第一章多项式王萼芳

1、6 6 重因式重因式1 1 数域数域8 8 复、实系数多项复、实系数多项式的因式分解式的因式分解第一章第一章 多项式多项式一、数域一、数域设设P P是由一些复数组成的集合，其中包括是由一些复数组成的集合，其中包括数不为数不为0 0）仍是）仍是P P中的数，则称中的数，则称P P为一个为一个数域数域0 0与与1 1，如果，如果P P中任意两个数的和、差、积、商（除中任意两个数的和、差、积、商（除常见数域常见数域： 复数域复数域C C；实数域；实数域R R；有理数域；有理数域Q Q；（注意：自然数集（注意：自然数集N N及整数集及整数集Z Z都不是数域）都不是数域）定义定义说明：说明：1 1）若数

2、集）若数集P P中任意两个数作某一运算的结果仍在中任意两个数作某一运算的结果仍在P P中，则说数集中，则说数集P P对这个运算是对这个运算是封闭封闭的的2 2）数域的等价定义：如果一个包含）数域的等价定义：如果一个包含0 0，1 1在内的数在内的数集集P P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0 0）是封闭的，则称集是封闭的，则称集P P为一个数域为一个数域是一个数域是一个数域例例1 1证明：数集证明：数集 ( 2)2 | ,Qaba bQ证：证： 000 2,110 2,( 2),x yQ又对又对 2,2,xabycd设设 则有则有 (2)() 2( 2)

3、x yacbdadbcQ0,1( 2)Q, , ,a b c dQ ()() 2( 2),xyacbdQ设设20,ab于是于是也不为也不为0 02ab 或或 0,0ab矛盾）矛盾） （否则，若（否则，若20,ab则则2,ab 2,aQb于是有于是有20.ab2(2)(2)2(2)(2)cdcdabababab 222222.22acbdadbcQabab为数域为数域( 2)Q ( ),1Q iabi a bQ i是数域是数域. .类似可证类似可证GaussGauss数域数域例例2 2设设P P是至少含两个数的数集，证明：若是至少含两个数的数集，证明：若P P中任中任意两个数的差与商（除数意两个

4、数的差与商（除数0 0）仍属于）仍属于P P，则，则P P为一为一一个数域一个数域有有证：由题设任取证：由题设任取,a bP 0,aaP1(0),bP bb(0),ababP,abP(0),aP bb所以，所以，P P是一个数域是一个数域110,bbabP 时时,00.babP时时,二、数域的性质定理二、数域的性质定理任意数域任意数域P P都包括有理数域都包括有理数域Q Q即，有理数域为最小数域即，有理数域为最小数域证明：证明： 设设P P为任意一个数域由定义可知，为任意一个数域由定义可知，于是有于是有01.PP， ,111mZmP 进而进而 有有,mm nZPn 而任意一个有理数可表成两个整

5、数的商，而任意一个有理数可表成两个整数的商，.QP0.mmPnn设设P为非空数集，若为非空数集，若则称则称P为一个数环为一个数环附附:,a bPabPa bP 例如，整数集例如，整数集Z 就作成一个数环就作成一个数环数环数环一、一元多项式的定义一、一元多项式的定义二、多项式环二、多项式环1 1定义定义个非负整数，形式表达式个非负整数，形式表达式设设 是一个符号（或称文字），是一个符号（或称文字）， 是一是一 xn1110nnnna xaxa xa 称为数域称为数域P P上的上的一元多项式一元多项式其中其中01,na aaP等表示等表示常用常用( ), ( ), ( )f xg x h x一、一

6、元多项式的定义一、一元多项式的定义系数，系数，n n 称为多项式称为多项式 的的次数次数，记作，记作( )f x( ( ).f xn = 若若，即即，则称之则称之010naaa ( )0f x 为为零多项式零多项式零多项式不定义次数零多项式不定义次数区别区别：零次多项式零次多项式( ),0 ,f xa a多项式多项式中，中，1110( )nnnnf xa xaxa xa 称为称为i i次项次项， 称为称为i i次项次项系数系数iia x ia注：注： 若若 则称则称 为为 的的首项首项， 为为首项首项( )f xnna x0,na na零多项式零多项式( )0f x ( ( ) 0.f x =

7、2 2多项式的相等多项式的相等若多项式若多项式 与与 的同次项系数全相等，则的同次项系数全相等，则( )f x( )g x称称 与与 相等相等，记作记作( )f x( )g x( )( ).f xg x 即，即， 1110( ),mmmng xb xbxb xb ( )( ),0,1,2, .iif xg xmn abin 1110( ),nnnnf xa xaxa xa 3多项式的运算：加法（减法）、乘法多项式的运算：加法（减法）、乘法11100( ),iinnnnnif xa xaxa xaa x 11100( ),jjmmmmmjg xb xbxb xbb x 加法：加法： 若若 在在

