高考数学冲刺复习资料专题二：函数与导数的交汇题型分析及解题策略

1、专题二：函数与导数的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础，是高考数学中极为重要的内容，纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题，函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值26分左右，如08年福建文11题理12题(5分)为容易题，考查函数与导函数图象之间的关系、08年江苏14题(5分)为容易题，考查函数值恒成立与导数研究单调性、08年北京文17题(12分)为中档题考查函数单调性、奇偶性与导数的交汇、08年湖北理20题(12分)为中档题，考查利用导数解决函数应用题、08年辽宁理22题(12分)为中档题，考查函数利用导数确定

2、函数极值与单调性问题等.预测2009年关于函数与导数的命题趋势，仍然是难易结合，既有基本题也有综合题，函数与导数的交汇的考查既有基本题也有综合题，基本题以考查基本概念与运算为主，考查函数的基础知识及函数性质及图象为主，同时考查导数的相关知识，知识载体主要是三次函数、指数函数与对数函数综合题.主要题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解.【考试要求】1了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法2了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数

3、3掌握有理指数幂的运算性质掌握指数函数的概念、图象和性质4掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质5能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题6了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念7熟记基本导数公式（c，xm（m为有理数），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数8理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧

4、异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值【考点透视】高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.其主要考点：（1）考查利用导数研究函数的性质（单调性、极值与最值）；（2）考查原函数与导函数之间的关系；（3）考查利用导数与函数相结合的实际应用题.从题型及考查难度上来看主要有以下几个特点：以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值；与导数的几何意义相结合的函数综合题，利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值或极值，属于中档题；利用导数求实际应用问题中最值，为中档偏难题.【典例分析】题型一导函数与原函数图象之间的关系如果原函数定义

5、域内可导，则原函数的图象f(x)与其导函数f¢(x)的图象有密切的关系：1导函数f¢(x)在x轴上、下方图象与原函数图象上升、下降的对应关系： （1）若导函数f¢(x)在区间D上恒有f¢(x)0，则f(x)在区间D上为增函数，由此进一步得到导函数f¢(x)图象在x轴上方的图象对应的区间D为原函数图象中的上升区间D； （2）若导函数f¢(x)在区间D上恒有f¢(x)0，则f(x)在区间D上为减函数，由此进一步得到导函数f¢(x)图象在x轴下方的图象对应的区间为原函数图象中的下降区间.2导函数f¢(x)图象的

6、零点与原函数图象的极值点对应关系：导函数f¢(x)图象的零点是原函 数的极值点.如果在零点的左侧为正，右侧为负，则导函数的零点为原函数的极大值点； 如果在零点的左侧为负，右侧为正，则导函数的零点为原函数的极小值点.【例1】如果函数yf(x)的图象如右图，那么导函数yf¢(x)的图象可能是（ ）【分析】根据原函数yf(x)的图象可知，f(x)有在两个上升区间，有两个下降区间，且第一个期间的上升区间，然后相间出现，则反映在导函数图象上就是有两部分图象在x轴的上方，有两部分图象在x轴的下方，且第一部分在x轴上方，然后相间出现.【解】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正

7、负正负,只有答案A满足.【点评】本题观察图象时主要从两个方面：(1)观察原函数f(x)的图象哪些的上升区间？哪些下降区间？；(2)观察导函数f¢(x)的图象哪些区间在大于零的区间？哪些部分昌小于零的区间？【例2】设f¢(x)是函数f(x)的导函数，yf¢(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是（ ）【分析】先观察所给出的导函数yf¢(x)的图象的正负区间，再观察所给的选项的增减区间，二者结合起来即可作出正确的选择.本题还可以通过确定导函数yf¢(x)的图象零点0、2对应原函数的极大或极小值点来判断图象.【解法1】由yf¢(x

8、)的图象可以清晰地看出，当x(0,2)时，yf¢(x)0，则f(x)为减函数，只有C项符合，故选C.【解法2】在导函数f¢(x)的图象中，零点0的左侧函数值为正，右侧为负，由可知原函数f(x)在x0时取得极大值.又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数f(x)在x0时取得极小值，只有C适合，故选C.【点评】(1)导函数值的符号决定函数的单调性为“正增、负减”，导函数的零点确定原函数的极值点；(2)导函数的增减性与函数增减性之间没有直接的关系，但它刻画函数图象上的点的切线斜率的变化趋势.题型二利用导数求解函数的单调性问题20090318若f(x)在某区间上可导，则由f&#

9、162;(x)0(f¢(x)0)可推出f(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f(x)x3在R上递增，而f¢(x)0.f(x)在区间D内单调递增(减)的充要条件是f¢(x0)0(0)，且f¢(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型：(1)根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性函数求解参数问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.【例3】(08全国高考)已知函数f(x)x3ax2x1，aR()讨论函数f(x)的单调区间；()设函数f(x)在区间(，)内是减

