中心极限定理（课堂PPT）

1、概率论概率论 第二节第二节 中心极限定理中心极限定理中心极限定理中心极限定理概率论概率论 中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景在实际问题中在实际问题中, 随机变量往往受许多随机因素所共同影响。随机变量往往受许多随机因素所共同影响。例如例如: 炮弹射击的落点与目标的偏差炮弹射击的落点与目标的偏差, 就受着许多随机因素就受着许多随机因素 (如瞄准如瞄准, 空气阻力空气阻力, 炮弹或炮身结构等炮弹或炮身结构等) 综合影响的综合影响的. 每个每个随机因素的对随机因素的对弹着点弹着点(随机变量随机变量)所起的作用都是很小的所起的作用都是很小的. 那么那么弹着点服从怎样分布哪弹着点服从怎样分布哪

2、？概率论概率论 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成所造成, 而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正态分布之后自从高斯指出测量误差服从正态分布之后,人们发现人们发现, 正态分布在自然界中极为常见正态分布在自然界中极为常见.现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.当当 n无限增大时无限增大时, 这

3、个和的极限分布是什么呢？这个和的极限分布是什么呢？ 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究，故我们不研究n个随个随机变量之和本身而考虑它的机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量标准化的随机变量. nkkkXnkX1), 1(的的和和即即考考虑虑随随机机变变量量111nnkkkknnkkXEXYDX 正正态态分分布布的的极极限限分分布布是是否否为为标标准准讨讨论论nY概率论概率论 一、中心极限定理一、中心极限定理 (The Central Limit Theorem)1lim( )limniinnnXnFxPxn 1. 定理定理: (独立同分布下的中心极限定

4、理独立同分布下的中心极限定理) (Lindeberg-Levy定理定理)1221,(),()(1,2,)nkknkkXXXE XD XkX L LL LL L设设随随机机变变量量相相互互独独立立, ,服服从从同同一一分分布布, ,且且具具有有数数学学期期望望和和方方差差: : , ,则则随随机机变变量量之之和和的的标标准准化化变变量量: :1111nnnkkkkkknnkkXEXXnYnDX ( )nFxx的的分分布布函函数数对对于于任任意意 满满足足: :2t-1edt22x ( )x 概率论概率论 注注:11),nkkX 定定理理表表明明, ,独独立立同同分分布布的的随随机机变变量量之之和

5、和2) 独独立立同同分分布布中中心心极极限限定定理理的的另另一一种种形形式式可可写写为为: :11.nkkXXn 其其中中3) 虽然在一般情况下虽然在一般情况下, 我们很难求出我们很难求出 的分布的确切形式的分布的确切形式, 但当但当 n很大时很大时,可以求出近似分布可以求出近似分布. nkkX1n当当 充充分分大大时时, ,随随机机变变量量之之和和与与其其标标准准化化变变量量分分别别有有: : 211(0,1);,.nknkkkXnNXN nnn 近近似似地地近近似似地地2(0,1);,XNXNnn 近近似似地地近近似似地地概率论概率论 2. 定理定理: (棣莫佛拉普拉斯棣莫佛拉普拉斯 (D

6、e Laplace)定理定理)lim(1)nnfnpPxnpp 设随机变量设随机变量 fn(n=1,2,)服从参数服从参数 n, p的二项分布的二项分布, 则对任意则对任意 x, 有有:2212txedt ( )x 概率论概率论 (),()(1) (1,2, ),kkE XpD Xppkn L L由由于于: :得得: :lim(1)nnfnpPxnpp dtext2221)(x 1lim(1)nkknXnpPxnpp 证证:121(01),nnnnkkfnXXXfX L L可可将将 分分解解成成为为 个个相相互互独独立立、服服从从同同一一分分布布的的诸诸随随机机变变量量之之和和，即即有有: :

7、 1(1,2, ):(1),0,1,kiikXknP Xippi L L其其中中的的分分布布律律为为概率论概率论 下面演示不难看到中心极限定理的客观背景下面演示不难看到中心极限定理的客观背景20个个0-1分布的和的分布分布的和的分布X1 f(x)X1 +X2g(x)X1 +X2+X3 h(x)几个几个(0,1)上均匀分布的和的分布上均匀分布的和的分布0123xfgh定理表明定理表明, 当当n很大很大, 0 p 1是一个定值时是一个定值时 (或者说或者说, np(1-p) 也不太小时也不太小时), 二项二项变量变量fn的的分布近似正态分布分布近似正态分布 N(np, np(1-p).即即: ,(

