方形线圈的互感计算

1、工程电磁场课外实验报告 仪器科学与电气工程学院 65100512 董雪峰1 / 17基于MATLAB计算任意位置两矩形线圈互感实验目的本次实验主要是为了对工程电磁场的理论知识进一步的理解和掌握。通过对本次实验的设计，计算；从而掌握任意一点电磁感应的计算，和利用定义式计算任意一点的磁感应强度。同时，理解和掌握互感的定义，以及对互感的计算。实验内容1. 利用定义式，先求矩形线圈的任意一点的磁感应强度。根据毕奥-沙伐定律知，空间线电流源产生的磁场强度为：dB=04IeRdlR2 (1)式中：B-空间点的磁感应强度，其方向垂直于直导线与空间点构成的平面；0-真空磁导率；I-导线的电流强度；l-导线长度

2、；R-源点到场点的距离；eR-R方向的单位矢量；为了计算具有一定长度的电流源在其周围产生的磁场，建立如图1坐标系，并用毕奥-沙伐定律的积分式：B=04IeRdlR2; (2)电流的方向Ii（x方向），场点的坐标P（0,0，Z）=Zk;而导线上的点可以表述为（X，Y，0）=Xi+Yj;则有:eR=-Xi-Yj+ZkR (3)代入上式；利用dx(ax2+c)3/2=xcax2+c+l; （4）计算可得：Br=0IZ4r02(ar02+a2+br02+a2); (5)Br=0IZ4r02(sin2+sin1); (6)Bz=0IY4r02(ar02+a2+br02+a2); (7)Bz=0IY4r0

3、2(sin2+sin1); (8)对于一般情况而言：r0-该空间点到带电导线的垂直距离，即PQ，r0=Y2+X2; （9） a-导线底端到该空间点在导线上投影间的距离；即QA；b-导线顶端到该空间点在导线上投影间的距离；即QB；Y-r0在XOY平面的投影；即OQ；Z-r0在XOZ平面的投影；即OP。这样空间点与其在导线和XOY平面的投影点构成以直角三角形POQ。矩形环流的磁场计算：分析矩形环流线圈在空间任一点的磁感应强度，本题采用叠加原理，考虑在空间中矩形环流四条边的叠加效果，从而可以得到在Z方向上的磁感应强度的矢量和为：Bz=B1z+B2z+B3z+B4z; （10）式中B1z，B2z，B3

4、z，B4z分别表示的是矩形线圈四条边对空间点产生的Z方向上的磁感应强度。对于1边产生的磁场，做如图2所示图形，依据前一部分的推导可以得到该条边产生的Z方向上的磁感应强度，其他三边相同；Bz=B1z+B2z+B3z+B4z （11） =140I（b-X)(b-X)2+Z2a+Y(a+Y)2+(b-X)2+Z2+a-Y(a-Y)2+(b-X)2+Z2+ 0I（a-Y)(a-Y)2+Z2b+X(a-Y)2+(b+X)2+Z2+b-X(a-Y)2+(b-X)2+Z2+ 0I（b+X)(b+X)2+Z2a+Y(a+Y)2+(b+X)2+Z2+a-Y(a-Y)2+(b+X)2+Z2+ 0I（a+Y)(a+

5、Y)2+Z2b+X(a+Y)2+(b+X)2+Z2+b-X(a+Y)2+(b-X)2+Z2）; （12）式中：I-矩形环流的通电电流强度；P-空间点，坐标（X，Y，Z）；矩形线圈的长，宽为2a,2b;X方向上的磁感应强度由1,3边产生；Y 方向上的磁感应强度由2,4边产生；By=B1y+B2y+B3y+B4y=B2y+B4y （13） =140IZ(a-Y)2+Z2b+X(a-Y)2+(b+X)2+Z2+b-X(a-Y)2+(b-X)2+Z2+14 0IZ(a+Y)2+Z2b+X(a+Y)2+(b+X)2+Z2+b-X(a+Y)2+(b-X)2+Z2; （14）Bx=B1x+B2x+B3x+B

6、4x=B1x+B3x （15） =140IZ(b-X)2+Z2a+Y(a+Y)2+(b-X)2+Z2+a-Y(a-Y)2+(b-X)2+Z2+14 0IZ(b+X)2+Z2a+Y(a+Y)2+(b+X)2+Z2+a-Y(a-Y)2+(b+X)2+Z2; （16）实验结果： 1.计算矩形线圈空间任意一点磁感应强度的大小：对于x等于零，分别给出y,z的范围，和线圈的边长2a,2b以及线圈中流过的电流大小i,分别画出空间各点磁感应强度的By,Bz的大小在空间的分布：实验结果如图3所示。2.计算矩形线圈空间任意一点磁感应强度的大小：对于y等于零，分别给出x,z的范围，和线圈的边长2a,2b以及线圈中流