10、函数，求a的取值范围【分析】第（）小题先求导函数f¢(x)，由于含有参数a，根据判别式确定对a的分类标准，进而确定单调区间；第（）小题根据第（）小题的结果，建立关于a的不等式组，由此可确定a的范围.【解】()由f(x)x3ax2x1，求导得f¢(x)3x22ax1，当a23时，4(a23)0，f¢(x)0，f(x)在R上递增，当a23，f¢(x)求得两根为x，则函数f(x)在区间(，)上递增，在区间(，)上递减，在区间(，)上递增.()由()得，且a23，解得a2.【点评】本题是利用导数求解函数单调性问题的两类最典型的题型.由于函数解析式中含有字母参数a

11、，因此解答第()小题时注意分类讨论.第()小题的解答是根据第()小题的结果，利用集合集合间的关系建立不等式来求解的.第()小题还是利用函数在已知区间上减函数建立不等式来求解.题型三求函数的极值问题极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能在导数为0的点或不可导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型：(1)根据函数解析式求极值；(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解.【例4】(08·四川)设x1和x2是函数f(x)x5ax3bx1的两个极值点.()求a和b的值；()略.【分析】先求导函数f

12、¢(x)，然后由x1和x2是f¢(x)0的两个根建立关于a、b的方程组求解.【解】因为f¢(x)5x43ax2b，由x1和x2是函数f(x)x5ax3bx1的两个极值点，所以f¢(1)0，且f¢(2)0，即，解得a，b20.【点评】解答本题要明确极值点与导函数方程之间的关系：对于三次函数极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点.本题解得充分利用上述关系，通过建立方程组求得了a和b的值.【例5】(08陕西高考)已知函数f(x)(c0，且c1，kR）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是xc()求函数f(x)的另一个极值点；()求函数

13、f(x)的极大值M和极小值m，并求Mm1时k的取值范围【分析】先求导函数f¢(x)，然后令f¢(c)0及一元二次方程根与系数的关系可解决第（）小题；而解答第（）小题须对k与c进行分类讨论进行解答.【解】()f¢(x)，由题意知f¢(c)0，即得c2k2cck0，即c1（*）c0，k0由f¢(0)0，得kx22xck0，由韦达定理知另一个极值点为x1()由（*）式得c1，当c1时，k0；当0c1时，k2()当k0时，f(x)在(，c)和(1，)内是减函数，在(c，1)内是增函数f(1)0，mf(c)0，由Mm1及k0，解得k.()当k2时，f(x

14、)在(，c)和(1，)内是增函数，在(c，1)内是减函数Mf(1)0，m0，而Mm11恒成立综上可知，所求的取值范围为(，2)，)【点拨】第()小题解答的关键是利用一元二次方程的韦达定理.第()小题的是与极值相关的解决恒成立问题，因此求函数在定义域上的极值是解答的关键.题型四求解函数的最值问题函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果，因此函数在闭区间a，b上的端点函数值一定不是极值，但它可能是函数的最值.同时，函数的极值不一定是函数的最值，最值也不一定是极值.另外求解函数的最值问题，还可以直接结合函数的单调性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要题型：(1)根据函数的解析式求

15、函数的最大值；(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题.【例6】(08浙江高考)已知a是实数，函数f(x)x2(xa).()略；（）求f(x)在区间0，2上的最大值.【分析】首先求函数f¢(x)，再解方程f¢(x)0，得两个根，而两根含有参数，但不知两根的大小，因此须分类讨论讨论函数f(x)的单调区间，进而确定f(x)在给定区间上的最大值.【解】()f¢(x)3x22ax令f¢(x)0，解得x10，x2当0，即a0时，f(x)在0，2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a当2，时，即a3时，f(x)在0，2上单调递减，从而f(x)maxf(

16、0)0当02，即0a3，f(x)在0，上单调递减，在，2上单调递增，从而f(x)max，综上所述，f(x)max.【点评】本题由于函数解析式中含有参数，因此方程f¢(x)0的根含有参数，在确定函数单调区间时要注意对参数a的讨论.本题的解答不是通过先确定函数在区间上的极值，再比较其与区间端点值的大小来求解的，而是利用函数单调性来求函数在各单调区间上的最值，再比较这些最值大小来求解的.题型五导数与数学建模的问题此类试题主要是利用函数、不等式与导数相结合设计实际应用问题，旨在考查考生在数学应用方面阅读、理解陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，这是高考中的一个热