8、中令中令,nm ( )g x110nnmbbb则则 0( )( )().iiniif xg xab x 0( )( )()iiniif xg xab x 减法：减法：1 010 0()oa ba b xa b1()n miijsij sa bx ( ) ( )f x g x中中s s 次项的系数为次项的系数为 1 1110.sosssijij sa baba ba ba b 注注: : 乘法：乘法：( ) ( )f x g x 111()n mn mn mn mnma b xa babx4 4多项式运算性质多项式运算性质1) 1) 为数域为数域 P P上任意两个多项式，上任意两个多项式，则则

9、( ) ( )f x g x( )( ),( ) ( )f xg xf x g x 仍为数域仍为数域 P P上的多项式上的多项式 2) ( ), ( ) f xg xP x ( ( )( )max( ( ( ),( )f xg xf xg x 若若 ( )0, ( )0,f xg x则则 ( ) ( )0,f x g x 且且 ( ( ) ( )( ( )( ( )f x g xf xg x ( )( )0f xg x( ) ( )f x g x的首项系数的首项系数( )f x 的首项系数的首项系数 ( )g x的首项系数的首项系数. . 3) 3) 运算律运算律( )( )( )( )f x

10、g xg xf x( ( )( )( )( )( ( )( )f xg xh xf xg xh x( ) ( )( ) ( )f x g xg x f x ( ( ) ( ) ( )( )( ( ) ( )f x g x h xf xg x h x ( )( ( )( )( ) ( )( ) ( )f xg xh xf x g xf x h x( ) ( )( ) ( ),( )0( )( )f x g xf x h xf xg xh x 例例1 1设设 ( ), ( ), ( )( )f xg x h xR x (1) (1) 证明证明: : 若若 222( )( )( ),fxxgxxhx

11、 则则 ( )( )( )0f xg xh x=(2) (2) 在复数域上在复数域上(1)(1)是否成立？是否成立？(1) (1) 证：若证：若 ( )0,f x 则则 222( )( )( )0,x gxhxfx于是于是 2222( )( )( ( )( )xgxxhxx gxhx 为奇数为奇数. . 故故 ( )0,f x 从而从而 22( )( )0.gxhx从而从而 22( )( )0.gxhx2( )fx 但但 为偶数为偶数. . 这与已知矛盾这与已知矛盾. .222( )( )( ),x gxhxfx(2) (2) 在在 C C上不成立如取上不成立如取 ( )0,( ),( )f

12、xg xixh xx从而必有从而必有( )( )0.g xh x( )( )( )0.f xg xh x又又 均为实系数多项式均为实系数多项式 ，( ), ( )f xg x所有数域所有数域 P P中的一元多项式的全体称为数域中的一元多项式的全体称为数域 P P上的上的一元多项式环一元多项式环，记作，记作 .P xP P称为称为 的系数域的系数域 P x二、多项式环二、多项式环定义定义 对对 ( ), ( ) ,( )0,f xg xP xg x一定存在一定存在 ( ), ( ) ,q x r xP x 使使 ( )( ) ( )( )f xq x g xr x成立，其中成立，其中( ( )(

13、 ( )r xg x 或或 ( )0,r x 一、带余除法一、带余除法定理定理并且这样的并且这样的 ( ), ( )g x r x是唯一决定的是唯一决定的 称称 为为 除除 的的商商，为，为 除除( )q x( )g x( )f x( )r x( )g x( )f x的的余式余式 若若 ( )0,f x 则令则令 ( )( )0.q xr x结论成立结论成立 若若 ( )0,f x 设设 ( ), ( )f xg x的次数分别为的次数分别为 ,n m证证：当当 时，时， nm 结论成立结论成立 显然取显然取 即有即有 ( )0, ( )( )q xr xf x( )( ) ( )( ),f x

14、q x g xr x下面讨论的情形，下面讨论的情形，nm 假设对次数小于假设对次数小于 n 的的 ，( )f x结论已成立结论已成立先证存在性先证存在性对对 n作数学归纳法作数学归纳法 次数为时结论显然成立次数为时结论显然成立设设 的首项为的首项为 ( )f x,nax( )g x,()mbxnm 的首项为的首项为 则则 与与 首项相同，首项相同， 1n mb axg x( )f x, ,因而，多项式因而，多项式 1( )( )-1-1=-g=-gn-mfxf xb axx的次数小于的次数小于n n或或 f f1 1为为0 0若若 1= 0,fx令令 1( ), ( )0n mq xb axr

15、 x即可即可 若若 1,fxn由归纳假设，存在由归纳假设，存在 11( ), ( )q x r x使得使得 111fxqx g xrx现在来看次数为现在来看次数为n的情形的情形其中其中 1( )rx1, 则称则称 为为 的的重因式重因式.k( )f x( )p x（若（若 =0=0， 不是不是 的因式的因式) ) k( )f x( )p x若若 ，但但 ( )|( )kpxf x1( ) |( ),kpxf x 定义定义若若 1, 则称则称 为为 的的单因式单因式.k( )f x( )p x1. 若若 的标准分解式为：的标准分解式为： ( )f x1211( )( )( )( )srrrsf

