自适应控制课件

1、第二章第二章 自适应控制自适应控制自适应控制概述自适应控制概述 基本概念、基本概念、 解决的问题、解决的问题、 分类及发展分类及发展模型参考自适应控制模型参考自适应控制 系统描述系统描述 可调系统的结构可调系统的结构 自适应控制律自适应控制律自校正控制自校正控制 最小方差自校正控制器最小方差自校正控制器 极点配置自校正控制器极点配置自校正控制器 自校正自校正PIDPID控制控制2.1 2.1 自适应控制概述自适应控制概述 2.1.1 2.1.1 自适应控制系统的功能及特点自适应控制系统的功能及特点研究对象：具有不确定性的系统研究对象：具有不确定性的系统 被控对象及其环境的数学模型不是完全确定的

2、被控对象及其环境的数学模型不是完全确定的 自适应控制器自适应控制器：通过：通过及时修正自己的特性以适应对象和扰动的动态特性变化及时修正自己的特性以适应对象和扰动的动态特性变化，使整个控制系统始终获得满意的性能。使整个控制系统始终获得满意的性能。 生物能够通过自觉调整自身参数改变自己的习性，以适应新的环境特性生物能够通过自觉调整自身参数改变自己的习性，以适应新的环境特性 自适应控制的特点：自适应控制的特点： 研究具有不确定性的对象或难以确知的对象研究具有不确定性的对象或难以确知的对象 能消除系统结构扰动引起的系统误差能消除系统结构扰动引起的系统误差 对数学模型的依赖很小，仅需要较少的验前知识对数

3、学模型的依赖很小，仅需要较少的验前知识 自适应控制是较为复杂的反馈控制自适应控制是较为复杂的反馈控制 2.1 2.1 自适应控制概述自适应控制概述 2.1.2 2.1.2 自适应控制系统的分类自适应控制系统的分类（1 1）前馈自适应控制）前馈自适应控制前馈自适应控制结构图前馈自适应控制结构图 与前馈反馈复合控制系统的结构比较类似与前馈反馈复合控制系统的结构比较类似 不同在于：增加了自适应机构，并且控制器可调不同在于：增加了自适应机构，并且控制器可调 借助于借助于过程扰动信号过程扰动信号的测量，通过的测量，通过自适应机构自适应机构来来改变控制器的状态改变控制器的状态，从而达到，从而达到改变系统特

4、性的目的。改变系统特性的目的。 当扰动不可测时，当扰动不可测时，前馈自适应控制系统的前馈自适应控制系统的应用就会受到严重的限应用就会受到严重的限制。制。 2.1 2.1 自适应控制概述自适应控制概述 2.1.2 2.1.2 自适应控制系统的分类自适应控制系统的分类（2 2）反馈自适应控制）反馈自适应控制反馈自适应控制结构图反馈自适应控制结构图 根据根据系统内部可测信息系统内部可测信息的变化，来改变控制器的结构或参数，以达到提高控的变化，来改变控制器的结构或参数，以达到提高控制质量的目的制质量的目的. . 除原有的反馈回路之外，反馈自适应控制系统中新增加的自适应机构形成了另除原有的反馈回路之外，

5、反馈自适应控制系统中新增加的自适应机构形成了另一个反馈回路一个反馈回路. . 2.1 2.1 自适应控制概述自适应控制概述 2.1.2 2.1.2 自适应控制系统的分类自适应控制系统的分类（3 3） 模型参考自适应控制模型参考自适应控制（MRAC） 在参考模型始终具有期望的闭环性能的前提下，使系统在运行过程中，力求保持在参考模型始终具有期望的闭环性能的前提下，使系统在运行过程中，力求保持被控过程的响应特性与参考模型的动态性能一致。被控过程的响应特性与参考模型的动态性能一致。 表达了期望的闭环性能表达了期望的闭环性能结构或参数结构或参数 根据系统广义误差根据系统广义误差 , 按照按照一定的规律改

6、变可调机构的结构或参数。一定的规律改变可调机构的结构或参数。 )(te主要组成：主要组成： 参考模型参考模型 可调机构可调机构 自适应机构自适应机构 模型参考自适应控制系统结构图模型参考自适应控制系统结构图（4 4）自校正控制）自校正控制2.1 2.1 自适应控制概述自适应控制概述 2.1.2 2.1.2 自适应控制系统的分类自适应控制系统的分类自校正控制系统结构图自校正控制系统结构图自校正控制系统又称自校正控制系统又称自优化控制自优化控制或或模型辨识自适应控制模型辨识自适应控制。 通过采集的过程输入、输出信息，实现过程模型的在线辨识和参数估计。通过采集的过程输入、输出信息，实现过程模型的在线

7、辨识和参数估计。在获得的过程模型或估计参数的基础上，按照一定的性能优化准则，计算控在获得的过程模型或估计参数的基础上，按照一定的性能优化准则，计算控制参数，使得闭环系统能够达到最优的控制品质。制参数，使得闭环系统能够达到最优的控制品质。 2.2 2.2 模型参考自适应控制模型参考自适应控制2.2.1 2.2.1 模型参考自适应控制的数学描述模型参考自适应控制的数学描述模型参考自适应控制系统由模型参考自适应控制系统由参考模型参考模型、可调系统可调系统和和自适应机构自适应机构三部分组成三部分组成. 理想模型理想模型 根据系统广义误差根据系统广义误差 , 按照按照一定的规律改变可调系统的结构或参数。

