向量组线性相关（课堂PPT）

1、12 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性主要内容：一、向量组线性相关/无关的定义二、向量组线性相关/无关的判定定理22 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义定义: :给定向量组A:a1 ,a2 , ,am ,如果存在不不全为零全为零的数k1 ,k2 , ,km ,使 k1a1 + k2a2 + + kmam = 0则称向量组A是线性相关线性相关的,否则称它线性无关线性无关.例例121212120,2,120, 则线性相关。32 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性说明说明: :只含一个只含一个向量向量a的向量组的向量组, , 当当a=0时时是线性相关的是线性相关的, ,当当a

2、0时时是线性无关的是线性无关的. .说明说明: :包含零包含零向量的向量组向量的向量组是线性相关的是线性相关的. .1211221212100,0200,0,kkkk 要使当且仅当时成立，则线性无关。例例42 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性解设解设数数k1 , ,k2 , ,k3 , ,使使 k1a1 + + k2a2 + + k3a3 = 0,则则向量组向量组 a1 , ,a2 , , a3线性相关线性相关.1231021 ,24 ,157 ,1311231232123310202021240 ,240,1.15705701kkkkkkkkkkkkkk 即解得例例判别向量组判别向量

3、组 的线性相关性的线性相关性.5121212A,AX=0,A,0,mmma aaAa aaaaa12m向量组 是线性相关 向量组 ：构成矩阵就是齐次线性方程 x+x+x即，有非零解。1122A,;,mma aama aa 它所构成的矩阵 =的秩小于向 向量组线相量个数性关 12,ma aam向量组线性无R A关说明：62 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性说明说明: :向量组向量组a1 , ,a2 , , , ,am ( (当当m2时时) )线性相线性相关的关的充分必要条件充分必要条件是是 a1 , ,a2 , , , ,am中中至少有一个向量至少有一个向量可由其余可由其余m-1个向量线

4、性表示个向量线性表示. .7证法一证法一 : 设设数数k1 , ,k2 , ,k3 , ,使使 k1 b1 + + k2 b2 + + k3 b3 = 0, 则则k1 (a1 +a2 ) + + k2 (a2 +a3 ) + + k3 (a3 + a1 ) = 0, 即即 (k1 + k3) a1 + + (k1 + k2 ) a2 + + (k2 + k3 ) a3 = 0, 由于由于向量组向量组a1 , ,a2 , ,a3线性无关线性无关,有有 131212323 k0 0,0, 0kkkkkkkk例例 已知向量组已知向量组a1,a2,a3线性无关线性无关,b1=a1+a2,b2=a2 +

5、a3 ,b3=a3+a1,试证向量组试证向量组 b1,b2,b3线性无关线性无关.向量组向量组b1 , ,b2 , , b3线性无关线性无关.82 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 记作记作B=AK. . 设设BX=O, ,以以B=AK代入代入, , 得得A( (KX) )=O . . 因为矩阵因为矩阵A的列向量组线性无关的列向量组线性无关, ,所以可推知所以可推知KX=O . . 又因又因| |K|=|=20 , ,知方程知方程KX=O只有零解只有零解X=O . . 所以矩阵所以矩阵B的列向量组的列向量组b1 , ,b2 , , b3线性无关线性无关. .123123101,1100

6、11b b ba a a证法二证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式92 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 记作记作B=AK. . 因因| |K|=|=20 , ,知知K可逆可逆, ,有有R( (A)= )= R( (B),), 由矩阵由矩阵A的列向量组线性无关可知的列向量组线性无关可知: : 矩阵矩阵B的列向量组的列向量组b1 , ,b2 , , b3线性无关线性无关. .123123101,110011b b ba a a证法三证法三 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式102 2 向量组的线性相关性向量

7、组的线性相关性定理定理 (1)若若向量组向量组A:a1 , ,a2 , , , ,am 线性相关线性相关, ,则向则向量组量组B:a1 , ,a2 , , , ,am , , am+1也线性相关也线性相关. .反言之反言之, ,若若向量组向量组B线性无关线性无关, ,则向量组则向量组A也线性无关也线性无关.112 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性12341234510010 ,1 ,0 ,10011100120 ,1 ,0 ,1 ,200111aaaaaaaaa 线性相关，也线性相关。例例122 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例123121000 ,1 ,0 ,001100

8、 ,1 ,00aaaaa 线性无关，也线性无关。132 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性定理定理 (2) m个个n维维向量组成的向量组向量组成的向量组, ,当维数当维数n小于向量个数小于向量个数m时一定线时一定线性相关性相关. .特别地特别地, ,n+1个个n维维向量一定向量一定线性相关线性相关. .142 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例 4个个3维向量线性相关维向量线性相关, 5个个3维向量线性相关维向量线性相关.12341234510010 ,1 ,0 ,10011100120 ,1 ,0 ,1 ,200111aaaaaaaaa 线性相关，也线性相关。152 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性定理定理 (3) 设设向量组向量组A:a1 , ,a2 , , , ,am 线性线性无关无关, ,而向量组而向量组B:a1 , ,a2 , , , ,am , , b线性线性相关相关, ,则向量则向量b必能由必能由向量组向量组A 线性表示线性表示, ,且表示式是唯一的且表示式是唯一的. .162 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例123123441231000 ,1 ,0 ,00110010 ,1 ,0 ,10011110010101