16、xcpx pxpx则则 为为 的的 重因式重因式 . . ir1,2,is( )ip x( )f x时，时， 为单因式为单因式 ;1ir ( )ip x时时, 为重因式为重因式 .1ir ( )ip x二、重因式的判别和求法二、重因式的判别和求法2. 2. 定理定理6 6 若不可约多项式若不可约多项式 是是 的的 重因式重因式( )f xk( )p x(1),k 证证:假设假设 可分解为可分解为( )f x( )( ) ( ),kf xpx g x 1( )( )( )( )( )( )kfxpxkg x p xp x g x 1( )|( ).kpxfx 其中其中( ) |( ).p xg

17、x则它是则它是 的微商的微商 的的 重因式重因式.1k ( )fx ( )f x令令( )( )( )( )( ),h xkg x p xp x g x是是 的的 重因式重因式( )p x( )fx 1k 且且 ,( ) |( )p xg x( ) |( )p xp x ( ) |( )( ),p xkg x p x ( ) |( )p xh x( ) |( )kpxfx 为为 的的 重因式，但未必是重因式，但未必是( )p x( )fx 1k ( )p x( )f x的的 重因式重因式. . k注意注意定理定理6 6的逆命题不成立的逆命题不成立，即即推论推论1 1若不可约多项式若不可约多项式

18、 是是 的的 重因式重因式则则 是是 的因式的因式，但不是但不是 的因式的因式.( )p x( )( )kfx( )f x(1),k ( )p x(1)( ),( ),( )kf xfxfx k推论推论2不可约多项式不可约多项式 是是 的重因式的重因式 ( )p x( )f x是是 与与 的公因式的公因式. ( )f x( )p x( )fx 推论推论3推论推论4多项式多项式 没有重因式没有重因式 ( )f x( ( ),( )1.f xfx ，若若 其中其中 为不可约多项式，为不可约多项式， 则则 为为 的的 重因式重因式. . ( )f x( )P f xx 11( ( ),( )( )(

19、 ),srrsf xfxpxpx ( )ip x( )ip x1 ir根据推论根据推论3、4可用辗转相除法可用辗转相除法，求出求出( ( ),( )f xfx 说明说明来判别来判别 是否有重因式若有重因式是否有重因式若有重因式 ，还可由还可由( )f x的结果写出来的结果写出来. ( ( ),( )f xfx 532( )1020154f xxxxx例例1. 判别多项式判别多项式 有无重因式有无重因式. ( )f x532( )1020154f xxxxx例例1. 判别多项式判别多项式 有无重因式有无重因式. ( )f x311231124)1()()()(0)()4341()(412124)

20、(),()(51)(3865)( xxrxfxfxrxxfxxxxrxrxfxxfxxxxf，推论推论5注注: :不可约多项式不可约多项式 为为 的的 重因式重因式 为为 的的 重因式重因式. . ( )f x( )p x( )p xk( ( ),( )f xfx 1k 与与 有完全相同的不可约因式，有完全相同的不可约因式， ( )f x( )( ( ),( )f xf xfx ( )( ( ),( )f xf xfx 且且 的因式皆为单因式的因式皆为单因式. 一、多项式函数与根一、多项式函数与根 1. 多项式函数多项式函数101( ),nnnf xa xa xa 设设数数 , p 将的表示式

21、里的用代替，得到将的表示式里的用代替，得到P中的数中的数( )f xx 101,nnnaaa 称为当时称为当时 的的值值，记作，记作( )f x( ).f x 这样，对这样，对P中的每一个数，由多项式中的每一个数，由多项式 确定确定P中唯一的一个数中唯一的一个数 与之对应，于是称与之对应，于是称 为为P上上的一个的一个多项式函数多项式函数 ( )f x( )f ( )f x若多项式函数若多项式函数 在在 处的值为处的值为0，即，即 ( )f xx ( )0,f 则称则称 为为 的一个的一个根根或或零点零点 ( )f x2. 多项式函数的根多项式函数的根(或零点或零点) 易知，若易知，若12(

22、)( )( ),( )( ) ( ),h xf xg xh xf x g x12( )( )( ),( )( ) ( ).hfghfg则，则，（余数定理）：（余数定理）：用一次多项式用一次多项式 去除多项式去除多项式 x 所得余式是一个常数，这个常数等于函数所得余式是一个常数，这个常数等于函数( ),f x值值 ( ).f 二、多项式函数的有关性质二、多项式函数的有关性质1. 定理定理7 是是 的根的根 ( )f x()|( ).xf x 推论推论: 例例1 求求 在在 处的函数值处的函数值. 42( )49f xxxx3x 法一：法一：把把 代入代入 求求 3x ( ),f x( 3).f