8、一定的规律改变可调系统的结构或参数。 )(te 参考模型参考模型主要组成：主要组成： 可调机构可调机构 自适应机构自适应机构 xxemx状态误差向量状态误差向量 输出误差向量输出误差向量 yyemy 参考模型与可调系统间的参考模型与可调系统间的一致性程度表达一致性程度表达： 目的目的：保证参考模型和可调系统间：保证参考模型和可调系统间 的性能一致性。的性能一致性。 参考模型的状态和输出参考模型的状态和输出系统的状态和输出系统的状态和输出模型参考自适应控制系统结构图模型参考自适应控制系统结构图 广义误差向量广义误差向量 不为不为0 0时，自适应机构按照一定规律改变可调机构的结构或参时，自适应机构

9、按照一定规律改变可调机构的结构或参数或直接改变被控对象的输入信号，以使得系统的性能指标达到或接近希望的性能数或直接改变被控对象的输入信号，以使得系统的性能指标达到或接近希望的性能指标。指标。e2.2 2.2 模型参考自适应控制模型参考自适应控制2.2.1 2.2.1 模型参考自适应控制的数学描述模型参考自适应控制的数学描述参数自适应方案：通过更新参数自适应方案：通过更新可调机构的参数可调机构的参数来实现的模型参考自适应控制。来实现的模型参考自适应控制。 信号综合自适应方案：通过改变施加到信号综合自适应方案：通过改变施加到系统的输入端信号系统的输入端信号来实现的模型参考自适应来实现的模型参考自适

10、应 控制。控制。 模型参考自适应控制系统结构图模型参考自适应控制系统结构图2.2.1 2.2.1 模型参考自适应控制的数学描述模型参考自适应控制的数学描述2.2.1.1 2.2.1.1 并联模型参考自适应系统的数学模型并联模型参考自适应系统的数学模型并联模型参考自适应系统可以用并联模型参考自适应系统可以用状态方程状态方程和和输入输出方程输入输出方程进行描述。进行描述。一、用状态方程描述的模型参考自适应系统一、用状态方程描述的模型参考自适应系统 0)0(,mmmmmmxxuBxAx(2.1) 参考模型：参考模型： n维状态向量维状态向量m维分段连续的输入向量维分段连续的输入向量相应维数常数矩阵相

11、应维数常数矩阵 参考模型为稳定的，并且是完全可控和完全可观测的。参考模型为稳定的，并且是完全可控和完全可观测的。 在在可调参数可调参数模型参考自适应系统中，可调系统模型参考自适应系统中，可调系统 000)0(,)0(,)0(),(),(BBAAxxueBxeAxtt(2.2) 相应维数时变矩阵相应维数时变矩阵 n维状态向量维状态向量m维分段连续的输入向量维分段连续的输入向量xxem为广义误差向量为广义误差向量 对于对于连续模型连续模型参考自适应控制系统参考自适应控制系统 一、用状态方程描述的模型参考自适应系统一、用状态方程描述的模型参考自适应系统 2.2.1.1 2.2.1.1 并联模型参考自

12、适应系统的数学模型并联模型参考自适应系统的数学模型对于信号综合自适应方案的模型参考自适应系统中，系统模型对于信号综合自适应方案的模型参考自适应系统中，系统模型0)0(,)0(),(0aaatuuxxeuBuAxx(2.3) 根据广义误差信号，按照一定的自适应规律产生的根据广义误差信号，按照一定的自适应规律产生的 对于对于离散模型离散模型参考自适应控制系统参考自适应控制系统 0)0(),()() 1(mmmmmmkkkxxuBxAx(2.4) 参考模型参考模型 可调系统的参数自适应方案的系统模型可调系统的参数自适应方案的系统模型 000)0(,)0(,)0()(),()(),() 1(BBAAx

13、xueBxeAxkkkkk(2.5) 0)0(,)0(),()()() 1(0aaakkkkuuxxeuBuAxx(2.6) 信号综合自适应方案的系统模型信号综合自适应方案的系统模型二、用输入输出方程描述的模型参考自适应系统二、用输入输出方程描述的模型参考自适应系统2.2.1.1 2.2.1.1 并联模型参考自适应系统的数学模型并联模型参考自适应系统的数学模型参考模型参考模型 对于连续系统一般对于连续系统一般采用微分算子的形式采用微分算子的形式表示表示 rpNypDmmm)()(2.7) niimimpapD0)(2.8) miimimpbpN0)(2.9) 标量输入信号标量输入信号 标量输出

14、信号标量输出信号 参考模型的输入输出方程的常系数参考模型的输入输出方程的常系数 在在参数自适应方案参数自适应方案中，可调系统的输入输出方程中，可调系统的输入输出方程 rptNyptDsss),(),(2.10) niisispteaptD0),(),(miisisptebptN0),(),(2.11) (2.12) 时变系数时变系数 由广义误差由广义误差 通过自适应规律进行自适通过自适应规律进行自适应调整应调整smyye微分算子微分算子 二、用输入输出方程描述的模型参考自适应系统二、用输入输出方程描述的模型参考自适应系统2.2.1.1 2.2.1.1 并联模型参考自适应系统的数学模型并联模型参

15、考自适应系统的数学模型在在信号综合自适应方案信号综合自适应方案中，可调系统的输入输出方程为中，可调系统的输入输出方程为 ),()()(teurpNypDsss(2.13) niisispapD0)(miisispbpN0)(2.14) (2.15) 对于对于离散模型离散模型参考自适应控制系统输入输出方程可用下述几式描述参考自适应控制系统输入输出方程可用下述几式描述 参考模型参考模型 ) 1()()()(01kikrbikyakymTmmiminimmim(2.16) ,1021mnmmmnmmTmbbbaaa)(,),(),(,),1() 1(mkrkrnkykykmmTm(2.17) (2.

