高考数学二轮复习精品资料专题02函数与导数教学案(学生)

1、2013高考数学二轮复习精品资料专题02 函数与导数教学案（学生版）【2013考纲解读】 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数，并能简单应用.2.理解函数的单调性及几何意义;学会运用函数图象研究函数的性质,感受应用函数的单调性解决问题的优越性,提高观察、分析、推理、创新的能力.3.了解函数奇偶性的含义;会判断函数的奇偶性并会应用；掌握函数的单调性、奇偶性的综合应用.7.了解幂函数的概念;结合函数的图象,了解它们的变化情况.8.掌握解函数图象的两种基本方法:描点法、图象变换法；掌握图象变换

2、的规律，能利用图象研究函数的性质.9.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数；根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.10.了解指数函数、对数函数及幂函数的境长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.11.了解导数概念的实际背景;理解导数的几何意义;能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数.12.了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过

3、三次);了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次)，会求在闭区间函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次)；会用导数解决某些实际问题。【知识网络构建】【重点知识整合】一、函数、基本初等函数的图象与性质 1函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质，是函数中最常涉及的性质，特别注意定义中的符号语言；(2)奇偶性：偶函数其图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数其图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性特别注意定义域含0的奇函数f(0)0；(3)周期性：

4、f(xT)f(x)(T0)，则称f(x)为周期函数，T是它的一个周期2对称性与周期性的关系(1)若函数f(x)的图象有两条对称轴xa，xb(ab)，则函数f(x)是周期函数，2|ba|是它的一个正周期，特别地若偶函数f(x)的图象关于直线xa(a0)对称，则函数f(x)是周期函数，2|a|是它的一个正周期；3函数的图象(1)指数函数、对数函数和幂函数、一次函数、二次函数等初等函数的图象的特点；(2)函数的图象变换主要是平移变换、伸缩变换和对称变换4指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(注意根据图象记忆性质)指数函数yax(a>0，a1)的图象和性质，分0<a<1，a>

5、1两种情况；对数函数ylogax(a>0，a1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况；幂函数yx的图象和性质，分幂指数>0，0，<0三种情况二、函数与方程、函数的应用1函数的零点方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的定义可知，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标所以，方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点2二分法用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：确定区间a，b，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度；第二步：求区间a，b的中点c；第三步

6、：计算f(c)：(1)若f(c)0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0，则令bc(此时零点x0(a，c)；(3)若f(c)·f(b)<0，则令ac(此时零点x0(c，b)；(4)判断是否达到精确度：即若|ab|<，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4)3函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果

7、；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转译成实际问题作出解答三、导数在研究函数性质中的应用及定积分 4闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值的最小者5定积分与曲边形面积(1)曲边为yf(x)的曲边梯形的面积：在区间a，b上的连续的曲线yf(x)，和直线xa，xb(ab)，y0所围成的曲边梯形的面积S.当f(x)0时，Sf(x)dx；当f(x)<0时，Sf(x)dx.(2)曲边为yf(x)，yg(x)的曲边形的面积：在区间a，b上连续的曲线

8、yf(x)，yg(x)，和直线xa，xb(ab)，y0所围成的曲边梯形的面积S|f(x)g(x)|dx.当f(x)g(x)时，Sf(x)g(x)dx；当f(x)<g(x)时，Sg(x)f(x)dx.【高频考点突破】考点一、函数及其表示函数的三要素：定义域、值域、对应关系. 两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数 1求函数定义域的类型和相应方法(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可(2)对于复合函数求定义域问题，若已知f(x)的定义域a，b，其复合函数f(g(x)

9、的定义域应由不等式ag(x)b解出(3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义2求f(g(x)类型的函数值 应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值、图像、解不等式等问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性. 考点二、函数的图像作函数图像有两种基本方法：一是描点法；二是图像变换法，其中图像变换有平移变换、伸缩变换、对称变换 例2、函数y2sinx的图像大致是 ()【变式探究】函数yxln(x)与yxlnx的图像关于 () A直线yx对称 Bx轴对称 Cy轴对称 D原点对称 考点三、函数的性质考点四 二次函数的图像与性质：(

10、1)二次函数yax2bxc(a0)的图像是抛物线过定点(0，c)；对称轴为x，顶点坐标为(，)(2)当a0时，图像开口向上，在(，上单调递减，在，)上单调递增，有最小值；当a0时，图像开口向下，在(，上单调递增，)上单调递减，有最大值.例 4、已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数 【变式探究】设二次函数f(x)ax2bxc，如果f(x1)f(x2)(x1x2)，则f(x1x2) ()A BCc D. 【方法技巧】求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型

11、：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴.考点五 指数函数、对数函数及幂函数指数函数与对数函数的性质： 指数函数yax(a>0且a1) 对数函数ylogax(a>0且a1) 定义域 (，) (0，) 值域 (0，) (，) 不变性 恒过定点(0,1) 恒过定点(1,0) 1对于两个数都为指数或对数的大小比较：如果底数相同， 直接应用指数函数或对数函数的单调性比较；如果底数与指数(或真数)皆不同，则要增加一个变量进行过渡比较，或利用换底公式统一底数进行比较 考点六 函数的零点1函数的零点与方程根的关系： 函数F(x)f(

