解答设 P(x, y), MX。，yo)，则 N(x, 0).NP =羽 NM,a (0 , y) ="xo x, yo),- X0 = x, y0=.y 2又点M在椭圆上，X2.29+4= 一_n一也決r

12、 JL '花番氏孑無到乏施一曲址目破t話可监冠扁 H|三定值 值的董*易燮量的值応关.故*出的式子蛊能化为（消豹I :一个書救瞬以只颈对上逹丸于進行县嗖的北简即可碍圖定憤对点训练2已知椭圆C的两个顶点分别为 A 2, 0）,耳2,0），焦点在x轴上，离心率为 三3.（1）求椭圆C的方程；（2）如图所示，点D为x轴上一点，过点D作x轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M N,过点D作AM勺垂线交BN于点E求证： BDE与 BDN的面积之比为定值，并求出该定值.，2 2 即x+普=1.982 2y点P的轨迹E的方程为X + y = 1.982 2x y(2)证明：由知F为椭圆-= 1的右焦点

13、,98当直线I 1与X轴重合时，IAB = 6, ICD =警=罟，1 |AB|11171 | CD = 48.当直线l- 161 与 x 轴垂直时，| AE| = -3 , I CD = 6,1117+=| AB| 于 | CD 48'当直线l1与x轴不垂直也不重合时，可设直线l 1的方程为y= k( x1)( k丰0),则直线l12的方程为y = Qx 1),设 A(X1, y1) , B(X2, y2),联立2 2x y -= 19 丁 82 2 2 2消去 y,得(8 + 9k)x 18k x+ 9k 72= 0,则 A = ( 18k ) 4(8 + 9k )(9 k 72)

14、 = 2 304( k + 1)>0 , 18k29k2 72X1+ X2=2, X1X2 =2 ,8+ 9k '8+ 9k '2481 + k |AB = ,：1+ k)X1 + X2 4x1X2=8+ 9k2同理可得| cd =2481 + k9 + 8k22 2118+ 9k9 + 8k17| AB I CD 48 k定值问题实质及求解步骤定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量（斜率、距离、面积、比值等）与变量（斜率、点的坐标等）无关的问题其 求解步骤一般为:设臺 选择愛靳Tft为点的生标d議旳导 m v mi r w #f 、忑甬*石;怎義冷匚

15、疋疋菱石£手;鼻】I二代1刑用其社输助树隶减多老工旳牛戟+快算只（同歩M 售有一牛变童【或者有梦丰变徒，便足隹整株 1 2+ 148 k2 + 148'1 1 ，+综上可得| ab| +1 cd为疋值题后悟通思路受阻分析技法关键点拨在解决本题第（1）问时，不能正确应用"NP= 2 1NM 求得点p的轨 迹E的方程，导致第（2）问也无法求解，是解决本题易发生的错误之 一；在解决第（2）问时，忽视直线斜率的不存在性或不能正确求解I AB|,I CD都是常见解题失误的原因a= 2,由题意得C =-3,a 2解得b= 1,c= ：3,2x 2所以椭圆C的方程为匚+ y =

16、1.4(2)证明：法一：设D( xo, 0) , M(xo,yo) , Nxo, yo) , - 2<xo<2，所以yoxo+ 2,2 I Xo因为AM DE所以kDE下-2 + Xo所以直线DE的方程为y=(x xo).yo因为kBN yoxo 2,所以直线BN的方程为y=yoXo 2(x 2).由 y= 2+0x xoyoyoxo 2424解得 e 5xo+ 5, 5yo ,14S 2lBD yE| 5yo 4所以罗二 2 2 2 2整理得 4sin e 4 X sin e X sin e = 0, 即卩 5 X sin e = 4sin e .=- =-?|BD ! yN|