16、18) 参数向量参数向量 信号向量信号向量 在参数自适应方案中，可调系统模型为在参数自适应方案中，可调系统模型为) 1()(),()(),()(01kikrkebikykeakysTsmisinissis (2.19) ),(,),(),(),(,),(),(1021kebkebkebkeakeakeasnsssnssTs)(,),(),(,),1() 1(mkrkrnkykykssTs (2.20) (2.21) 可调参数向量可调参数向量 信号向量信号向量 模型参考自适应系统模型参考自适应系统状态方程状态方程描述对比描述对比连续连续模型参考自适应系统模型参考自适应系统0)0(,mmmmmmx

17、xuBxAx(2.1) 参考模型：参考模型： 000)0(,)0(,)0(),(),(BBAAxxueBxeAxtt(2.2) 在可调在可调参数参数模型参考自适应系统中，可调系统模型参考自适应系统中，可调系统 对于对于信号信号综合自适应方案的模型参考自适应系统中，系统模型综合自适应方案的模型参考自适应系统中，系统模型0)0(,)0(),(0aaatuuxxeuBuAxx(2.3) 离散离散模型参考自适应系统模型参考自适应系统0)0(),()() 1(mmmmmmkkkxxuBxAx(2.4) 参考模型参考模型 可调系统的可调系统的参数参数自适应方案的系统模型自适应方案的系统模型 000)0(,

18、)0(,)0()(),()(),() 1(BBAAxxueBxeAxkkkkk(2.5) 0)0(,)0(),()()() 1(0aaakkkkuuxxeuBuAxx(2.6) 信号信号综合自适应方案的系统模型综合自适应方案的系统模型模型参考自适应系统模型参考自适应系统输入输出方程输入输出方程描述对比描述对比连续连续模型参考自适应系统模型参考自适应系统参考模型：参考模型： 在可调参数模型参考自适应系统中，可调系统在可调参数模型参考自适应系统中，可调系统 对于信号综合自适应方案的模型参考自适应系统中，系统模型对于信号综合自适应方案的模型参考自适应系统中，系统模型离散离散模型参考自适应系统模型参考

19、自适应系统rpNypDmmm)()(2.7) niimimpapD0)(miimimpbpN0)(rptNyptDsss),(),(2.10) niisispteaptD0),(),(miisisptebptN0),(),(),()()(teurpNypDsss(2.13) niisispapD0)(miisispbpN0)(参考模型参考模型 ) 1()()()(01kikrbikyakymTmmiminimmim(2.16) ,1021mnmmmnmmTmbbbaaa)(,),(),(,),1() 1(mkrkrnkykykmmTm在参数自适应方案中，可调系统模型为在参数自适应方案中，可调系

20、统模型为),(,),(),(),(,),(),(1021kebkebkebkeakeakeasnsssnssTs)(,),(),(,),1() 1(mkrkrnkykykssTs) 1()(),()(),()(01kikrkebikykeakysTsmisinissis (2.19) 2.2.1.2 2.2.1.2 模型参考自适应系统的设计要求模型参考自适应系统的设计要求2.2.1 2.2.1 模型参考自适应控制的数学描述模型参考自适应控制的数学描述 模型参考自适应控制系统的设计目标是模型参考自适应控制系统的设计目标是：对给定的参考模型和可调系统，：对给定的参考模型和可调系统，确确定一个特定的

21、自适应规律定一个特定的自适应规律，以使广义误差向量，以使广义误差向量 或广义输出误差或广义输出误差 按照这一特定按照这一特定的自适应规律来的自适应规律来调整参数矩阵调整参数矩阵 和和 ，或，或可调参数可调参数 和和 ，或或辅助信号辅助信号 和和 , ,在系统稳定情况下，这种调节作用使得广义误差向量在系统稳定情况下，这种调节作用使得广义误差向量 ( (广义输出误差广义输出误差) )逐渐趋向零值。逐渐趋向零值。 ),(teA),(teB),( teasi),( tebsie),(taeu),( teue状态方程描述的模型参考自适应规律状态方程描述的模型参考自适应规律 )0(),(),(AeFeAt

22、t(2.22) )0(),(),(aattueueu(2.24) )0(),(),(BeGeBtt(2.23) (2.25) ),(),(),(201tvdtvttFFeF(2.26) ),(),(),(201tvdtvttGGeG(2.27) ),(),(),(201tvdtvttuueut0其中其中 ，且，且DevD 式中，式中， ，矩阵，矩阵 称为称为线性补偿器线性补偿器，它的作用是为了，它的作用是为了满足系统稳定满足系统稳定性所需附加的补偿条件性所需附加的补偿条件。 2.2.1.3 2.2.1.3 模型参考自适应系统的等价误差系统模型参考自适应系统的等价误差系统2.2.1 2.2.1