17、点.【例7】(08·湖北)水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为V(t)，()该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i1ti表示第1月份（i1，2，12）,同一年内哪几个月份是枯水期？()求一年内该水库的最大蓄水量（取e2.7计算）.20090318【分析】根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式建立不等式可求得第（）小题；而第（）小题则须先求函数V¢(t)，然后利用导数与函数最值关系求解.【解】()当0t10时，V(t)(t214t40)e5050，化

18、简得t214t400，解得t4或t10，又0t10，故0t4.当10t12时，V(t)4(t10)(3t41)5050，化简得(t10)(3t41)0，解得10t，又10t12,故10t12.综合得0t4,或10t12；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.()由()知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.由V¢(t)e(tt4)e(t2)(t8)令V¢(t)0，解得t8(t2舍去).当t变化时，V¢(t)与V(t)的变化情况如下表：t(4，8)8(8，10)V¢(t)0V(t) 极大值由上表，V(t)在t8时取得最大值V(8)8e

19、250108.32(亿立方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米.【点评】本题第()主要是根据题设条件给出的函数建立不等式，再解不等式，但要注意分段求解.第()主要是通过求导取得极值，最后再求得最值的，但要注意要根据第()确定函数定义域.【例8】（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=x2x+8 (0x120).已知甲、乙两地相距100千米.（）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【分析

20、】第（）小题直接根据所给函数的解析式进行计算；第（）小题须根据条件建立耗油量为h(x)关于行驶速度x的函数关系式，再利用导数的知识进行解答.【解】（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了=2.5小时，要耗没(×403×40+8)×2.5=17.5（升）.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升. （II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=(x3x+8)·=x2+(0x120)，h¢(x)=(0x120)，令h¢(x)=0得x=80，当x(0,80

21、)时，h¢(x)0,h(x)是减函数；当x(80,120)时，h¢(x)0,h(x)是增函数,当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25,因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.【点评】解答类似于本题的问题时，可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量，建立函数模型，然后根据目标函数的结构特征(非常规函数)，确定运用导数最值理论去解决问题.【专题训练】一、选择题1函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)有两个极值点x1，x2，则x1·x2（ ）A9B9

22、C1D12函数f(x)x3ax1在(，1)上为增函数，在(1，1)上为减函数，则f(1)为（ ）AB1CD13函数f(x)x33axa在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为（ ）A0a1B0a1C1a1D0a4已知函数f(x)x2(axb)(a，bR)在x2时有极值，其图象在点(1，(1)处的切线与直线3xy0平行，则函数f(x)的单调减区间为（ ）A(，0)B(0，2)C(2，) D(，)5函数yf(x)在定义域(，3)内可导，其图像如图所示.记yf(x)的导函数为yf¢(x)，则不等式f¢(x)0的解集为（ ）A，12，3)B1，C，1，2)D(，3)6设函数f(x)

23、sin(x)1(0)的导数f¢(x)的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是（ ）AxBxCxDx7函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f¢(x)在(a，b)内的图象如下图所示.则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点（ ）A1个B2个C3个D4个8函数f(x)(xR)的图象如图所示，则函数g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是（ ）A0，B(，0)，)C，1D，8函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数（ ）A(，)B(，2)C(，)D(2，3)9下列图象中，有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR，a0)的导函数f&#

24、162;(x)的图象，则f(1)等于（ ） ABCD或11已知对任意实数，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0时，f¢(x)0，g¢(x)0，则x0时（ ）Af¢(x)0，g¢(x)0Bf¢(x)0，g¢(x)0Cf¢(x)0，g¢(x)0Df¢(x)0，g¢(x)012若函数yf(x)在R上可导，且满足不等式xf¢(x)f(x)恒成立，且常数a，b满足ab，则下列不等式一定成立的是（ ）Aaf(b)bf(a)Baf(a)bf(b)Caf(a)bf(b)Daf(b)bf(a)二

25、、填空题13右图是一个三次多项式函数f(x)的导函数f¢(x)的图象，则当x_时，函数取得最小值.14已知函数f(x)x3x22x1，且x1，x2是f(x)的两个极值点，0x11x23，则a的取值范围_.15已知函数f(x)x3bx2cxd在区间1，2上是减函数，那么bc最大值为_.16曲线y2x4上的点到直线yx1的距离的最小值为_.三、解答题17设函数f(x)2x33(a1)x21，其中a1.()求f(x)的单调区间；()讨论f(x)的极值.18已知定义在R上的函数f(x)x2(ax3)，其中a为常数.()若x1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；()若函数f(x)在区间（1，

26、0）上是增函数，求a的取值范围.19已知函数f(x)x3bx2axd的图象过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为6x-y+7=0.（）求函数y=f(x)的解析式；（）求函数y=f(x)的单调区间.20设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围21已知函数f(x)x28x，g(x)6lnxm.（）求f(x)在区间t，t1上的最大值h(t)；（）是否存在实数m，使得yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。22已知函数f(x)logax2x和g(x)2loga(2xt2