23、用用 去除去除 所得余数就是所得余数就是 3x ( ),f x( 3).f 法二：法二：( 3)69 .f 答案：答案：若若 是是 的的 重因式，重因式， 则称则称 为为x ( )f xk 的重根的重根.( )f xk当当 时，称时，称 为为 的单根的单根 1k ( )f x当当 时，称时，称 为为 的重根的重根 1k ( )f x2. 2. 多项式函数的多项式函数的k k 重根重根定义定义注：注： 是是 的重根的重根 是是 的重因式的重因式 ( )f xx ( )f x 有重根有重根 必有重因式必有重因式( )f x( )f x反之不然，即有重因式未必反之不然，即有重因式未必 有重根有重根(

24、 )f x( )f x22( )(1) ,f xxR x例如，例如，为为 的重因式，但在的重因式，但在R上上 没有根没有根 ( )f x( )f x21x 3. 定理定理8 (根的个数定理根的个数定理)任一任一 中的中的 次多项式次多项式 在在 中的根中的根 P xn(0),n P不可能多于不可能多于 个，重根按重数计算个，重根按重数计算 n4. 定理定理9且且 ( ), ( ) ,f xg xP x ( ) ,( ),f xg xn若有若有 使使 121,nP ()(),1,2,1iifgin则则 ( )( ).f xg x 证：证：设设 ( ) ,( )0f xP xf x 若若 即即 (

25、 )0,f x( )0,f xc ( )f xn时，由因式分解及唯一性定理，时，由因式分解及唯一性定理，( )f x可分解成不可约多项式的乘积，可分解成不可约多项式的乘积，由推论，由推论， 的根的个数等于的根的个数等于 分解式中分解式中( )f x( )f x一次因式的个数，重根按重数计算，且此数一次因式的个数，重根按重数计算，且此数 .n 此时对此时对 有有,P ( )0.fc 即即 有有0个根个根.( )f x证：证：令令 则有则有 ( )( )( ),h xf xg x()0,1,2,1,ihin 由定理，若由定理，若 的话，则的话，则 ( )0h x ( ).h xn矛盾矛盾所以，所以

26、，( )0,h x 即即 有有 ( )h x121,1nn 个根，个根，( )( ).f xg x 即即解：解：例例2求求 t 值，使值，使32( )31f xxxtx有重根有重根3231xxtx236xxt( )f x( )fx 13x32132xxtx2231xtx13 2132xxt21133(2)(1)( )txtr x3133,( )21ttr xx 32x154 2323xx 152xt151524x154t 1i)( )0,r x 若若即即3,t 则则 213( ),( )( )(1) ,f xfxfxx此时，有重根，此时，有重根，( )f x为为 的三重根的三重根( )f x1

27、x 1514ii)( )0,0,r xt若若即即154,t 则则 12( ),( )f xfxx 此时，有重根，此时，有重根，( )f x为为 的二重根的二重根( )f x12x 例例3举例说明下面命题是不对的举例说明下面命题是不对的 ( )( )1fxnf xn是是的的 重重根根是是的的重重根根解：解：令令 则则321( )5,3f xxxx22( )21(1) ,fxxxx但但 1( 1)1150,3f 是是 的的2重根，重根， ( )fx1x 1不是不是 的根，从而不是的根，从而不是 的的3重根重根 ( )f x( )f x例例4 若若 求求 242(1) |1,xAxBx,.A B解：

28、解：242(1) |1xAxBx从而，从而，1为为 的根的根 ( )fx于是有，于是有， (1)10(1)420fABfAB 42( )1f xAxBx1为为 的重根，的重根，12AB 1. 1. 代数基本定理代数基本定理一、复系数多项式一、复系数多项式 若若 则则 在复数域在复数域( ) ,f xC x( ( )1,f x( )f x上必有一根上必有一根 C推论推论1 1( ) ,f xC x( ( )1,f x若若则存在则存在 ,xaC x()|( ).xaf x 使使即，即，( )f x在复数域上必有一个一次因式在复数域上必有一个一次因式推论推论2 2复数域上的不可约多项式只有一次多项式

29、，即复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即 则则 可约可约 ( ) ,f xC x( ( )1,f x( )f x2. 2. 复系数多项式因式分解复系数多项式因式分解定理定理若若 则则 在复数域在复数域( ) ,f xC x( ( )1,f x( )f xC上可唯一分解成一次因式的乘积上可唯一分解成一次因式的乘积 推论推论1 1推论推论2 2若若 则则 在在 ( ) ,f xC x( ( )1,f x( )f xC1212( )() ()()srrrsf xa xxx12,Zsr rr+ +, ,其中其中 是不同的复数，是不同的复数， 12,s 上具有标准分解式上具有标准分解式复根（重根按重

30、数计算复根（重根按重数计算） 若若 ，则，则 有有n个个( ) f xC x，( ( )f xn( )f x二、实系数多项式二、实系数多项式 命题：命题：若若 是实系数多项式是实系数多项式 的复根，则的复根，则 的共轭复数的共轭复数 也是也是 的复根的复根 ( )f x ( )f x若若 为根，则为根，则 110( )0nnnnfaaa 两边取共轭有两边取共轭有 也是为也是为 复根复根 ( )f x110( )0nnnnfaaa 证：证：110( ),nnnnif xa xaxaaR 设设实系数多项式因式分解定理实系数多项式因式分解定理 ，若，若 ， 则则 可唯一可唯一地分解成一次因式与二次不