23、模型参考自适应控制的数学描述模型参考自适应控制的数学描述等价误差系统：等价误差系统：用误差向量 作为状态变量的来表示模型参考自适应系统. e在以状态方程描述的参数自适应方案中，等价系统的状态向量是 )()()(tttmxxe000)0(,)0(,)0(),(),(BBAAxxueBxeAxtt(2.2) 0)0(,mmmmmmxxuBxAx(2.1) 参考模型： 可调系统模型： 状态方程描述的参数自适应方案 )(),()(),()()()()(ttttttttmmmmueBBxeAAeAxxe等价误差系统：等价误差系统：非线性时变反馈系统非线性时变反馈系统 线性部分非线性部分 模型参考自适应控

24、制系统的设计目标是模型参考自适应控制系统的设计目标是使得广义误差向量使得广义误差向量 ( (广义输出误差广义输出误差) )逐渐逐渐趋向零值。趋向零值。2.2.1.3 2.2.1.3 模型参考自适应系统的等价误差系统模型参考自适应系统的等价误差系统2.2.1 2.2.1 模型参考自适应控制的数学描述模型参考自适应控制的数学描述)(),()(),()()()()(ttttttttmmmmueBBxeAAeAxxe同理：离散系统的等价误差方程为)(),()(),()() 1() 1() 1(kkkkkkkkmmmmueBBxeAAeAxxe模型参考自适应系统的等价误差系统示意图模型参考自适应系统的等

25、价误差系统示意图e 2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov稳定性理论的设计方法稳定性理论的设计方法2.2.2.1 2.2.2.1 稳定性的一般定义稳定性的一般定义 一个控制系统的稳定性，通常是指一个控制系统的稳定性，通常是指在外部扰动作用停止后，系统恢复初始平衡在外部扰动作用停止后，系统恢复初始平衡状态的性能。状态的性能。0),(texf00)(),(xxxfxtt(2.29) 某非线性系统的状态方程 若存在一状态向量 ,满足下式exex则 就是系统的一个平衡状态平衡状态。 在外力作用下，系统是依然处在这个平衡状态，还是离平衡状态越来越远，就是所要讨论的平衡状态的稳定

26、性问题平衡状态的稳定性问题。 如果系统受到有界扰动的作用，无论初始偏差多大，其过渡过程都将逐渐衰减逐渐衰减，并能以一定的准确度恢复到平衡状态，则称该系统具有稳定性系统具有稳定性，否则系统不稳定。 如果受到扰动作用后，系统在平衡状态附近平衡状态附近发生微小偏离，且随后系统的所有运动状态都处于平衡状态附近的小范围内，就称为系统的平衡状态是稳定平衡状态是稳定的。2.2.2.2 2.2.2.2 Lyapunov意义下的稳定性概念意义下的稳定性概念2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov稳定性理论的设计方法稳定性理论的设计方法00)(),(xxxfxtt(2.29) 非线性系统的

27、状态方程非线性系统的状态方程 二维情况下系统稳定性的几何解释二维情况下系统稳定性的几何解释 平衡状态是稳定的平衡状态是稳定的: : 平衡状态是不稳定的平衡状态是不稳定的: : 平衡状态是一致稳定的平衡状态是一致稳定的: : (a) (a) 平衡状态稳定平衡状态稳定 (a) (a) 平衡状态不稳定平衡状态不稳定 如式(2.29)描述的动态系统，若对任意给定的实数 ，存在另一个正数 ，使得当 的系统响应 在所有时间内都满足 ,则系统的平衡状态是稳定的。)()()0(exx)(txetxx )( 如果对于平衡点 和任意给定的邻域 ，找不到满足稳定条件的相对邻域 ，则系统在该平衡点是不稳定的，也称系统

28、是不稳定的。 ex)( 如果所取的邻域 和 与初始时刻 无关，即对于任意的初始时刻稳定条件不变，则称该平衡状态是一致稳定的。 )(0t二维情况下系统渐近稳定性的几何解释二维情况下系统渐近稳定性的几何解释 平衡状态是渐进稳定的：平衡状态是渐进稳定的： 2.2.2.2 2.2.2.2 Lyapunov意义下的稳定性概念意义下的稳定性概念2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov稳定性理论的设计方法稳定性理论的设计方法 式(2.29)描述的动态系统，如果系统的平衡状态 及初始点 的解 ，满足当 时，有 ，则称该平衡状态 是渐进稳定渐进稳定的。 ex0 x)(tx)()0(exx

29、0)(limettxxex平衡状态是一致渐进稳定的：平衡状态是一致渐进稳定的： 如果平衡状态 是渐进稳定的，且系统稳定性与初始时刻 无关，则称系统是一致渐近稳定一致渐近稳定的。 ex0t平衡状态是全局渐进稳定的平衡状态是全局渐进稳定的: : 如式(2.29)描述的动态系统，如果系统的平衡状态 ，对状态空间中所有的初始状态 ,都满足 ,则称平衡状态是全局渐进稳定的平衡状态是全局渐进稳定的。ex)0(x0)(limettxx00)(),(xxxfxtt(2.29) 2.2.2.3 2.2.2.3 Lyapunov稳定性定理稳定性定理2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov稳

