人口预测问题的数字建模

1、人口预测问题数学模型 岳靖雨 王泽摘 要在计划生育的影响下，我国人口的出生率持续下降，远远低于其他发展中国家，甚至低于美英等发达国家。人口出生率的降低，带来最直接的问题就是我国劳动力的逐年下降，尤其是青壮年劳动力的不足，从而严重影响了我国社会生产的发展。同时，随时人们生活水平的提高以及卫生医疗事业的发展，大大延长了国民的寿命，使得我国出现了人口老龄化的现象，并且这种现象呈现了日益严重的趋势。为此，第十八届中央委员会第三次全体会议决定开放单独二胎政策，以提高我国人口的出生率以及降低人口老龄化程度。基于此，本文旨在研究开放单独二胎政策对我国人口出生率以及人口结构的影响。在参阅大量研究报告的基础上，

2、构建了合适的预测人口的数学模型，对我国未来几年内人口总数及老龄人口数进行了预测。通过得到的数据结果说明了，开放单独二胎政策确实能够提高我国人口的出生率，有效地缓解出生率下降的趋势，但相对于我国的人口基数，这种增长是非常微小的；未来几年内，我国老龄人口所占的比例仍会持续上升，但是在单独二胎政策的影响下，我国老龄人口所占比例的增长率将会基本保持不变，不会出现计划生育时期逐渐增大的现象。关键词：单独二胎政策；人口预测模型；人口老龄化；人口结构一、问题重述人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。该政策实施30多年来，有效地控

3、制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但另一方面，其负面影响也开始显现。如小学招生人数（1995年以来）、高校报名人数（2009年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口抚养比的相变时刻即将到来，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响，引起了中央和社会各界的重视。因此，我国决定开放单独二胎政策。实施这项政策不仅是计划生育工作的一项重要调整，同时也充分适应了我国人口的发展趋势，是满足人民群众需求的一项关键性举措，具有重大现实意义。本文旨在发掘该项政策的改变对我国人口数量、人口老龄化的影响程度，对未来几年内我国人口数量及老龄人口所占比例的变化趋势

4、做出合理的预测。二、问题分析目前，已经有了很多对人口预测的研究报告及研究方法。本文在参阅大量研究报告的基础上，给出了三种典型的数学模型，分别是Logistic增长模型、线性回归模型以及灰色系统GM(1,1)模型。人口预测的准确与否，则取决于所采用的预测方法是否妥当。不同的预测模型，适用的范围大不相同，相应地预测结果也会大不相同。例如，Logistic增长模型考虑到地球上的资源与生存空间是有限的，人口不可能无限增加。因此，在Logistic增长模型中人口的增长率是先增后减的；线性回归模型认为数据之间呈线性相关，用一条直线去拟合数据，对线性相关的数据具有很好的拟合效果；灰色系统GM(1,1)模型通

5、过对原始数据的处理和灰色模型的建立，发现并掌握系统发展的规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。通过数据的累加或累减，能够提高数据的光滑性，对于解决少数据，不确定的问题有独特的优势。影响人口增长的因素繁多，任何一种模型都不能完整地预测其发展情况，具体采用何种模型或采用哪些种模型，是本文所要解决的主要问题之一。其次，在确定所用的模型之后，就要考虑单独二胎政策的开放对我国人口的增长率及我国人口老龄化的影响程度，做出合理的预测。三、模型假设1、假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值；2、对人口的预测，只考虑生育模型、出生率、死亡率及性别等因素，不考虑自然灾害、战争等引起的人口数量变化；

6、3、无较大的国际性人口迁移；4、65岁以上的人口为老龄人口；5、单独二胎政策在全国范围内均已实行。四、符号说明符号说明单位Logistic增长模型中，在时刻的人口数量万人Logistic增长模型中的系数，称为生命系数Logistic增长模型中的系数，称为生命系数初始年的人口数量万人线性回归模型中的系数线性回归模型中的样本个数个我国历年人口数量万人对原始数据累加一次之后的数列万人本文采用的预测我国人口数量的模型万人预测人口下限值万人预测人口上限值万人五、典型预测模型简介5.1 模型一：Logistic增长模型Logistic增长模型是一种S形函数模型，它是皮埃尔弗朗索瓦韦吕勒在1844或1845