17、y |4故厶BDE与 BDN的面积之比为定值 -.5法二：设 M(2cos e , sin e )( kn, k Z),则 D(2cos e , 0) , N(2cos e， sin e),> >设 BE= X BN,> > > > >贝U DE = DB + BE = DB+ 入 BN=(2 2cos e , 0) + X (2cos e 2, sin e )=(2 2cos e + 2 X cos e 2 X , X sin e ).2cos e)> > > > >又 AM= (2cos e + 2, sin e )，

18、由 AM丄 DE，得 AM DE = 0，从而(22+ X (2cos e 2)(2cos e + 2) X sin e = 0,4 Sabde | BE4所以x= 4，所以厂=-bn=5.5 Sabdn | BN54 故厶BDE与 BDN勺面积之比为定值 -.5考法二圆锥曲线中的最值和范围问题题型策略(一 )|构建目标不等式解最值或范围问题欲求变量的取值范围， 可设法构造含有变量的不等式(组)，通过解不等式(组)来达到目的.禾U用题目中隐藏的已知参数的范围构建不等式2 2斤x y例1已知A是椭圆E：亍+扌=1(t>3)的左顶点，斜率为 k(k>0)的直线交E于A, M 两点，点N

19、在E上，MAL NA(1) 当 t = 4, |AM = |AN 时，求 AMN勺面积；(2) 当2| AM = | AN时，求k的取值范围.破题思路第问求什么想什么1 1求厶AMN勺面积，想到三角形的面积公式S= 2*底x高或 S= ?absin C给什么用什么题目条件中给出“ MAL NA |AM = |AN ”，得 AMF为等腰直角三角形，1故可利用面积 s= 2|AM an求解差什么找什么到此就缺少|AM, |AN的值，由于 A点已知，故想法求 M N的坐标第问求什么想什么求k的取值范围，想到建立关于 k的不等式给什么用什么题目条件中给出2| AM = | AN，可利用此条件建立t与k

20、的关系式差什么找什么缺少关于k的不等式，想到t>3即可建立k的不等式规范解答 由|AM = |AN，可得M N关于x轴对称，由MAL NA可得直线 AM的斜率k为1. 因为t = 4,所以A（ 2,0）,所以直线AM的方程为y= x + 2,2 2x y2代入椭圆方程 -+才=1,可得7x + 16x + 4 = 0,2解得x= 2或x = 7,2 12 2 12所以 M 7, y , N 7, y ,1242144则厶AMN勺面积为x y x 7 + 2 =壬亍.(2)由题意知 t>3 , k>0 , A :t, 0),2 2将直线 AM的方程 y= k(x + -'

21、;t)代入午 + 3= 1 得(3 + tk2)x2 + 2 ：t tk2x+12k2 3t = 0 ,设 M(x1 , y1),2. 2则X1 i- t k 3t('，t) =TiiT，3 tk23+ tk2故 I AM =|X1+ :t| ;1+ k2=6 't 1 + k23 + tk1由题设知，直线 AN的方程为y = k（x + 't）,故同理可得| an = 6k 3/+ k 3k + t,2k由 2|AM = |AN,得 3+p= 3k+T，即(k3 2)t = 3k(2k 1).当k = 3'2时上式不成立，因此2k 1k3 2由t>3,得

22、坐2k 1k3 2>3,所以 & 2k2+ k-2k3 2k +1<0，即 N<0.由此得k 2>0,k 2<0,k3 2<0k3 2>0,解得 3 2<k<2.因此k的取值范围是（茁,2）.题后悟通思路解决本题第(2)问时，通过已知条件 2|AM = |AN得到参数k与参数t受阻之间的关系，往往会忽视题目中的已知条件t>3，不能建立关于 k的分析不等式，从而导致问题无法求解技法禾U用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立关键两个参数之间的等量关系，将新参数的范围转化为已知参数的范围问点拨题利用已知条件中的几