30、定性理论的设计方法稳定性理论的设计方法如果以 代表能量，则物体从高能位向低能位的运动过程特征可以表示为： E00dtdEELyapunov虚构了一个以状态变量描述的能量函数状态变量描述的能量函数 ，只要 )(xV0000)(xxx当当V0)(xV且不需要求解系统运动方程就可以判断系统的稳定性。不需要求解系统运动方程就可以判断系统的稳定性。 称 函数为LyapunovLyapunov函数函数。)(xV0000)(xxxx当且当nRV如果则称 函数是正定正定的。 )(xV000)(xxx当当nRV如果则称 函数是半正定半正定的。 )(xV0000)(xxxx当且当nRV如果则称 函数是负定负定的。

31、 )(xV000)(xxx当当nRV则称 函数是半负定半负定的。 )(xV如果定义：定义：例例：当 为二维状态向量时，判断下列函数的特性x2221)(xxVx221)()(xxVx2221)(xxVx221)()(xxVx2211)(xxxVx是正定的；是半正定的；是负定的；是半负定的；是不定的；2.2.2.3 2.2.2.3 Lyapunov稳定性定理稳定性定理2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov稳定性理论的设计方法稳定性理论的设计方法PxxxTV)(对于线性系统，通常选Lyapunov函数只要 是正定的，Lyapunov函数 就是正定的。 P)(xV若对称矩阵

32、，对任何非零向量 都满足 ，则矩阵 就是正定矩阵。Ax0AxxTA补充概念：正定矩阵补充概念：正定矩阵判断正定矩阵的方法判断正定矩阵的方法1.1. 求出求出A A 的所有的所有特征值特征值。若。若A A 的特征值均为正数，则的特征值均为正数，则A A 是正定的；若是正定的；若A A 的特的特 征值均为负数，则征值均为负数，则A A 为负定的。为负定的。2. 2. 计算计算A A 的的各阶主子式各阶主子式。若。若A A 的各阶主子式均大于零，则的各阶主子式均大于零，则A A 是正定的；若是正定的；若A A 的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为

33、正，则A A 为负定的。为负定的。定理定理5.1 5.1 （连续时间系统的（连续时间系统的LyapunovLyapunov稳定性定理稳定性定理） 2.2.2.3 2.2.2.3 Lyapunov稳定性定理稳定性定理2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov稳定性理论的设计方法稳定性理论的设计方法对于系统ttft, 0), 0(),(xfx 如果(1) 存在正定函数(2) 是半负定函数 则称平衡状态 是稳定的稳定的。 ),(tV x),(),(tVdtdtVxx0ex 如果上述条件(2)改为： 负定函数，或者对于系统的非零解，有 不恒为零，则称平衡状态 是渐近稳定的渐近稳定

34、的。 ),(tV x),(tV x0ex 如果 是渐近稳定的，且当 时，有 ，则 是全全局渐近稳定的局渐近稳定的。 0exx),(tV x0expage 262.2.2.3 2.2.2.3 Lyapunov稳定性定理稳定性定理2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov稳定性理论的设计方法稳定性理论的设计方法定理定理5.2 5.2 线性定常系统的线性定常系统的LyapunovLyapunov稳定性定理稳定性定理对于线性定常系统 xAx(2.30) (2.31) T A PPAQ0exPQ 它的平衡状态它的平衡状态 渐近稳定的充分必要条件渐近稳定的充分必要条件是对任意给定的正

35、定矩阵 ，存在一个正定矩阵 ，它是矩阵方程 ( )TVxx Px的唯一解。并且 就是系统(2.30)的Lyapunov函数。定理定理5.25.2证明证明 ( )TVxx Px取Lyapunov函数 ，由于 是正定矩阵，故 是正定函数。又 P( )V x( )()()TTTTTTTTTdVdt xx Pxx Pxx Pxx A Pxx PAxxA PPA xx Qx0)(xV即 是渐近稳定的。0exQ线性定常系统线性定常系统Lyapunov方程方程为正定矩阵2.2.2.3 2.2.2.3 Lyapunov稳定性定理稳定性定理2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov稳定性理

36、论的设计方法稳定性理论的设计方法定理定理5.3 5.3 （离散时间系统的（离散时间系统的LyapunovLyapunov稳定性定理）稳定性定理） 对于离散系统 kkfkkk, 0), 0(),() 1(xfx),(kV x0, 0),() 1),1(),(xxxxkkkVkkVkV0ex如果(1) 存在正定函数(2) 则称平衡状态 是渐近稳定的。 如果 是渐近稳定的，且当 时，有 ，则 是全局渐全局渐近稳定的近稳定的。 0exx),(kV x0ex线性离散系统线性离散系统Lyapunov方程方程定理定理5.4 5.4 线性定常离散系统的线性定常离散系统的LyapunovLyapunov稳定性定