7、过的电流大小i,分别画出空间各点磁感应强度的Bx,Bz的大小：实验结果如图4所示。 3.计算矩形线圈空间任意一点磁感应强度的大小：对于z等于零，分别给出x,y的范围，和线圈的边长2a,2b以及线圈中流过的电流大小i,分别画出空间各点磁感应强度的Bx,By的大小：实验结果如图5所示。 图3 x=0时，by,bz的大小在空间的分布 图4 y=0时，bx,bz的大小在空间的分布 图5 z=0时，bx,by的大小在空间的分布2. 计算任意位置两矩形线圈互感系数的计算为计算任意位置两线圈互感系数，需设计如图6所示：根据互感计算定义，对于边长为2a,2b的两矩形电流环，分别建立如图所示直角坐标系。任意位置

8、时，由聂以曼公式知其互感系数：M=04l2l1 dl1dl2R; （17）将电流环的积分元进行直角坐标系变换得：M=04l2l1 （dx1,dy1,dz1）(dx2,dy2,dz2)R = 04l2l1 dx1dx2+dy1dy2+dz1dz2R （18）其中：X2=Tx+X; （19）Y2=Ty+Y; （20）Z2=Tz; （21）Z1=0； （22）Tx,Ty,Tz为上方矩形线圈的中心坐标；R=（X1-Tx+X')2+(Y1-Ty-Y')2+(Z1-Tz)2; （23）(-a,b,0) X1Y1Z1h(TX,TY,TZ)X2Y2Z2(a,b,0)(a,-b,0) (Tx,T

9、y,Tz)(-a,-b,0)(0,0,0)(Tx+a1,Ty-b1,Tz) (Tx-a1,Ty-b1,Tz) (Tx+a1,Ty+b1,Tz) (Tx-a1,Ty+b1,Tz) 图 6 两个方形线圈计算示意图则：任意位置的两矩形电流线圈的互感系数可写为：M=04（-aadx1l2dx2R+aadx1l2dx2R+a-adx1l2dx2R+-a-adx1l2dx2R+-bbdy1l2dy2R+bbdy1l2dy2R+b-bdy1l2dy2R+-b-bdy1l2dy2R） =04×(-aadx1-ccdx'(x1-Tx+x')2+(b-Ty+d)2+Tz2+-aadx1c

10、-cdx'(x1-Tx+x')2+(b-Ty-d)2+Tz2+a-adx1-ccdx'(x1-Tx+x')2+(-b-Ty+d)2+Tz2+a-adx1c-cdx'(x1-Tx+x')2+(-b-Ty-d)2+Tz2+-bbdy1-dddy'(a-Tx+c)2+(y1-Ty+y')2+Tz2+-bbdy1d-ddy'(a-Tx-c)2+(y1-Ty+y')2+Tz2 +b-bdy1-dddy'(-a-Tx+c)2+(y1-Ty+y')2+Tz2+b-bdy1d-ddy'(-a-Tx-c)2+

11、(y1-Ty+y')2+Tz2); （24） 实验结果：1. 两方型线圈共轴时，线圈流过的电流大小N1，N2分别为1A，线圈的边长分别为2a=8m、2b=10m，另一线圈的边长为2c=4m,2d=4m，线圈的中心点坐标Tx=0,Ty=0,Tz=h,线圈沿Z轴移动时，两线圈的互感计算结果。表1 共轴时互感值h和Tz关系Tz/m246810121416互感值H/h(e-007)16.2748.92144.86862.80041.71001.10290.745480.52424图7 共轴时互感值h和Tz关系2. 两方型线圈不共轴时，线圈流过的电流大小N1，N2分别为1A，线圈的边长分别为2a

12、=8m、2b=10m，另一线圈的边长为2c=4m,2d=4m，线圈的中心点坐标Tx=0,Ty=y,Tz=10,线圈沿Y轴移动时，两线圈的互感计算结果。方形线圈与方形线圈互感测试(理论数据)：表2 一般情况下矩形与矩形互感仿真数据距离（m）048121620242832364044（E-007H）17.0712.725.301.14-0.16-0.42-0.4-0.33-0.26-0.20-0.16-0.13方形线圈与方形线圈互感测试(实验数据)：表3 实验情况下矩形与矩形互感仿真数据距离（m）0481216202428323640441.71001.27305.28261.1417-1.638

13、0-（E-007H）0.418860.395640.320630.249980.193930.151490.11966 图8 不共轴时互感随Y的变化附录：Matlab仿真程序： 1.计算矩形线圈空间任意一点磁感应强度的大小：对于x等于零，分别给出y,z的范围，和线圈的边长2a,2b以及线圈中流过的电流大小i,分别画出空间各点磁感应强度的By,Bz的大小：clc;clear;close all;x=0;y=-2:0.1:2;z=-2:0.1:2;a=3;b=3;i=5;y,z=meshgrid(y,z);u0=4*pi*10-7;r0=(a+y).2+(b-x).2+z.2;r1=(a-y).2