23、何关系构建目标不等式2 2例2设椭圆倉+詈=1( a/ 的右焦点为F,右顶点为 A已知|0A |0F = 1,其中0为原点，e为椭圆的离心率.(1) 求椭圆的方程及离心率 e的值；(2) 设过点A的直线I与椭圆交于点 B(B不在x轴上)，垂直于I的直线与I交于点M与y轴交于点H.若BF丄HF,且/ MOAZ MAO求直线I的斜率的取值范围.破题思路第问求什么求椭圆的标准方程及离心率e的值，想到利用a, b, c的关系求参数a想什么及离心率e的值给什么用什么题目条件中给出|OA |OF = 1，则a c = 1差什么找什么还缺少一个关于 a和c的关系式，可利用 a -b + c第问求什么想什么求

24、直线l的斜率k的取值范围，想到建立关于斜率k的不等式由题目条件垂直于直线l的直线与l交于点M与y轴交于点H,利用给什么k kM- 1，建立关于k的两条直线方程，由题目条件ZMOA Z MAO用什么利用三角形的大角对大边，建立关于xm的不等式，禾U用题目条件BF丄HF,即"BF "HF - 0建立关系式差什么还缺少关于k的不等式，应找到 xm与k的关系构建关于 k的不等式找什么规范解答由题意可知iof = c=,又 | OA | OF = 1,所以 a、: a 3= 1，解得 a= 2,2 2所以椭圆的方程为x+y = 1,43离心率e= C =：a 2设 Mxm, yM)，

25、易知 A(2,o),在厶 MAOK/ MOAZ MAO | MA<| MO,2 2 2 2即(xm- 2) + yM< xm+ yM,化简得 xm> 1.设直线I的斜率为k(k丰0), 则直线I的方程为y = k(x- 2).2 2x y + -= 1,设B(xb, ys)，联立43消去y,y= k x 22 2 2 2整理得(4 k + 3)x 16kx + 16k 12= 0,8k2 6解得 x= 2 或 x= 4k?+ 3.由题意得xb=雲二，从而ys= 卷4k + 3y 4k + 3由(1)知 F(1,0)，设 H(0 , yH),冲一>>9 4 k212

26、k则 FH = ( - 1, yH) , BF =時，刁F F由 BFL HF,得 BF FH = 0,4k2 94k2+ 3+12kyH4k2 + 3=0,解得yH =9 4k212k所以直线MH的方程为1y= kX +9 4k212k 'y = k x 2,由194 k2y =严杠，消去y，得xm=代攀：9由 Xm> 1 ,> 1,解得k< 所以直线l的斜率的取值范围为7 述U远，44，题后悟通思路不能将条件中的几何信息/ MOA / MA(准确地转化成代数不等式 Xm> 1,并将受阻其用直线I的斜率表示出来，得到目标不等式，是不能正确求解此题的常见原分析因

27、技法关键点拨利用已知条件中的几何关系构建目标不等式的核心是用转化与化归的数学思 想，将几何关系转化为代数不等式，从而构建出目标不等式利用点在曲线内外 的充要条件或判别式构建目标不等式例3已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆 C,其上一点Q到两个焦点Fi, F2的距离之和为4，离心率为-2.(1) 求椭圆C的方程；1(2) 若直线I与椭圆C交于不同的两点 M N且线段MN恰被直线x =-2平分，设弦MN的垂直平分线的方程为 y = kx + m求m的取值范围.破题思路第问求什么想什么求椭圆C的方程，想到求椭圆的长半轴a和短半轴b的值给什么题目条件中给出椭圆焦点的位置，以及椭圆上一点Q到两个焦点F1