37、理稳定性定理对于线性定常系统(2.32) (2.33) 0exPQ 它的平衡状态它的平衡状态 渐近稳定的充分必要条件渐近稳定的充分必要条件是对任意给定的正定矩阵 ，存在一个正定矩阵 ，它是矩阵方程 的唯一解。并且 就是系统(2.32)的Lyapunov函数。(1)( )kkxAx( )( )( )TVkkxxPxQPPAAT例例 应用应用LyapunovLyapunov稳定性定理分析一下系统的稳定性稳定性定理分析一下系统的稳定性 2.2.2.3 2.2.2.3 Lyapunov稳定性定理稳定性定理2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov稳定性理论的设计方法稳定性理论的设

38、计方法11220111xxxx系统唯一的平衡状态是 .0 x21 122122122( )2222()2Vx xx xx xxxxx x取： 2212( )Vxxx是正定的，则是半负定的。可见，平衡状态 是稳定的。0 x0)(xV0tt 假设 ，那么对于 ，有 .02x当 时， ，即 ，则 。 0tt 0212xxx 02x 01x因此，只有在状态空间的原点， . 0)(xV( )V x 对于状态空间中除原点以外的其它任何点， 都不恒为零。所以该平衡状态是渐进稳定的。x)(xV因此，原点这个平衡状态是全局渐近稳定全局渐近稳定的。 那么该平衡状态是不是那么该平衡状态是不是渐进稳定渐进稳定的呢？是

39、不是的呢？是不是全局渐进稳定全局渐进稳定的呢？的呢？2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov稳定性理论的设计方法稳定性理论的设计方法2.2.2.4 2.2.2.4 采用采用LyapunovLyapunov稳定性理论的设计方法稳定性理论的设计方法 模型参考自适应控制系统模型参考自适应控制系统 uBxAxmmmm(2.34) 参考模型的状态方程为 可调系统的状态方程为 uBxAx)()(ttssss(2.35) sttxeFueGu),(),(2.36) ueGBxeFBAx),()(),()()(tttttsssss(2.37) 设系统广义误差向量为 smxxe(2.38

40、) 得广义误差状态方程为 ueGBBxeFBAAeAe),()(),()()()()(tttttttsmsssmm(2.39) 2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov稳定性理论的设计方法稳定性理论的设计方法2.2.2.4 2.2.2.4 采用采用LyapunovLyapunov稳定性理论的设计方法稳定性理论的设计方法 控制系统设计的任务：控制系统设计的任务：就是采用Lyapunov稳定性理论 求出调整 、 的自GF适应律，以达到状态的收敛性 0)(limttemstmssttttttBeGBAeFBA),()(lim),()()(lim和（或）参数收敛性 msmsst

41、ttBGBAFBA*)()()(假设 ， 时，参考模型和可调系统达到完全匹配，即 *),(FeFt*),(GeGt代入到式(2.39)所示的广义误差状态方程中，并消去时变系数矩阵有ueGBBxeFBAAeAe),()(),()()()()(tttttttsmsssmm(2.39) ueGGBxeFGBeAe),(),()()(1*1*ttttmsmm(2.40a) ),(),(),(),(*tttteGGeGeFFeF(2.40b) 2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov稳定性理论的设计方法稳定性理论的设计方法构造二次型正定函数作为Lyapunov函数 )(21121

42、1GGFFPeeVTTTtrP1112其中， ， ， 都是正定矩阵，上式两边对时间求导，得)()()(21)(21)(2112111*1*121211111211GGFFuGGPBexFGPBeePAPAeGGGGFFFFePePeeGGFFPeeVTTmTsmTmTmTTTTTTTTTTtrtrtrtr)(1*1*FGPBexxFGPBemTssmTtr)(1*1*GGPBueuGGPBemTmTtr因为则)()()(211*121*11GGPBueGGFGPBexFFePAPAeVmTTmTsTmTmTtrtr(2.41) 若选择 )()(),()()(),(*2*1ttttttTTmTT

43、sTmTuPeBGeGxPeBGeF(2.42) 正定ueGGBxeFGBeAe),(),()()(1*1*ttttmsmm为零为零为零为零2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov稳定性理论的设计方法稳定性理论的设计方法)()(),()()(),(*2*1ttttttTTmTTsTmTuPeBGeGxPeBGeF(2.42) 2.2.2.4 2.2.2.4 采用采用LyapunovLyapunov稳定性理论的设计方法稳定性理论的设计方法 可得参数自适应的调节规律 )()(),()()(),(*2*1ttttttTTmTTsTmTuPeBGeGxPeBGeF),(),()

44、,(),(*tttteGGeGeFFeF(2.40b) 即)0()()(),()0()()(),(0*20*1GuPeBGeGFxPeBGeFtTTmTtTsTmTdtdt(2.43) 由于 为负定，因此按式(2.43)设计的自适应律，对于任意分段连续的输入向量 能够使模型参考自适应系统是渐近稳定的。 VuePAPAeV)(21mTmTQQPAPATmm选择正定矩阵 ，使得 成立。因此，mA为稳定矩阵， V为负定。 2.3 2.3 自校正控制自校正控制2.3.1 2.3.1 概述概述 自校正控制系统由常规控制系统常规控制系统和自适应机构自适应机构组成。 自校正控制系统结构图自校正控制系统结构图