31、可约因式的乘积地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积 ( ) f xR x( ( )1f x( )f x证：证：对对 的次数作数学归纳的次数作数学归纳( )f x 时，结论显然成立时，结论显然成立. . ( ( )1f x 假设对次数假设对次数n的多项式结论成立的多项式结论成立设设 ，由代数基本定理，由代数基本定理, 有一复根有一复根 ( ( )f xn( )f x 若若 为实数为实数, , 则则 ，其中，其中 1( )()( )f xxfx 1()1.fn若若 不为实数，则不为实数，则 也是也是 的复根，于是的复根，于是 ( )f x222( )()()( )()( )f xxxfxxxfx

32、设设 ，则，则 abi ,abi 22abR 即在即在R上上 是是 一个二次不可约多项式一个二次不可约多项式2()xx2aR ,从而从而 2()2.fn 由归纳假设由归纳假设 、 可分解成一次因式与二次可分解成一次因式与二次1( )fx2( )fx不可约多项式的乘积不可约多项式的乘积 由归纳原理，定理得证由归纳原理，定理得证 在在R上具有标准分解式上具有标准分解式( ) ,f xR x( )f x12121211( )() ()() ()skkkknsf xaxcxcxcxp xq推论推论11211,srrc ccpp qqR 其中其中11, ,sskk llZ 且且 ，即，即 为为240,1

33、,2pqir2ixp xqiR上的不可约多项式上的不可约多项式. 2()rkrrxp xq推论推论2 实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二例例1 1求求 在在 上与在上与在 上的标准分解式上的标准分解式. . 1nx CR1)1)在复数范围内在复数范围内 有有n n个复根，个复根，1nx 次不可约多项式，所有次数次不可约多项式，所有次数3 3的多项式皆可约的多项式皆可约. . 解：解：211,n 22cossin,1ninn22cossin,1,2,kkkiknnn 211(1)()()()nnxxxxx 2)在实数域范围内在实数域范围内这里这里

34、,kn k 22cos1, kkkkkn 1, 2,kn当当n为奇数时为奇数时 2111(1)()nnnxxxx111122222()nnnnxx2221(1)(2 cos1)2 cos1nxxxxxnn 当当n为偶数时为偶数时 2111(1)(1)()nnnxxxxx222222222()nnnnxx2222(1)(1)(2 cos1)2 cos1nxxxxxxnn 问题的引入问题的引入 1. 1. 由因式分解定理，作为一个特殊情形：由因式分解定理，作为一个特殊情形：对对 则则 可唯一分解可唯一分解 ( ) ,( )1,f xQ xf x( )f x成不可约的有理系数多项式的积成不可约的有理

35、系数多项式的积. .但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个一般的方法一般的方法. . 2. 我们知道，在我们知道，在 上只有一次多项式才是不可约上只有一次多项式才是不可约 C多项式；多项式；在在 上，不可约多项式只有一次多项式与某些上，不可约多项式只有一次多项式与某些R二次多项式；二次多项式；但在但在 上有任意次数的不可约多项式如上有任意次数的不可约多项式如 Q2,.nxnZ 如何判断如何判断 上多项式的不可约性呢上多项式的不可约性呢? Q3. 3. 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题 这是因为任一有理

36、数可表成两个整数的商这是因为任一有理数可表成两个整数的商110( ),nnnnf xa xaxa 事实上，设事实上，设 则可选取适当整数则可选取适当整数 , c使使 为整系数多项式为整系数多项式( )cf x( )( ),cf xdg x ( )cf x若若 的各项系数有公因子，就可以提出来，得的各项系数有公因子，就可以提出来，得 也即也即 ( )( ),df xg xc 其中其中 是整系数多项式，且各项系数没有异于是整系数多项式，且各项系数没有异于 ( )g x的公因子的公因子 1 一、本原多项式一、本原多项式 设设 1110( )0,nnnng xb xbxb xb 定义定义,0,1,2,

37、 .ibZin若若 没有没有110,nnb bb b 则称则称 为为本原多项式本原多项式( )g x异于异于 的公因子，即的公因子，即110,nnb bb b 1 是互素的，是互素的，性质性质1 ( ) ,f xQ xrQ 使使( )( ),f xrg x 其中其中 为本原多项式为本原多项式( )g x（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的） 2Gauss引理引理定理定理1010 两个本原多项式的积仍是本原多项式两个本原多项式的积仍是本原多项式设设 110( ),nnnnf xa xaxa 110( )mmmmg xb xbxb 是两个本原多项式