28、，F2的距用什么离之和及离心率，用椭圆的定义和离心率公式即可求a，b的值第问求什么想什么求m的取值范围，想到建立关于 m的不等式给什么用什么1题目条件给出线段 MN恰被直线x =-平分，弦MN的垂直平分线方程为 y=1kx + m用y = kx + m是弦MN的中垂线及 MN的中点在直线 x= ?上，可设1出中点坐标 P 2，yo，建立yo与m的关系，通过yo范围求m范围或建立 m与k的关系式差什么找什么1还缺少建立不等式的条件，注意到mN勺中点在椭圆内部及直线 x=-上，其隐含条件为线段 MN的中点纵坐标的范围可确定或联立直线l与椭圆方程，利用判别式 A >°求解规范解答2(

29、1)由题意可设椭圆C的方程为xF= 1( a>b>0),由条件可得a= 2, c = '3,贝U b= 1.2故椭圆c的方程为y+x=i.41(2)法一：设弦MN的中点为P 2,y°,Mxm,yM),N(xn,yN)，则由点M,N为椭圆C2 2 2 2上的点，可知 4Xmi+ yM= 4,4 Xn+ yN= 4,两式相减，得 4( XM xn)( xm+ xn) + (yM yN)( yM+ yN) = °,宀1yM yN1 八、y°将 Xm+ xn= 2X = 1, yM yN= 2y°,=一，代入上式得 k =一二.XM XNk2

30、1又点P 2, y°在弦MN的垂直平分线上，113所以 y°= 尹 + m 所以 m= y° + qk = y°.由点1P 2, y° 在线段 BB 上 B'(xb', yB), B(xb, yB)为直线1=2与椭圆的交点，如图所示,所以 yBvy°VyB,即一 ,'3<y°< '3. 所以-乎贰宁，且°.ir77A%丿故m的取值范围为 一4-, ° U °,3,34法二：设弦MN勺中点为P 2, y° ,Mxm, yM , Nxn, yN)

31、，则由点M N为椭圆C上的点，可知4xM+ yM= 4, 4xN+ yN= 4,两式相减,得 4( Xm Xn)( xm+ Xn) + (yM yN)( y“+ yN) = °,将X卄Xn= 2Xy卄 yN= 2yo,yM yNXm Xnk，代入上式得y°= 2k.1 、又点P , yo在弦mn的垂直平分线上，113所以 yo= + m 所以 m= yo + k = k.1 1设直线I的方程为y + 2k= x + ,2 1即 x = ky 2k 2，4x2+ y2= 4,联立21消去X,X = ky 2k 2，222142得(4 k + 1)y + 8k2k + 明 +

32、16k + 8k 3= 0, 由 A >0,得 k ¥，0 U 0, ¥ , 所以 m= |k 手，0 U 0,乎, 即m的取值范围为一山，0 U 0,山.4，4题后悟通思路受阻分析利用点差法求解第（2）问时，关键是利用点差法得到目标参数m与y。1的关系，再根据点 P ,y0与椭圆的位置关系得到 y。的取值范围， 从而求得目标参数 m的取值范围很多冋学在解决本题时往往出现如 下失误：（1）忽视y0的取值范围而造成思路受阻无法正确求解.（2）利用判别式法求解此题时，抓住直线与圆锥曲线相交这一条件，利用判 别式A >0构建m与k的关系式，从而得所求，但部分考生忽视A

33、 >0,导致思路受阻而无法求解技法关键点拨（1）利用点在曲线内（外）的充要条件构建目标不等式的核心是抓住目 标参数和某点的关系，根据点与圆锥曲线的位置关系构建目标不等式.（2）利用判别式构建目标不等式的核心是抓住直线与圆锥曲线的位置 关系和判别式 A的关系建立目标不等式对点训练1 已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点0,离心率等于轴为对角线的四边形的周长为4 .;5.直线l : y = kx+ m与y轴交于点B两个点.(1)求椭圆E的方程；,以椭圆E的长轴和短P,与椭圆E相交于A,> >2解：(1)根据已知设椭圆2x卜£= 1( a>b>0)，焦距为由已