45、常常规规控控制制系系统统自自适适应应机机构构参数参数/ /状态估计器：状态估计器：根据系统输入输出数据在线辨识被控系统的结构或参数。 控制器参数设计计算：控制器参数设计计算：计算出控制器的参数，然后调整控制回路中可调控制器 的参数 。 自校正控制系统自校正控制系统目的：目的：根据一定的自适应规律，调调整可调控制器参数整可调控制器参数，使其适应被控系统不确定性被控系统不确定性, ,且使其运行良好。2.3 2.3 自校正控制自校正控制模型参考自适应控制系统模型参考自适应控制系统 自校正控制系统结构图自校正控制系统结构图2.3.1 2.3.1 概述概述 模型参考自适应控制和自校正控制系统结构的区别模

46、型参考自适应控制和自校正控制系统结构的区别模型参考自适应控制系统：模型参考自适应控制系统： 常规控制系统常规控制系统 自适应机构自适应机构 参考模型参考模型自校正控制系统：自校正控制系统： 常规控制系统常规控制系统 自适应机构自适应机构 2.3 2.3 自校正控制自校正控制2.3.2 2.3.2 动态过程参数估计的最小二乘法动态过程参数估计的最小二乘法2.3.2.1 2.3.2.1 基本最小二乘方法基本最小二乘方法 被控系统模型为一离散线性差分方程 )()()()()(11kkuzBkyzA(2.44) 时刻测量到的系统输出系统输出和输入输入 k不可测不可测随机干扰序列 nnzazazA111

47、1)(nnzbzbbzB1101)(2.45a) (2.45b) )(k为独立的随机噪声，要求其满足 NkNkN12)(1lim(2.46c) jijijiE0)()(2(2.46b) 0)(kE(2.46a) 随机噪声的均值为零,彼此相互独立，方差为有限正值,噪声的采样均方值有界。 )()()()()(11kkuzBkyzA(2.44) nnzazazA1111)(nnzbzbbzB1101)(2.45a) (2.45b) 2.3.2 2.3.2 动态过程参数估计的最小二乘法动态过程参数估计的最小二乘法2.3.2.1 2.3.2.1 基本最小二乘方法基本最小二乘方法 Tnnbbbaaa,10

48、21Tnkukunkykyk)(,),(),(,),1()(式(2.44)改写为向量向量形式 记： )()()(kkkyT(2.47) 对输入输出观察了 次，则得到输入输出序列为： nN nNkkyku , 2 , 1)(),()()()()() 1()()2()2()2()2() 1()2() 1() 1 () 1() 1 ()() 1(010101NnNubNnubNyaNnyaNnynubnubyanyanynubnubyanyanynnnnnn(2.48) 22 nN2.3.2 2.3.2 动态过程参数估计的最小二乘法动态过程参数估计的最小二乘法2.3.2.1 2.3.2.1 基本最小

49、二乘方法基本最小二乘方法 )()()()() 1()()2()2()2()2() 1()2() 1() 1 () 1() 1 ()() 1(010101NnNubNnubNyaNnyaNnynubnubyanyanynubnubyanyanynnnnnn(2.48) )()()() 1()2()2()2() 1() 1 () 1() 1 ()()(NuNnuNyNnyunuynyunuynyNT1021nnbbbaaa )()2() 1()(NnynynyNy)()2() 1()(NnnnN矩阵向量形式: )()()()(NNNNy (2.49) y (2.50) 最小二乘估计方程最小二乘估计

50、方程 最小二乘参数估计原理就是从一组参数向量 中找到的估计量 ，使得系统模型误差尽可能地小,即式(2.51)所示的性能指标最小。 NnnkTkkyJ12)()(2.51) 2.3.2 2.3.2 动态过程参数估计的最小二乘法动态过程参数估计的最小二乘法2.3.2.1 2.3.2.1 基本最小二乘方法基本最小二乘方法 )()()()(NNNNy (2.49) NnnkTkkyJ12)()(2.51) yTT )()(yyTJ(2.52) 0)(2)()(yyyTTJ(2.53) 则yTT1)(2.54) ：未知参数：未知参数 的最小二乘估计。的最小二乘估计。 随着测量得到的过程数据信息的增多过程

51、数据信息的增多，在利用基本最小二乘方法来完成每次的参数估计时，计算量将不断增大计算量将不断增大。 如何解决上述问题？如何解决上述问题？2.3.2 2.3.2 动态过程参数估计的最小二乘法动态过程参数估计的最小二乘法2.3.2.2 2.3.2.2 递推最小二乘方法递推最小二乘方法 ) 1()() 1()() 1 () 1(NyNNyNyyNyy) 1()() 1(NNNT1, 2 , 1),()(Nkknyky)1(,),1(),1(,),() 1() 1(NuNnuNyNnyNnNTT) 1(),1(NnyNnu增加一个新的观测数据 ,则 )()()() 1()2()2()2() 1() 1

52、() 1() 1 ()()(NuNnuNyNnyunuynyunuynyN )()2() 1()(NnynynyNy)()()()(NNNNy (2.49) 系统未知参数的最小二乘辨识公式 yTT1)(2.54) (2.55) ) 1() 1()1() 1() 1(1NNNNNTTy(2.56) ) 1()() 1()() 1()() 1()() 1(1NyNNNNNNNNTTTy ) 1() 1()()() 1() 1()()(1NyNNNNNNNTTTy) 1()() 1()() 1 () 1(NyNNyNyyNyy) 1()() 1(NNNT(2.55) ) 1() 1()1() 1()