7、年研究人口增长关系时提出并命名的。Logistic曲线可以模仿一些情况人口增长的S形曲线。起初阶段大致是指数增长；然后开始变得饱和，增加变慢；最后，达到成熟时增加停止1。此模型属于微分方程预报模型方法范畴，Logistic人口模型的一半形式为： (5-1)其中称为生命系数，为在年时人口数量，为初始年的人口数量。(5-1)式是伯努利(Bernoulli)方程，利用计算机编程可得解为： (5-2)曲线的形状如图5.1所示，这种曲线称为S形曲线，由曲线的形状，可以得到如下结论：图5.1 Logistic增长曲线在人口总数达到极限值一半(即)以前，是加速增长时期，过这一点以后，增长的速度逐渐小，并且迟

8、早会达到零，这是减速增长时期。5.2 模型二：线性回归模型回归分析起源于生物学研究，是由英国生物学家兼统计学家高尔登(Francis Galton 1822-1911)在19世纪末叶研究遗传学特性时首先提出来的。高尔登在1889年发表的著作自然的遗传中，提出了回归分析方法以后，很快就应用到经济领域中来，而且这一名词也一直为生物学和统计学所沿用1。设为自变量，为因变量，与之间存在某种线性关系，即一元线性回归模型为： (5-3)其中代表影响因素，我们往往认为它是可以控制或预先给定的，故称之为自变量；因变量就是我们的预测对象；常数是待定的参数。给定的对观测值，代入式(5-3)得： (5-4)称(5-

9、4)为一元线性回归模型。显然，此时的方程组个数大于待定参数的个数，方程无解。估计模型的回归系数有许多方法，其中使用最广泛的是最小二乘(OLS,Ordinary Least Square)法。待定参数可由下式给出： (5-5) (5-6)其中。5.3 模型三：灰色系统GM(1,1)模型灰色系统理论指出，用离散的随机数，经过生成变为随机性被显著削弱的较有规律的生成数，这样便可以对变化过程做较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型，建模的实质是建立微分方程的系数。灰色系统理论中的GM(1,N)模型能够用于灰色预测，而当问题中考虑的变化趋势只有一个参考数列时，也即模型GM(1,N)中的取为1，模型可

10、以化简为GM(1,1)模型2。该模型如下所示：假设已知数列： (5-7)进而可以得到累加一次后的数列： (5-8)利用累加后的数列建立白化形式的微分方程： (5-9)设，按最小二乘法得到 (5-10)其中： (5-11)易求得该微分方程的解为： (5-12)再对求得的数列进行累减，就可得到相应的预测值。六、数值试验及结果分析在阅读大量文献的基础上，本文给出了三种典型的用于人口预测的模型。接下来将分别用这三种模型对我国的人口进行预测，通过比较、分析，找出较好的预测模型，最后利用该模型对我国出台单独二胎政策后的人口进行预测。数据来源于文献4，20052012年我国的人口总数以及65岁以上的人口总数

11、如下表6.1所示：表6.1 历年人口及65岁以上人口(万人)年份20052006200720082009201020112012总人口13075613144813212913280213345013409113473513540465岁以上人口1005510419106361095611307118941228812714所占比例7.69%7.93%8.05%8.25%8.47%8.87%9.12%9.39%从上面的表格可以看出，我国老龄人口所占的比例逐渐增大，为此有必要改变我国的生育政策。基于此，单独二胎的政策才得以实现。接下来，分别利用前文中的三种人口预测模型对20052012年的人口进行