34、知得 C =-±3, c=a, b2 = a2 c2 = a.a 224以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45,4 -'a2 + b2= 2 '5a= 4 ：5,. a= 2, b= 1.2椭圆E的方程为x2+ y = 1.4根据已知得P(0,nj，设A(X1,kx1 +n),B(x2,kx2 + m,y= kx + n,2 2 . "4x + y 4= 0消去y,得(k2+ 4)x2+ 2mkx+ m 4 = 0.由已知得 A = 4nik2 4( k2+ 4)(吊4)>0 ,22即 k m+4>0,口 2 km吊一4且 X1+ X2

35、= 2, X1X2= ：.k + 4k + 4> >由 AP = 3 PB，得 X1= 3X2.2 2 2- 3(x1 + X2)+ 4x1X2= 12x2 12x2= 0. 2 212k mk2 + 42m 4k2 + 4=0,即 mk + m k2 4=o.当m= 1时，nik2 +斥一k2 4= 0不成立,A24m-2'.m 1.22，只/ k m+4>0,A24 m2-m+ 4>0,即m 1，m >0.解得1<m<4. m的取值范围为(1,4)若AP = 3 PB,求m的取值范围.2. (2018 昆明调研)已知直线li： ax y+

36、1 = 0，直线12： x+ 5ay+ 5a= 0，直线l 1与 12的交点为M点M的轨迹为曲线 C(1) 当a变化时，求曲线 C的方程；(2) 已知点D(2,0)，过点E( 2,0)的直线l与C交于A, B两点，求 ABD面积的最大 值.2_X 2解：(1)由ax y+ 1 = 0,x + 5ay+ 5a = 0消去a,得曲线C的方程为-+ y = 1(y丰1，即点(0， 1)不在曲线C上).(2)设 A(X1, y1), 0X2, y2), l : x = my- 2,x = my- 2,222由 x 2得(m+ 5) y 4my- 1 = 0,5+ y=1,则 y1+ y2 =4mm +

37、 5,yy =1m+ 5,故 ABD的面积S = 2| y2 y11 = 2飞:y2 + y12 4y2y1 = 2/16mm+ 54m+ 54,5 m+12 .m+ 5设 t = . m+1, t 1 ,+s),则 S= P4 =t + 45,当t = 4，即t = 2, m=± .3时， ABD的面积取得最大值5.题型策略(二)|构建函数模型解最值或范围问题若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，可以构建二次型函数、 双曲线型函数、 多项式型函数等.例4 (2018 合肥一检)在平面直角坐标系中，

38、圆O交x轴于点F, R,交y轴于点B, B.以B, B为顶点，F, Fz分别为左、右焦点的椭圆 E恰好经过点1,.(1) 求椭圆E的标准方程；(2) 设经过点(一2,0)的直线I与椭圆E交于M N两点，求 F2MN面积的最大值.破题思路第问求什么想什么求椭圆E的标准方程，想到求椭圆长半轴a和短半轴b的值给什么用什么题目条件给出圆 O交x轴于点F1, F2,交y轴于点B, B,易知b= c, 又椭圆过点1,半，从而可求出a, b的值第问求什么想什么求厶F2MN面积的最大值，想到面积公式给什么题干中给出直线I过点(一2,0)，可设出直线1的方程，利用弦长公式求用什么|MN，禾U用点到直线的距离求d

39、,从而可求厶RMN的面积差什么要求 F2MN面积的最值，需建立相关函数模型求解找什么规范解答2 2x y(1) 由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上.设椭圆E的标准方程为 孑+ b2= 1(a>b>0),焦距为2c,则b= c, a = b + c = 2b ,2 2椭圆E的标准方程为 令+ y2= 1.2bb又椭圆E过点1,亠？ , 2+ |2= 1,解得b2= 1.22bb2x 2椭圆E的标准方程为-+ y2= 1.(2) 由于点(一2,0)在椭圆E外，.直线l的斜率存在.设直线I的斜率为k，则直线I : y= k(x + 2)，设Mx1, yj , N(x2, y2).y = k