14、+(b-x).2+z.2;r2=(a-y).2+(b+x).2+z.2;r3=(a-y).2+(b-x).2+z.2;r00=sqrt(r0);r11=sqrt(r1);r22=sqrt(r2);r33=sqrt(r3);m0=(b-x).2+z.2;m1=(a-y).2+z.2;m2=(b+x).2+z.2;m3=(a+y).2+z.2;b2y=z.*(b+x)./r22+(b-x)./r11);b4y=z.*(b+x)./r33+(b-x)./r00);by=u0*i*(b2y./m1+b4y./m3)./(4*pi);b1z=(b-x).*(a+y)./r00+(a-y)./r11);b

15、2z=(a-y).*(b+x)./r22+(b-x)./r11);b3z=(b+x).*(a+y)./r33+(a-y)./r22);b4z=(a+y).*(b+x)./r33+(b-x)./r00);bz=u0*i*(b1z./m0+b2z./m1+b3z./m2+b4z./m3)./(4*pi);figure(1);subplot(211)mesh(y,z,by);subplot(212)mesh(y,z,bz);2.计算矩形线圈空间任意一点磁感应强度的大小：对于y等于零，分别给出x,z的范围，和线圈的边长2a,2b以及线圈中流过的电流大小i,分别画出空间各点磁感应强度的Bx,Bz的大小：

16、clc;clear;close all;x=-2:0.1:2;y=0;z=-2:0.1:2;a=3;b=3;i=5;x,z=meshgrid(x,z);u0=4*pi*10-7;r0=(a+y).2+(b-x).2+z.2;r1=(a-y).2+(b-x).2+z.2;r2=(a-y).2+(b+x).2+z.2;r3=(a-y).2+(b-x).2+z.2;r00=sqrt(r0);r11=sqrt(r1);r22=sqrt(r2);r33=sqrt(r3);m0=(b-x).2+z.2;m1=(a-y).2+z.2;m2=(b+x).2+z.2;m3=(a+y).2+z.2;b1x=z.*

17、(a+y)./r00+(a-y)./r11);b3x=z.*(a+y)./r33+(a-y)./r22);bx=u0*i*(b1x./m0+b3x./m2)./(4*pi);b1z=(b-x).*(a+y)./r00+(a-y)./r11);b2z=(a-y).*(b+x)./r22+(b-x)./r11);b3z=(b+x).*(a+y)./r33+(a-y)./r22);b4z=(a+y).*(b+x)./r33+(b-x)./r00);bz=u0*i*(b1z./m0+b2z./m1+b3z./m2+b4z./m3)./(4*pi);figure(1);subplot(211)mesh(

18、x,z,bx);subplot(212)mesh(x,z,bz);3.计算矩形线圈空间任意一点磁感应强度的大小：对于z等于零，分别给出x,y的范围，和线圈的边长2a,2b以及线圈中流过的电流大小i,分别画出空间各点磁感应强度的Bx,By的大小：clc;clear;close all;x=-2:0.1:2;y=-2:0.1:2;z=3;a=3;b=3;i=5;x,y=meshgrid(x,y);u0=4*pi*10-7;r0=(a+y).2+(b-x).2+z.2;r1=(a-y).2+(b-x).2+z.2;r2=(a-y).2+(b+x).2+z.2;r3=(a-y).2+(b-x).2+z

19、.2;r00=sqrt(r0);r11=sqrt(r1);r22=sqrt(r2);r33=sqrt(r3);m0=(b-x).2+z.2;m1=(a-y).2+z.2;m2=(b+x).2+z.2;m3=(a+y).2+z.2;b1x=z.*(a+y)./r00+(a-y)./r11);b3x=z.*(a+y)./r33+(a-y)./r22);bx=u0*i*(b1x./m0+b3x./m2)./(4*pi);b2y=z.*(b+x)./r22+(b-x)./r11);b4y=z.*(b+x)./r33+(b-x)./r00);by=u0*i*(b2y./m1+b4y./m3)./(4*p

20、i);figure(1);subplot(211)mesh(x,y,bx);subplot(212)mesh(x,y,by);4.计算空间两平行矩形线圈互感，一线圈边长为2a,2b,线圈流过电流大小为N1,线圈的中心点坐标为(0,0,0)；另一线圈边长为2c,2d，线圈流过电流大小为N2,线圈的中心点坐标为(Tx,Ty,Tz);对于给定的各参量计算相应的两线圈间的互感。clc;clear;close all;syms x1 x2 y1 y2; Tz=10;Tx=0:4:40;Ty=0;a=4;b=5;c=2;d=2;N1=1;N2=1;r1=(x1-(Tx+x2).2+(b-(Ty+d).2+Tz.2;r2=(x1-(Tx+x2).2+(b-(Ty-d).2+Tz.2;r3=(x1-(Tx+