12、预测，得到相关的模型，分析、比对各个模型的好坏。模型一：Logistic增长模型将20052012年我国的总人口数代入到式(5-1)、(5-2)中，利用MATLAB程序Logistic.m文件进行预测，最终得到的模型为： (6-1)各年预测值与真值的比较如下表6.2以及图6.1所示(其中*代表的是真实值，红色折线代表的是预测值)：表6.2 Logistic增长模型的预测值与真实值的比较(万人)年份20052006200720082009201020112012预测值130760131440132120132790133450134110134750135390真实值13075613144813

13、2129132802133450134091134735135404相对误差%0.00310.00610.00680.00900.00000.01420.01110.0103误差平方和969.0647图6.1 Logistic增长模型的预测值与真实值的比较模型二：线性回归模型将20052012年我国的总人口数代入到式(5-3)、(5-6)中，利用MATLAB程序Regress.m文件进行预测，最终得到的模型为： (6-2)各年预测值与真值的比较如下表6.3以及图6.2所示(其中*代表的是真实值，红色折线代表的是预测值)：表6.3 线性回归模型的预测值与真实值的比较(万人)年份200520062

14、00720082009201020112012预测值130790131450132110132770133430134090134750135410真实值130756131448132129132802133450134091134735135404相对误差%0.02600.00150.01440.02410.01500.00070.01110.0044误差平方和3153.7图6.2 线性回归模型的预测值与真实值的比较模型三：灰色系统GM(1,1)模型将20052012年我国的总人口数代入到式(5-7)(5-12)中，利用MATLAB程序GM1_1.m文件进行预测，最终得到的模型为： (6-3

15、)然后可以利用该模型进行预测，第时刻的预测值为： (6-4)显然预测值是关于的增函数，说明我国的总人口是呈上升趋势的。接下来利用(6-4)式对我国总人口进行预测，各年预测值与真值的比较如下表6.4以及图6.3所示(其中*代表的是真实值，红色折线代表的是预测值)：表6.4 GM1_1模型的预测值与真实值的比较(万人)年份20052006200720082009201020112012预测值130756131477132125132776133430134088134749135413真实值130756131448132129132802133450134091134735135404相对误差%0

16、.00000.02210.00300.01960.01500.00220.01040.0066误差平方和2191.3图6.3 GM1_1模型的预测值与真实值的比较三种模型的对比、分析为了比较三种模型的预测效果，将前文中的结果进行对比，观察下表6.5可知：表6.5 三种模型预测效果比较(万人)年份人口真实值Logistic模型线性回归模型灰色GM(1,1)模型预测值相对误差(%)预测值相对误差(%)预测值相对误差(%)20051307561307600.00311307900.02601307560.000020061314481314400.00611314500.00151314770.02

17、2120071321291321200.00681321100.01441321250.003020081328021327900.00901327700.02411327760.019620091334501334500.00001334300.01501334300.015020101340911341100.01421340900.00071340880.002220111347351347500.01111347500.01111347490.010420121354041353900.01031354100.00441354130.0066误差平方和969.06473153.7219

18、1.3从上面的结果可以清晰的看出，Logistic模型的预测效果最好，而线性回归模型的预测效果最差。这是因为，Logistic增长模型考虑到人口总数增长的有限性，且提出了人口总数增长的规律即随着人口总数的增长，人口增长率逐渐下降。从Logistic模型中的预测结果可以发现，2009年以前预测值基本都在真实值以下，而2009年以后的预测值均在真实值以上。而灰色GM(1,1)模型对真实值的预测，基本是均匀变化的。为此，本文考虑将两种模型预测值的均值作为对真实值的预测，即： (6-5)利用(6-5)重新计算人口预测值，如下表6.6所示表6.6 组合模型的预测值与真实值的比较(万人)年份2005200

19、6200720082009201020112012预测值130758131459132123132783133440134099134750135402真实值130756131448132129132802133450134091134735135404相对误差%0.00150.00800.00490.01430.00750.00600.01080.0018误差平方和898在表6.6中，无论是各年预测值的误差还是总的误差平方和，都得到了很大的改善，说明这种组合模型对人口的预测具有很好的效果。为此，本文拟采用这种方法对我国生育政策调整后的人口进行预测。由于2013年的中国统计年鉴尚未出台，因此本