40、 x+ 2,由 x22消去 y 得，(1 + 2k2) x2 + 8k2x + 8k2 2= 0.2 + y =1由 A >0,得 OW k2<*,8k28k2 2从而 xi + X2= 1 + 2k2, xiX2= 1 + 2k2,MN =1 + kjxi X2| = 2 ;1 + k22 4k21 + 2k2 2.点F2(1,0)到直线l的距离d= 31 k| 2；訂1+ k F2MN的面积 S- 2l MN d= 3、/k +2：2S=t 12 tt3/ t2 + 3t 2t2321 +1 t2 = 313 2 1 +t 4 十 8,13 加 4 4当 F = 4，即 t=

41、33 1时，S有最大值,弘=¥ '此时k=±当直线l的斜率为土，可使 F2MN的面积最大，其最大值为令 1 + 2k = t，贝U t 1,2),题后悟通(一) 思路受阻分析解决本例(2)的关键是建立 F2MN的面积S关于斜率k的关系式，然后通过换元构造 元二次函数求解，而很多同学因不会构造函数造成思路受阻无法继续求解.(二) 技法关键点拨求圆锥曲线中范围、最值的2种方法几何法若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来求解代数法若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再 求这个函数的最值、范围常用的方法有基本不等式

42、法、导数法、判别式法等对点训练x2 v2筋3. (2019届高三武汉调研)已知椭圆C：孑+含=1( a>b>0)经过点P 1,三-，且离心 率为#(1) 求椭圆C的方程；(2) 设F1, F2分别为椭圆C的左、右焦点，不经过 F1的直线I与椭圆C交于两个不同的点AB.如果直线 AF, I , BF的斜率依次成等差数列，求焦点F2到直线I的距离d的取值范围.1 22+ 2= 1 ,a4b厂a2= 2,解:(1)由题意，知c：2解得2a=专，b =1.2 . 2 2a = b + c ,2X2所以椭圆C的方程为2 + y2= 1.2X(2)易知直线I的斜率存在且不为零.设直线I的方程为

43、y = kx + m代入椭圆方程-+/ =1,整理得(1 + 2k2) x2 + 4kmx+ 2(斥1) = 0.由 A = (4 km) 8(1 + 2k )( m 1)>0 ,得 2k2>m1.设 A(X1, y" , B(X2, y2),则 X1+ X2= 4 km1 + 2k2，2X1X2=-m 121 + 2k因为 F1( -1，0),所以 kAF=, kBF=.由题可得y1y22k=市 + XT!，且 y1 = kX1 + my2= kX2 + m所以(n k)( X1 + X2 + 2) = 0.因为直线I : y= kX + m不过焦点F* 1,0)，所以

44、mr k丰0,所以X1 + X2+ 2 = 0，从而一4km1+ 2k1即m=k+.2k由得2k2> k + 2k 2 1,化简得|k|>¥焦点F2(1,0)到直线I : y = kX + m的距离1 2k +| k+ m =2k_1 + k2; 1 + k2t2+ 3213于是 d= = 2 t +,13厂因为函数f (t) = 2 t + t在1 ,-'3上单调递减，所以 f ( :3)<d<f (1)，解得：3<d<2,所以焦点F2到直线I的距离d的取值范围是(：3, 2).2 24. (2019届高三合肥调研)已知M为椭圆C： 25

45、+ y9 = 1上的动点，过点M作x轴的垂线，垂足为D,点p满足"PD=5 IMD.3(1) 求动点P的轨迹E的方程；(2) 若A, B两点分别为椭圆 C的左、右顶点，F为椭圆C的左焦点，直线kQ交于点Q,直线QF, PA的斜率分别为kQ, kpA，求厂的取值范围.kPA解：(1)设 P(x, y) , Mm n)，依题意知 D(m,0)，且 y丰0.> 5>5由 PD = 3 MD,得(m- x, - y) = 3(0，- n),PB与椭圆Cm- x = 0,m= x ,则有5?3y= 3nn= 5y.又Mm n)为椭圆2 2x y一c： 25+ 9 = 1上的点,23