38、是两个本原多项式110( )( ) ( )n mn mn mn mh xf x g xdxdxd若若 不是本原的，则存在素数不是本原的，则存在素数 ( )h x, p证：证：|,0,1,.rp drnm又又 是本原多项式，所以是本原多项式，所以 不能整除不能整除 的的( )f xp( )f x每一个系数每一个系数反证法反证法令令 为为 中第一个不能被中第一个不能被 整除的数，即整除的数，即 ia01,na aap01|,.|iip ap apa 同理，同理， 本原，令本原，令 为为 中第一个不能被中第一个不能被 ( )g xjb0,mbbp整除的数，即整除的数，即 011|,|,|,.jjp

39、bp bp bpb 又又11,ijijijda bab矛盾矛盾11|,|,|ijijijp dpa bp ab在这里在这里 故是本原的故是本原的( )h x定理定理1111若一非零的整系数多项式可分解成两若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积成两个次数较低的整系数多项式的乘积二、整系数多项式的因式分解二、整系数多项式的因式分解 设整系数多项式设整系数多项式 有分解式有分解式( )f x( )( ) ( )f xg x h x 其中其中 且且 ( ), ( ) ,g x h xQ x

40、( ) ,( )( ) .g xh xf x 证：证：令令 111( )( ),( )( ),( )( )f xa fxg xrgxh xsh x这里，这里， 皆为本原多项式，皆为本原多项式， 111( ),( ),( )fxgx h x,aZ ,.r sQ 于是于是 111( )( )( ).a fxrsgx h x 由定理由定理10， 本原，本原，11( )( )gx h x即即.rsZ 11( )( )( ).f xrsgxh x,ars 从而有从而有 得证得证 设设 是整系数多项式，且是整系数多项式，且 是本原是本原( ), ( )f xg x( )g x推论推论的，若的，若 则则(

41、)( ) ( ),( ) ,f xg x h xh xQ x( )h x必为整系数多项式必为整系数多项式 令令 11( )( ),( )( ),f xa fxh xch x11( ),( )fx h x本原，本原，111( )( )( )( )( )a fxg x ch xcg x h x即即 .cZ 1( )( )h xch x为整系数多项式为整系数多项式 证：证：,aZ cQ于是有，于是有，,ca 定理定理12 设设1110( )nnnnf xa xaxa xa 是一个整系数多项式，而是一个整系数多项式，而 是它的一个有理根，是它的一个有理根， rs其中其中 是互素的，则必有是互素的，则必

42、有 , r s0|,|.ns ar a是是 的有理根，的有理根，rs( )f x从而从而 ()|( ).sxrf x 又又 互素，互素，, r s1110( )()()nnf xsxr bxb xb ,0,1,1.ibZin比较两端系数，得比较两端系数，得 证：证：()|( ),rxf xs 在有理数域上，在有理数域上，由上推论，有由上推论，有sxr本原本原100,.nnasbarb 所以，所以， |,| .ns ar a定理定理12是判断整系数多项式有理根的一个必要条件，是判断整系数多项式有理根的一个必要条件， 而非充分条件而非充分条件例例1求方程求方程 的有理根的有理根.432230 xx

43、x可能有理根为可能有理根为131,3,22用综合除法可知，只有用综合除法可知，只有1为根为根 注意注意解：解：例例2 证明证明: 在在 上不可约上不可约 3( )51f xxxQ若若 可约，可约， ( )f x但但 的有理根只可能是的有理根只可能是( )f x1, 所以所以 不可约不可约( )f x证：证：则则 至少有一个一次因式，至少有一个一次因式，( )f x也即有一个有理根也即有一个有理根而而 (1)3,f ( 1)5.f 矛盾矛盾 定理定理1313 艾森斯坦因艾森斯坦因EisensteinEisenstein判别法判别法设设 1110( ),nnnnf xa xaxa xa 是一个整系

44、数多项式，若有一个素数是一个整系数多项式，若有一个素数 使得使得, p1|npa 1202|,nnp aaa 203|pa 则则 在有理数域上是不可约的在有理数域上是不可约的( )f x若若 在在 上可约，由定理上可约，由定理11，( )f xQ( )f x可分解为两次数较低的整系数多项式积可分解为两次数较低的整系数多项式积 111010( )()()llmmllmmf xb xbxbc xcxc,ijb cZl mnlmn证：证：00 0,.nlmabcab c0|,p a又又20|,pa不妨设不妨设 但但 0|p b0|.pc0|p b0|,p c或或00,.bcp不能同时整除不能同时整除

45、 另一方面，另一方面，|.npa假设假设 中第一个不能被中第一个不能被 整除的数为整除的数为 01,lb bbp,kb比较两端比较两端 的系数，得的系数，得 kx01 10kkkkab cbcb c 上式中上式中 皆能被整除，皆能被整除， 10,kkabb p矛盾矛盾0|.kp bp c或或|,|.lmpbpc0|kp b c故不可约故不可约( )f x例例3证明：证明： 在在 上不可约上不可约 2nx Q证：（令证：（令 即可）即可） 2p ( (可见存在任意次数的不可约有理系数多项式可见存在任意次数的不可约有理系数多项式) )例例4判断判断23( )1,2!3!pxxxf xxp（为素数）