8、1)nfN np npp 近近似似地地概率论概率论 例例1: 120(1,2,),(0,10).105.knkkVknVVP V L L一一加加法法器器同同时时收收到到个个噪噪声声电电压压设设它它们们是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量 且且都都在在区区间间上上服服从从均均匀匀分分布布记记: :，求求的的近近似似值值201()5,()100 12 (1,2,20).100:V205,20 ,12kkkkE VD VkVN L L近近似似地地易易知知: :由由定定理理知知于于是是： 20121005201052012100520105VpVP 387. 02012100520Vp解解: 38

9、7. 020121005201Vp348. 0)387. 0(1 P V1050.348. 即即有有：概率论概率论 例例2:某车间有某车间有200台车床台车床, 在生产期间由于需要检修在生产期间由于需要检修, 调换刀具调换刀具, 变换位置及调换工件等常需停车变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，并设每台车床的工作是独立的， 且在开工时需电力且在开工时需电力1千瓦千瓦.问问: 应供应多少瓦电力就能以应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率的概率 保证该车间不会因供电不足而影响生产保证该车间不会因供电不足而影响生产?用用X表示在某时刻工作着的车床数

10、，表示在某时刻工作着的车床数，解解: 对每台车床的观察作为一次试验对每台车床的观察作为一次试验, 每次试验是观察该台车床在某时刻是否工作每次试验是观察该台车床在某时刻是否工作, 工作的概率工作的概率0.6, 共进行共进行200次独立重复试验次独立重复试验.依题意，依题意， X B(200, 0.6),现在的问题是：现在的问题是：P(X N) 0.999的最小的的最小的N.求满足求满足:设需设需N台车床工作，台车床工作，(由于每台车床在开工时需电力由于每台车床在开工时需电力1千瓦千瓦, N台工作所需电力即台工作所需电力即N千瓦千瓦.)概率论概率论 由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯极限定理拉普拉斯极限定

11、理:)1 (pnpnpX近似近似 N(0,1),于是于是: P(X N)= P(0 X N)这里这里: np=120, np(1-p)=48.1201204848N 12048N 1200.999,48N 由由: : 查正态分布函数表得查正态分布函数表得:(3.1)0.999, 从中解得从中解得N 141.5,即所求即所求N =142.也就是说也就是说, 应供应应供应142千瓦电力就能以千瓦电力就能以99.9%的概率的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产保证该车间不会因供电不足而影响生产.1203.1,48N 故故：由由3准则准则,此项为此项为0.概率论概率论 例例3:120.05 0.8

12、0.15.400.对对于于一一个个学学生生而而言言, ,来来参参加加家家长长会会的的家家长长人人数数是是一一个个随随机机变变量量, ,设设一一个个学学生生无无家家长长、名名家家长长、名名家家长长来来参参加加会会议议的的概概率率分分别别为为: :、 、若若学学校校共共有有名名学学生生, ,设设各各学学生生参参加加会会议议的的家家长长数数相相互互独独立立, ,且且服服从从同同一一分分布布.340124501的概率的概率生数不多生数不多名家长来参加会议的学名家长来参加会议的学）求有）求有（的概率；的概率；超过超过）求参加会议的家长数）求参加会议的家长数（X解解:(1)(1,2,400)kXkk L

13、L以以记记第第 个个学学生生来来参参加加会会议议的的家家长长数数, ,kX则则的的分分布布律律为为: :0120.050.80.15kkXp()1.1,()0.19,1,2,400.kkE XD Xk L L易易知知: :概率论概率论 40014001.14000.8:N0 1400 0.19400 0.19kkXX 近近似似地地即即有有（ ， ) ):于于是是 19. 04008 . 040045019. 04008 . 0400450XPXP 147. 119. 04008 . 04001XP1(1.147)0.1257 4001,kkXX 而而: : , ,由由定定理理 可可知知随随机机变变量量: :(400 1.1,4000.19)XN近近似似地地概率论概率论 2 . 08 . 04008 . 04003402 . 08 . 04008 . 0400340YPXP 5 . 22 . 08 . 04008 . 0400YP(2.5)0.9938 YN4000.8 4000.80.2 近近似似地地随随机机变变量量: :（，）(400,0.8)YB，由由定定理理得得: :(2)Y以以 记记有