12、x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图像与函数yg(x)的图像交点的横坐标 2零点存在性定理： 如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根 例6、 函数f(x)cosx在0，)内 ()A没有零点 B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点【方法技巧】函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有数值的确定；所在区间的确定；个数的确定解决这类问题的常用方法有解方程、根据区间端点函数值的符号

13、数形结合，尤其是那些方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解.考点七 函数的应用例7、如图，长方体物体 E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(cR)E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|vc|×S成正比，比例系数为；(2)其他面的淋雨量之和，其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量当移动距离d100，面积S时，(1)写出y的表达式；(2)设0v10,0c5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少【变式探究】某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、 乙

14、两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时 (1)请将从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/小时)的函数； (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？ (2)曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0) f(x0)(xx0) (3)导数的物理意义：s(t)v(t)，v(t)a(t) 例8、曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 () A9B3 C9 D15 【变式探究】已

15、知直线yxa与曲线f(x)lnx相切，则a的值为_【方法技巧】求曲线yf(x)的切线方程的类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程：求出切线的斜率f(x0)，由点斜式写出方程； (2)已知切线的斜率k，求切线方程： 设切点P(x0，y0)，通过方程kf(x0)解得x0，再由点斜式写出方程； (3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f(x0)，再由斜率公式求得切线斜率列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程. 考点九、利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系： 在区间(a，b)内，如果f(x)>0，那么函数f(x

16、)在区间(a，b)上单调递增；如果f(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减 例9、设a0，讨论函数f(x)lnxa(1a)x22(1a)x的单调性【方法技巧】1利用导数研究函数的极值的一般步骤 (1)确定定义域 (2)求导数f(x) (3)若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检验f(x)在方程根左、右值的符号，求出极值(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内) 若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况，从而求解 2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数yf(x)的各

17、极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【难点探究】难点一函数的性质的应用例1、设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x) 2x2x，则f(1)()A3 B1C1 D3(2)设奇函数yf(x)(xR)，满足对任意tR都有f(t)f(1t)，且x时，f(x)x2，则f(3)f的值等于_【变式探究】设偶函数f(x)对任意xR，都有f(x3)，且当x3，2时，f(x)4x，则f(107.5)()A10 B. C10 D难点二函数的图象的分析判断例2、函数f(x)axm(1x)n在区间0,1上的图象如图21所示，则m，n的值可能是()图21A

18、m1，n1 Bm1，n2Cm2，n1 Dm3，n1【点评】 函数图象分析类试题，主要就是推证函数的性质，然后根据函数的性质、特殊点的函数值以及图象的实际作出判断，这类试题在考查函数图象的同时重点是考查探究函数性质、用函数性质分析问题和解决问题的能力利用导数研究函数的性质、对函数图象作出分析判断类的试题，已经逐渐成为高考的一个命题热点。【变式探究】函数y2sinx的图象大致是()图22难点三基本初等函数性质及其应用例3、设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是()A1,2 B0,2 C1，) D0，)【点评】 本题要注意在分段函数上分段处理的方法，另外就是要注意在解对数方程或者不等式时一定

19、要注意其真数大于零的隐含条件高考对指数函数、对数函数和幂函数的性质的考查主要是应用，应用这些函数的性质分析函数图象、解不等式、比较数值的大小等，如下面的变式【变式探究】已知a5log23.4，b5log43.6，clog30.3，则()Aa>b>c Bb>a>c Ca>c>b Dc>a>b难点四函数的零点和方程根的分布例4、 (1)对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(xx2)，xR，若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(，2B(，2C.D.(2)已知函数f(x)logaxxb(a0，且a1

20、)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.难点六函数模型及其应用例6、如图所示，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v>0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(cR)E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|vc|×S成正比，比例系数为；(2)其他面的淋雨量之和，其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d100，面积S时，(1)写出y的表达式；(2)设0<v10,0<c5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少【点评】 本题考查函

21、数建模、分段函数模拟的应用解决函数建模问题，首要的问题是弄清楚实际问题的意义，其中变量是什么，求解目标是什么，为了表达求解目标需要解决什么问题，这些问题清楚了就可以把求解目标使用一个变量表达出来在函数模型中，含有绝对值的函数本质上是分段函数，解决分段函数问题时，要先解决函数在各个段上的性质，然后把各段上的性质整合为函数在其整个定义域上的性质【方法技巧】1根据方程的解和函数零点的关系，可以把方程和函数联系起来，通过函数的零点研究方程根的分布以及采用逐步缩小方程根所在区间的方法求方程的近似解(二分法)，但在实际中我们一般是求方程解的个数、或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围，这时数形结合是基本