46、在（为素数）在 上是否可约上是否可约Qp令令 ( )! ( ),g xp f x 21!( )!,2(1)!ppppg xpp xxxxp 则则 为整系数多项式为整系数多项式 ( )g x!| 1,|, !,(1)! (2)!ppppppp, ,但但 2|!,pp解：解：( )g x在在 上不可约，上不可约，Q从而从而 在在 上不可约上不可约( )f xQ即即 Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而判别法是判断不可约的充分条件，而 非必要条件非必要条件注意注意也就是说，如果一个整系数多项式也就是说，如果一个整系数多项式不满足不满足Eisenstein判别法条件，则它可能是可约的，

47、判别法条件，则它可能是可约的，也可能是不可约的也可能是不可约的 有些整系数多项式有些整系数多项式 不能直接用不能直接用Eisenstein判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的代换使满足代换使满足Eisenstein判别法条件，从而来判定原多项式判别法条件，从而来判定原多项式不可约不可约( )f x( ,0),axb a bZ a()( )f aybg y( )f x有理系数多项式有理系数多项式 在有理系数上不可约在有理系数上不可约( )f x命题命题在有理数域上不可约在有理数域上不可约,(0),a bQ a对对( )()g xf axb多项式

48、多项式例例5证明：证明： 在在 上不可约上不可约 2( )1f xxQ取取 2,p 证：证：1,xy作变换作变换2( )22,f xyy则则在上不可约，在上不可约，222yy所以所以 在上不可约在上不可约( )f x由由Eisenstein判别法知，判别法知，对于许多对于许多 上的多项式来说，作适当线性代换后上的多项式来说，作适当线性代换后Q再用再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的判别法判定它是否可约是一个较好的多项式无论作怎样的代换都不能多项式无论作怎样的代换都不能 ( ),f x,xayb使使 满足爱森斯坦因判别法的条件，满足爱森斯坦因判别法的条件， ()( )f ay

49、bg y即找不到相应的素数即找不到相应的素数 . p说明说明：办法，但未必总是凑效的也就是说，存在办法，但未必总是凑效的也就是说，存在 上的上的Q如，如， 3( )1.f xxx一、一、n n 元多项式概念元多项式概念设设 为一个数域，为一个数域， 是是 个文字个文字, 形式形式 P12,nx xxn1212,1,2, ,nkkkniaxxxaPkZin 1.1.n元多项式元多项式时，称此单项式中各文字的指数之和时，称此单项式中各文字的指数之和0a 称为数域上的一个称为数域上的一个单项式单项式；P12nkkk为这个单项式的为这个单项式的次数次数； 有限个单项式的和有限个单项式的和 121 21

50、 21212(,)nnk kknkkknk kknf x xxaxxx n元多项式中系数不为元多项式中系数不为零零的单项式的最高次数称的单项式的最高次数称称为数域称为数域 上的一个上的一个 元多项式元多项式；nP为这个多项式的为这个多项式的次数次数如果两单项式中相同文字的指数对应相等，则称如果两单项式中相同文字的指数对应相等，则称它们为它们为同类项同类项；的集合称为数域的集合称为数域 上的上的 元多项式环元多项式环，记作，记作 Pn12,.nP x xx4.4.n元多项式环元多项式环数域数域 上关于文字上关于文字 的全体的全体 元多项式元多项式Pn12,nx xx加法减法乘法加法减法乘法2.

51、.n元多项式的运算元多项式的运算3. .n元多项式的相等元多项式的相等121 21 21212(,)nnk kknkkknk kknf x xxaxxx 中的两个单项式中的两个单项式1212,nkkkna xxx1212,nlllnbxxx任取任取n元多项式元多项式5. .n元多项式的字典排列法元多项式的字典排列法若有某个若有某个 使使1,in1122110,0iiiiklklklkl（1）（此时也称数组此时也称数组 先于先于 记作记作 12(,)nk kk12( ,),nl ll 1212(,)( ,).nnk kkl ll 则在多项式（则在多项式（1）中，把单项式）中，把单项式 写在写在

52、1212nkkknaxxx的前面的前面 1212nlllnbxxx将将n元多项式中各单项式按元多项式中各单项式按当当n1时，字典排列法即为降幂排列法时，字典排列法即为降幂排列法 这种先后次序排列的方法称为这种先后次序排列的方法称为字典排列法字典排列法 按字典排列法写出的第一个系数不为零的单项式按字典排列法写出的第一个系数不为零的单项式称为多项式的称为多项式的首项首项 注意：注意：例如，例如， 2223123123121(,)2f x xxx x xx xx的次数为的次数为5，f32221121232,xx xx x x31.x首项为首项为 多元多项式的首项未是最高次项多元多项式的首项未是最高次

