两个平面平行的判定和性质

1、两个平面平行的判定和性质；电话07342518006湖南祁东育贤中学 周友良 421600衡阳县一中 刘亚明 一、内容提要  1. 两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：  （1） 平行没有公共点；  （2） 相交有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。  注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。  2. 两个平面平行的判定定理表述为：    4. 两个平面平行具有如下性质：  （1）

2、两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。        简述为：“若面面平行,则线面平行”。  （2） 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。        简述为：“若面面平行,则线线平行”。  （3） 如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。  （4） 夹在两个平行平面间的平行线段相等。二、要点内容  1. 证明两个平面平行的方法有：  （1）根

3、据定义。证明两个平面没有公共点。  由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。  （2）根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。  （3）根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。  2. 两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定；另一方面，平面与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行

4、就可以互相转化。  3. 两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。  两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。三、例题分析例1. 如图223：已知正方体ABCDA1B1C1D1，求证：平面AB1D1/平面BDC1。A1ABCDB1C1D1图223解析：要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知，须在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平

5、行的直线证明:ABC1D1，C1D1A1B1，AD1/BC1AB A1B1，四边形ABC1D1为平行四边形，又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，BC1/平面AB1D1，同理，BD/平面AB1D1，又BDBC1B，平面AB1D1/平面BDC1。点评:证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以关键是证线线平行。例2.如图224：B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，（1）求证：平面MNG/平面ACD；（2）求ABDCPHFMGN图224解析：（1）要证明平面MNG/平面ACD，由于M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，

6、因此可想到利用重心的性质找出与平面平行的直线。证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，则有：连结PF、FH、PH有MNPF，又PF平面ACD，MN平面ACD。同理：MG平面ACD，MGMNM，平面MNG平面ACD（2）分析：因为MNG所在的平面与ACD所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。解：由（1）可知，MGPH，又PHAD，MGAD同理：NGAC，MNCD，MNGACD，其相似比为1：3，1：9点评:立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几何。比如重心定理，三

7、角形的三边中线交点叫做三角形有重心，到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。例3. ABCDEFGH如图：在正方体ABCDEFGH中，求证：平面AFH/平面BDG。解析：易证BD/平面AHF，BG/平面AHF，平面BDG/平面AHF。ABCDEFGH图226RQSMNP例4如图：在正方体ABCDEFGH中，M、N、P、Q、R、S分别是AE、EH、EF、CG、BC、CD的中点，求证：平面MNP/平面QRS。解析：先证明SR/BD，BD/HF,HF/NP, SR/平面MNP,再证RO/平面MNP，从而证明平面MNP/平面QRS例5. 如图，正四棱锥SABCD的底面边长为a，侧棱长为2a，点P、Q分

8、别在BD和SC上，并且BPPD12，PQ平面SAD，求线段PQ的长.解析： 要求出PQ的长，一般设法构造三角形，使PQ为其一边，然后通过解三角形的办法去处理.作PMAD交CD于M连QM，PM平面SAD，PQ平面SAD.平面PQM平面SAD，而平面SCD分别与此两平行平面相交于QM，SD.QMSD.BCa,SD2a.,MPa,.MQSDa,又PMQADS.cosPMQcosADS.在PMQ中由余弦定理得PQ2(a)2+(a)2-2·a·a·a2.PQa.评析：本题的关键是运用面面平行的判定和性质，结合平行线截比例线段定理，最后由余弦定理求得结果，综合性较强.例6.

9、已知：如图，异面直线AB、CD和平面、分别交于A、B、C、D四点，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：(1)E、F、G、H共面；(2)面EFGH平面.证明 (1)E、H分别是AB、DA的中点，EHBD.FGEH.四边形EFGH是平行四边形，即E、F、H、G共面.(2)平面ABD和平面有一个公共点A，设两平面交于过点A的直线AD， ADBDEH，EHBDAD.EH平面，EH平面，同理FG平面，FG平面.平面EFHG平面平面.例7. 如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，求证：(1)平面AB1D1平面C1BD；(2)对角线A1C被平面AB1D1和平面C1BD三等分.解析：本

10、题若根据“一个平面内两条相交的直线分别与另一平面内两条相交的直线平行，则两平面平行”是很容易解决论证平面AB1D1平面C1BD的，但兼顾考虑(2)的论证，(1)我们还是采用“两平面垂直于同一直线则两平面平行”的判定的方法.证：(1)连AC，BDAC，AC是A1C在底面上的射影，由三条垂线定理得A1CBD，同理可证A1CBC1.A1C平面C1BD，同理也能证得A1C平面AB1D1.平面AB1D1平面C1BD.(2)设A1到平面AB1D1的距离为h，正方体的棱长为a，则有：h·(a)2a· a2.h1BD的距离也为a，而A1C1C被两平行平面三等分.评析：论证A1C被两平行平面

11、三等分，关键是求A1到平面AB1D1的距离，C到平面C1BD的距离，这里用三棱锥体积的代换，若不用体积代换，则可以在平面A1ACC1中去考虑：连A1C1，设A1C1B1D1O1，ACBD0，如图连AO1，C1O，AC1，设AC1A1C1CAO1M，C1OA1CA1AC1的重心，N为ACC1的重心，则可推知MNNCA1M.另外值得说明的是：A1C是面AB1D1和面BC1D的公垂线.异面直线AD1和C1D的距离也等于MN.例8. 如图，已知直线a平面；求证：过a有且只有一个平面平行于.证明 (1)存在性：设过a的平面与交于a，a，aa.在上，设直线baA,在a上取点A，A与b确定平面，在上过A作b

12、b.则a、b是相交直线(若重合，则显然ba，矛盾).a,b确定平面，则.(2)唯一性：设过a还有一个平面，与有公共点A，与相交于过A的直线b，又a，b，bb,bb,而b与b都过点A，故重合，故与重合.例9.经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行.已知：A，A，求证：是唯一的.证：设l过A点，且l，这样的直线是唯一的.又，则l，过点A与平面的平面一定和l垂直.过点A和直线l垂直的平面是唯一的.过点A和平行的平面是唯一的.例10.一条直线和两个平行平面相交，求证：它和两个平面所成的角相等.已知：，直线a分别与和相交于点A和A.求证：a与所成的角与a与所成的角相等.解析：(1)当a时，.即a与所成的角与a与所成的角都是直角.(2)当a是的斜线时，如图，设P是a上不同于A、A的任意一点，过点P引a, aB,aB.连结AB和AB.a，a.由此可知，PAB是a和所成的角，PAB是a和所成的角，而ABAB.PABPAB即 a和所成的角等于a和所成的角.例11.a和b是两条异面直线，求证：过a且平行b的平面必平行于过b且平行于a的平面.已知：a,b是异面直线，a，b,a,b.求证：.证：过b作平