27、)2x(a0，a1，tR)的图象在x2处的切线互相平行.()求t的值；()设F(x)g(x)f(x)，当x1，4时，F(x)2恒成立，求a的取值范围.【专题训练】参考答案一、选择题1D 【解析】f¢(x)3x22ax3，则x1·x21.2C 【解析】f¢(x)x2a，又f¢(1)0，a1，f(1)11.3B 【解析】f¢(x)3x23a，由于f(x)在(0，1)内有最小值，故a0，且f¢(x)0的解为x1，x2，则(0，1)，0a1.4B 【解析】f(x)ax3bx2，f(x)3ax22bx，即，令f¢(x)3x26x0，则

28、0x2，即选B.5A 【解析】由条件f¢(x)0知，选择f(x)图象的下降区间即为解.6A 【解析】f¢(x)cos(x)，则3，则由3x2k，即xk(kZ)，由此可知x为f(x)的图象的一条对称轴.7A 【解析】f¢(x)的图象与x轴有A、B、O、C四个交点. 其中在A、C处f¢(x)的值都是由正变负，相应的函数值则由增变减，故f(x)点A、C处应取得极大值；在B处f¢(x)的值由负变正，相应的函数值则由减变增，故f(x)在点B处应取得极小值.点O处f¢(x)的值没有正负交替的变化，故不是极值点，这就是说，点B是唯一的极值点.8C

29、【解析】因为ulogax(0a1)在（0，）上是减函数，根据函数的单调性的复合规律得0logax，即a1，故选C.8B 【解析】y¢(cosxxsinx)xsinx，令xsinx0，则xsinx0，各选项中x均为正，只须sinx0，故x(，2).9B 【解析】f¢(x)x22axa21(xa)21，又a0，f(x)的图象为第三个，知f¢(0)0，故a1，f(1)a1.11B 【解析】依题意得f(x)是奇函数，在(0，)上是增函数，故在(，0)上是增函数，即当x0时，f¢(x)0；g(x)是偶函数，在(0，)上是增函数，故在(，0)上是减函数，即当x0时，

30、g¢(x)0.12B 【解析】令F(x)xf(x)，则F¢(x)xf¢(x)f(x)，由xf¢(x)f(x)，得xf¢(x)f(x)0，即则F¢(x)0，所以f(x)在R上为递增函数.因为ab，所以af(a)bf(b).二、填空题134 【解析】根据导函数对应方程f¢(x)0的根与极值的关系及极值的定义易得结果.143a 【解析】f¢(x)x2ax2，由题知：，解得3a.15 【解析】f¢(x)3x22bxc f(x)在1，2上减，f¢(x)在1，2上非正.由，即，152(bc)0，bc.16

31、【解析】设直线L平行于直线yx1，且与曲线y2x4相切于点P(x0，y0)，则所求最小值d，即点P到直线yx1的距离，y¢8x31，x0，x0，d.三、解答题17【解】由已知得f¢(x)6xx(a1)，令f¢(x)0，解得 x10,x2a1，.（）当a1时，f¢(x)6x2，f(x)在(,)上单调递增当a1时，f¢(x)6xx(a1)，f¢(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(,0) 0(0,a1) a1(a1,) f¢(x)00f(x)极大值极小值从上表可知，函数f(x)在(,0)上单调递增；在(0,a1)上单调递减；

32、在(a1,)上单调递增.（）由（）知，当a1时，函数f(x)没有极值.；当a1时，函数f(x)在x0处取得极大值，在xa1处取得极小值1(a1)3.18【解】()f(x)ax33x，f¢(x)3ax26x3x(ax2),x1是f(x)的一个极值点，f¢(1)0，a2；()当a0时，f(x)3x2在区间（1，0）上是增函数，a0符合题意；当a0时，f¢(x)3ax(x)，由f¢(x)0，得x0，x当a0时，对任意x(1，0)，f¢(x)0，a0符合题意；当a0时，当x(，0)时，由f¢(x)0，得1，2a0符合题意；综上所述，a2.19【解】（）由f(x)的图象经过P（0，2），知d2，则f(x)x3bx2cx2，f¢(x)3x22bx+c，由在M(-1,f(-1)处的切线方程是6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1，且f¢(-1)=6，即，解得b=c=-3，故所求的解析式是f(x)x3-3x2-3x+2.（）f¢(x)3x2-6x-3，令3x2-6x-3=0，即x2-2x-1=0，解得x1=1-，x2=1+，当x1-或x1+时，f¢(x)0；当1-x1+时，f¢(x)