22、的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都是我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系难点七导数的几何意义的应用例7、曲线y在点M处的切线的斜率为()A B.C D.【变式探究】(1)直线y2xb是曲线ylnx(x>0)的一条切线，则实数b_.(2)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)(x1)21，满足ff(a)的实数a的个数为_难点八导数在研究函数中的应用例8、已知函数f(x)(xk)2e.(1)求f(x)的单调区间；(2)若

23、对于任意的x(0，)，都有f(x)，求k的取值范围难点九定积分例9 、(1) (ex2x)dx等于()A1 Be1 Ce De1(2)由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()A. B4 C. D6【点评】 计算定积分的基本方法就是根据微积分基本定理，其关键是找到一个函数使得这个函数的导数是被积函数，这实际上是导数运算的逆运算；使用定积分的方法求曲边形面积时，要根据围成这个曲边形的直线和曲线的相对位置确定是哪个函数的、在什么区间上的定积分，求曲边形面积可以使用x为积分变量，也可以使用y为积分变量，本例第(2)问如果使用y为积分变量，所求的面积由两部分组成，一个是下方的等腰直角三角形，一

24、个是定积分(y2y2)dy.【方法技巧】1求解切线问题时要注意求的是曲线上某点处的切线问题，还是曲线的过某个点的切线问题【历届高考真题】【2012高考】1.【2012高考真题重庆理8】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A）函数有极大值和极小值 （B）函数有极大值和极小值 （C）函数有极大值和极小值 （D）函数有极大值和极小值2.【2012高考真题新课标理12】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） 3.【2012高考真题陕西理7】设函数，则（ ）A. 为的极大值点 B.为的极小值点C. 为的极大值点 D. 为的极小值点学6.【2012高考

25、真题全国卷理10】已知函数yx²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或13.【2012高考真题安徽理2】下列函数中，不满足：的是（ ） 4.【2012高考真题天津理4】函数在区间(0,1)内的零点个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）35.【2012高考真题全国卷理9】已知x=ln，y=log52，则(A)xyz （B）zxy (C)zyx (D)yzx6.【2012高考真题新课标理10】 已知函数；则的图像大致为（ ）7.【2012高考真题陕西理2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A. B. C. D. 8

26、.【2012高考真题重庆理10】设平面点集，则所表示的平面图形的面积为（A） （B） （C） （D）9.【2012高考真题山东理3】设且，则“函数在上是减函数 ”，是“函数在上是增函数”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件12.【2012高考真题山东理8】定义在上的函数满足.当时，当时，。则（A）335 （B）338 （C）1678 （D）201213.【2012高考真题山东理9】函数的图像大致为17.【2012高考真题江西理3】若函数，则f(f(10)=A.lg101 B.2 C.1 D.07.【2012高考真题浙江理16】定义：曲线C

27、上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_。8.【2012高考真题江西理11】计算定积分_。9.【2012高考真题山东理15】设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则_.10.【2012高考真题广东理12】曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 33【2012高考真题湖南理20】（本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的A，B，三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为,（单位：件）.已知每个工人每天可生产部件件，或部件件，或部件件.

28、该企业计划安排名工人分成三组分别生产这三种部件，生产部件的人数与生产部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.（）设生产部件的人数为，分别写出完成，三种部件生产需要的时间；（）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.【2011年高考试题】一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科5)对于函数,“的图象关于y轴对称”是“=是奇函数”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要2. (2011年高考山东卷理科9)函数的图象大致是3. (2011年高考山东卷理科10)已知是上最小

29、正周期为2的周期函数，且当时,则函数的图象在区间0,6上与轴的交点的个数为（A）6 （B）7 （C）8 （D）96(2011年高考辽宁卷理科9)设函数f（x）=则满足f（x）2的x的取值范围是（ ） （A）-1，2 （B）0，2 （C）1，+） （D）0，+）7(2011年高考辽宁卷理科11)函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意xR，f(x)2，则f（x）2x+4的解集为（ ）（A）（-1，1） （B）（-1，+） （C）（-，-1） （D）（-，+）8(2011年高考浙江卷理科1)设函数,则实数=（A）-4或-2 （B）-4或2 （C）-2或4 （D）-2或29. (2011年高

30、考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ）A B C D 10. (2011年高考全国新课标卷理科9)由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（A） （B）4 （C） （D）616. (2011年高考湖南卷理科6)由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为 A. B. 1 C. D. 17. (2011年高考湖南卷理科8)设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为 A. 1 B. C. D. 18(2011年高考广东卷理科4)设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A+|g(x)|是偶函数 B-|g(x)|是奇函数C| +g(x)是偶函数 D|- g(x)是奇函数19(2011年高考湖北卷理科6)已知定义在R上的奇函数和偶函数满足且，若，则A.2 B. C. D.26 (2011年高考全国卷理科8)曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A) (B) (C) (D)127(2011年高考全国卷理科9)设是周期为2的奇函数，当0x1时，=，则= (A) - (B) (C) (D)28(2011年高考福建卷理科5)（e2+2x）dx等于A1 Be-1 Ce De+130(2011年高考上海卷