20、文利用该组合模型对2013及2014年的总人口进行预测可得136046和136691(万人)。然而，单独二胎政策是于2013年11月9日至12日在北京举行的第十八届中央委员会第三次全体会议中提出来的。因此，该项政策的提出对2014年我国新生儿数量增长的实际影响还没发精确计算出，只能给出大致的范围。在文献5中指出，短期内我国可能会出现小的生育回潮，新生婴儿增多，预计每年将达到100200万左右。所以，2014年的总人口预计在136791136891(万人)。进而，本文对未来几年内的人口预测给出的也是一个范围，即预测人口的最大值及最小值。为了预测开放单独二胎政策后我国人口的变化，将2013及201

21、4年的人口加入到20052012年的原始数据中，形成新的数据。利用前文的方法，能够形成新的预测模型，最终结果如下：其中和分别表示预测的最小值和最大值。利用和可对我国未来几年内的人口总数进行预测，为了更好的体现单独二胎政策的效果，利用(6-5)及和分别对原始数据(认为没有开放单独二胎政策，2014年新生婴儿无明显增多)及新数据进行预测(认为实行单独二胎政策，2014年新增婴儿100200万)，相关结果如下表6.7、图6.4所示：表6.7 开放单独二胎政策前后人口的预测值对比 (万人)年份2014201520162017201820192020(原)预测值136691137341137981138

22、619139255139888140519人口增长率(%)0.47410.47550.46600.46240.45880.45460.4511(新)预测值下限136791137418138083138749139415140081140748人口增长率(%)0.54760.45840.48390.48230.48000.47770.4762(新)预测值上限136891137459138140138824139510140198140889人口增长率(%)0.62110.41490.49540.49510.49420.49320.4929图6.4 开放单独二胎政策前后人口的预测值对比从表6.7及

23、图6.4中可以看出，开放单独二胎政策后，原数据的预测值均在新数据的预测值之下，说明我国人口的增长明显提高了。同时，原始数据的人口增长率明显呈下降趋势，而开放单独二胎政策后，人口增长率得到了提高并且下降的速度得到了缓解，说明在单独二胎的政策下，确实能使我国新生儿的出生率提高。人口结构的研究随着社会的发展，我国老龄人口所占比例逐年提高，并呈现出“未富先老”的特点。然而，在计划生育政策的影响下，我国人口出生率远远低于同属发展中国家的印度等国，甚至低于美英等发达国家。使得我国的劳动力逐年下降，尤其是青壮年劳动力不足，从而影响我国社会生产的发展。在此情况下，第十八届中央委员会第三次全体会议决定开放单独二

24、胎政策。为此，在政策改变的情况下，有必要研究我国人口结构的变化。本文主要研究未来几年内，我国老龄人口所占全部人口的比例。但是，在这里我们要注意的是，对老龄人口的预测不能应用和来进行预测，因为和代表的是开放单独二胎政策后，我国新生婴儿的增量，而这些新生婴儿至多步入青年期，因此不会对我国未来几年内的老龄人口(65岁及以上)产生影响。所以，对老龄人口的预测应该使用(6-5)式，即不考虑单独二胎政策带来的新生儿的增量，同时计算老龄人口所占总人口比例。相应的数学模型及计算结果如下所示：表6.8 老龄人口数及其占总人口比例(万人)年份2014201520162017201820192020预测值13551

25、140161449814996155111604416595比例下限(%)9.899110.196510.495110.802211.118211.443811.7788比例上限(%)9.906410.199510.499510.808011.125811.453411.7906表6.9 老龄人口所占比例(%)年份比例年份比例下限比例上限20057.689920139.62919.629120067.926320149.89919.906420078.0497201510.196510.199520088.2499201610.495110.499520098.4728201710.802210.808020108.8701201811.118211.125820119.1201201911.443811.453420129.3897202011.778811.7906图6.5 老龄人口所占比例的变化趋势从上面的表6.8、表6.9、以及图6.