46、 2x25+2 2x + y = 25,故动点P的轨迹E的方程为x2 + y2= 25(y丰0).(2)依题意知 A 5,0),耳5,0) , F( 4,0),设 Q(X0 , y°),线段AB为圆E的直径， API BP,设直线PB的斜率为kPB ,小 kQkQ则 1= kQkpB= kQkQkpA1kpB2yoyoyoX0 + 4X。 5X。+ 4 X。 5Xo9 1 925xo+ 4xo 525 x2-25xo+ 4xo 5925Xo+ 5xo+ 49125 Xo+ 4，点P不同于a B两点且直线QF的斜率存在，-5<xo<5 且 Xo 丰4,1又y = 不在(一5

47、, 4)和(一4,5)上都是减函数, ( 820) U ,+85kQ2故的取值范围是(一8, 0) U ,+8kPA5考法三 圆锥曲线中的存在性问题题型策略(一)1点、线的存在性问题2 2 1 1例1 已知圆C： (x 1) + y = 4, 一动圆与直线 x =-相切且与圆C外切.(1) 求动圆圆心P的轨迹T的方程；(2) 若经过定点Q(6,0)的直线l与曲线T交于A, B两点，M是线段AB的中点，过 M作 x轴的平行线与曲线 T相交于点N,试问是否存在直线I，使得NAJL NB若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.破题思路第问求什么想什么求动圆圆心P的轨迹T的方程，想到建立点 F

48、(x，y)的横坐标与纵坐标的关系式给什么用什么1题目中给出动圆与直线x= §相切，与圆c外切，想到用直线与圆相切以及两圆外切的条件建立x，y的关系式第问求什么想什么判断是否存在直线> >I，使 NAL NB 想到 NA NB = 0给什么题目中给出直线I过点Q (6,0)与曲线交于点 A，B，过A，B的中点M作 x轴的平用什么行线交曲线T于点N,联立直线1与曲线T,利用根与系数的关系求解差什么找什么缺少直线I的方程，应先假设存在，并设出直线I的方程求解要注意讨论斜率是否存在规范解答 设P(x, y)，分析可知动圆的圆心不能在y轴的左侧，故x>0,1因为动圆与直线x=

49、-相切，且与圆c外切，1 1所以 | pc x+ 2 = 2，所以 |PC = x +1,所以 j x 12+ y2= x +1,化简可得y2= 4x.(2)设A(X1, y1), B(X2, y2)，由题意可知，当直线I与y轴垂直时，显然不符合题意,故可设直线I的方程为x = my+ 6,x = my+ 6,联立2消去x ,y = 4x可得 y24my- 24 = 0,显然 A = 16吊 + 96>0,则 y1 + y2= 4m y1y2= 24,所以 X1 + X2= ( my+ 6) + (my+ 6) = 4ni+ 12,2 2因为X1X2 =严 'y，所以xx= 36

50、,44假设存在 n( xo, yo)，使得"na ' "Nib = 0,y1 + y2由题意可知yo = ，所以yo= 2m,2由n点在抛物线上可知xo=4，即xo= m,又 nA = (X1 Xo,y1 yo),NB = (X2 Xo,y2yo),若"NA "NB = o,2 2则 X1X2 xo(X1 + X2) + xo+ 科旳2 yo(y1 + y2) + yo = o,由代入上式化简可得：3ni+ 16ni 12= O,即(m+ 6)(3 m2) = o,所以 vm= I，故,所以存在直线 3x + 6y- 18= 0或3x 6y- 18 = 0,使得 NAL NB.题后悟通思路受阻分析本题(2)中条件的关系较多且层层递进又相互关联.先是