53、项 定理定理14 当当 时时, 11(,)0,(,)0nnf xxg xx积积 的首项等于的首项等于 11(,) (,)nnf xxg xx1(,)nf xx的首项与的首项与 的首项的积的首项的积 1(,)ng xx推论推论1若若 则积则积 1(,)0,1,2,inf xxim12mf ff的首项等于的首项等于 的首项的积的首项的积12,mfff二、有关性质二、有关性质推论推论2若若 则则 11(,)0,(,)0,nnf xxg xx11(,) (,)0.nnf xxg xx 若多项式若多项式 121 21 21212(,)nnk kknkkknk kknf x xxaxxx 12(,)nf

54、x xx为为m次齐次多项式次齐次多项式 中每个单项式全是中每个单项式全是m次的，则称次的，则称 三、齐次多项式三、齐次多项式定义定义1两个齐次多项式的积仍然是齐次多项式；两个齐次多项式的积仍然是齐次多项式； 积的次数等于这两个齐次多项式的次数之和积的次数等于这两个齐次多项式的次数之和 2任一任一 次多项式次多项式 都可唯一地表成都可唯一地表成m1(,)nf xx111(,)(,),mninif xxf xx 其中其中 是是 次齐次多项式，称之为次齐次多项式，称之为 1(,)inf xxi的的 次齐次成分次齐次成分1(,)nf xxi性质性质111(,)(,)(,)kninjnij khxxf

55、xxgxx 特别地，特别地， 111(,)(,)(,).m lnmnlnhxxfxxg xx 4 积的次数因子的次数之和积的次数因子的次数之和3 设设 111(,)(,),mninif xxf xx 的的 次齐次成分为次齐次成分为 k则积则积111(,)(,) (,)nnnh xxf xxg xx 111(,)(,),lninig xxg xx 四、四、n 元多项式函数元多项式函数 与一元多项式一样我们可以定义与一元多项式一样我们可以定义n元多项式函数、元多项式函数、 函数值等概念函数值等概念韦达定理韦达定理设设 1212( ) nnnnf xxa xa xaP x若若 在在 上有上有 个根个

56、根 ，则，则( )f x12,n nP12( )()()()nf xxxx 把展开，与比较，即得根与系数的关系：把展开，与比较，即得根与系数的关系： 一、一、一一 元多项式根与系数的关系元多项式根与系数的关系1211221213112( 1)( 1)innniikkknnnaaaa （所有可能的（所有可能的 i 个不同的个不同的 的积之和）的积之和）jka，特别地特别地 ， 为其根，为其根，20(0)axbxca12,x x1212,bcxxx xaa 则有则有二二 、n 元对称多项式元对称多项式定义定义设设 ，112(,),nnf xxP x xx 若对任意若对任意 ，有，有,(1,)i j

57、i jn11(,)(,)jnijinf xxxxfxxxx 则称该多项式为则称该多项式为对称多项式对称多项式 如，如，333123123(,)f x xxxxx下列下列n个多项式个多项式11221213112nnnnnxxxx xx xxxx xx 称为称为 个未定元个未定元 的的初等对称多项式初等对称多项式n12,nx xx1对称多项式的和、积仍是对称多项式；对称多项式的和、积仍是对称多项式；对称多项式的多项式仍为对称多项式对称多项式的多项式仍为对称多项式则则1212(,)(,)mng fffh x xx 是是 元对称多项式元对称多项式n特别地，初等对称多项式的多项式仍为对称多项式特别地，初

58、等对称多项式的多项式仍为对称多项式若若 为对称多项式，为对称多项式，1212,mnfffP x xx 为任一多项式，为任一多项式，12(,)mg yyy性质性质即，即，2对称多项式基本定理对称多项式基本定理对任一对称多项式对任一对称多项式 , 都有都有 n元多项式元多项式1(,)nf xx ,使得使得12(,)nyyy 112(,)(,)nnf xx 为初等对称多项式为初等对称多项式12,n 则必有则必有120nlll作对称多项式作对称多项式2312112nlllllna 设对称多项式设对称多项式按字典排列法的按字典排列法的1(,)nf xx1212,nlllnaxxx首项为首项为证明：证明：

59、231211212()()nlllllnaxx xx xx 再作对称多项式再作对称多项式1211112(,)nlllnnfff xxaxxx 则则 的首项为的首项为1 1212nlllnaxxx 则则 有比有比 较较“小小”的首项的首项f1f对对 重复上述作法，并依此下去重复上述作法，并依此下去. 1f即有一系列即有一系列对称多项式对称多项式11212, ,fffff它们的首项一个比一个它们的首项一个比一个“小小”，所以必终此在有限步，所以必终此在有限步故存在故存在 ，使，使hZ 10hhhff 于是于是12.hf这就是一个初等对称多项式的多项式这就是一个初等对称多项式的多项式上述证明过程实际上是上述证明过程实际上是逐步消去首项逐步消去首项.逐步消去首项法的一般步骤：逐步消去首项法的一般步骤：则一定有则一定有第一步第一步：找出对称多项式找出对称多项式 f 的首项的首