53、 1(1NNNNNTTy(2.56) 2.3.2 2.3.2 动态过程参数估计的最小二乘法动态过程参数估计的最小二乘法2.3.2.2 2.3.2.2 递推最小二乘方法递推最小二乘方法 矩阵求逆定理矩阵求逆定理 1111111DABDACBAABCDA设 、 和 均为非奇异矩阵，则 ACBCD(2.58) 令1)()()(NNNTP(2.59) ) 1(NP(2.57) 2.3.2 2.3.2 动态过程参数估计的最小二乘法动态过程参数估计的最小二乘法2.3.2.2 2.3.2.2 递推最小二乘方法递推最小二乘方法 应用求逆矩阵定理，则 1) 1() 1()()() 1(NNNNNTTP11) 1

54、() 1()(NNNTP)(1N PA) 1(NBIC ) 1(NTD令 矩阵求逆定理矩阵求逆定理 1111111DABDACBAABCDA(2.58) )() 1() 1()() 1(1) 1()()() 1(1NNNNNNNNNTTPPPPP(2.61) ) 1() 1()()() 1() 1()()() 1(1NyNNNNNNNNTTTy) 1(NP(2.57) )() 1() 1() 1()() 1(1) 1()()() 1(1NNNyNNNNNNNTTPP1) 1()() 1(1) 1()() 1(NNNNNNTPPK令：令：)() 1() 1() 1()() 1(NNNyNNNTK

55、(2.62) 则递推最小二乘算法公式(2.61)(2.63)可以表示为 2.3.2 2.3.2 动态过程参数估计的最小二乘法动态过程参数估计的最小二乘法2.3.2.2 2.3.2.2 递推最小二乘方法递推最小二乘方法 )() 1() 1()() 1(1) 1()()() 1(1NNNNNNNNNTTPPPPP(2.61)() 1() 1() 1()() 1(NNNyNNNTK(2.62)1) 1()() 1(1) 1()() 1(NNNNNNTPPK(2.63) 1()()()()() 1()(1/)() 1()()1()()()() 1()(kkkkkkkkkkkkkykkkTTTPKIPP

56、PKK(2.64) )(kk为 时刻系统未知参数的估计值。 Tnkukunkykyk)(,),(),(,),1()(IP2)0(通常：0)0(较大的数值 2.3.2.3 2.3.2.3 渐消记忆最小二乘方法渐消记忆最小二乘方法2.3.2 2.3.2 动态过程参数估计的最小二乘法动态过程参数估计的最小二乘法 随着观测数据和递推次数的增加，新的采样数据对参数估计值的修正作用会越来越微弱，最后甚至不再起到修正作用，即会出现所谓的“数据饱和数据饱和”现象。 渐消记忆法渐消记忆法:降低或限制过去数据的影响，提高新采集数据的修正作用. 基本思想是对过去数据乘上一个加权因子过去数据乘上一个加权因子 ，按指数

57、加权来人为地降低老数据的作用。) 10() 1()() 1(NNNT) 1()() 1(NyNNyy) 1()()(1)()() 1()(/)() 1()()1()()()() 1()(kkkkkkkkkkkkkykkkTTTPKIPPPKK(2.66) 渐消记忆递推最小二乘算法渐消记忆递推最小二乘算法如下： 2为遗忘因子 )1 () 1()(00kk95. 0)0(99. 002.3.3 2.3.3 最小方差自校正控制最小方差自校正控制 最小方差自校正调节器是由瑞典学者Astrom和Wittenmark在1973年提出的。它是最早广泛应用于实际的自校正控制算法。 2.3.3.1 2.3.3.

58、1 最小方差预报和最小方差控制器设计最小方差预报和最小方差控制器设计 设被控系统的模型被控系统的模型为)()()()()()(111kzCkuzBzkyzAd(2.67) :分别为系统的输出、输入和噪声。)(ky)(ku)(k1z: :单位后移算子。单位后移算子。 aannzazazA1111)(2.68a) bbnnzbzbbzB1101)(2.68b) ccnnzczczC1111)(2.68c) )(k为独立的随机噪声，要求其满足 0)(kE(2.69a) jijijiE0)()(2(2.69a) NkNkN12)(1lim(2.69a) )(1zC假定 为稳定多项式. k时刻的控制作用

59、u(k),可使k+d时刻的系统输出系统输出y(k+d)方差最小方差最小，因此将这种控制方法称为最小方差控制。 如果能找到 的最小方差预报最小方差预报 ，那么只要令 ，就可求出最优控制律 。 )(dky)(*kdky)()(*dkykdky)(ku2.3.3.1 2.3.3.1 最小方差预报和最小方差控制器设计最小方差预报和最小方差控制器设计 2.3.3 2.3.3 最小方差自校正控制最小方差自校正控制引入最小方差控制器性能指标 )()(2*dkydkyEJ(2.70) 为 时刻的理想输出理想输出(期望输出期望输出)，表示为 )(*dkydk )()()(1*kwzRdky(2.71) 加权多项

60、式 参考输入（设定值） 的最小方差预报最小方差预报 应该满足：应该满足：)(dky)(*kdky预报误差预报误差 的均方和最小的均方和最小( (方差最小方差最小) )； )()()(*kdkydkydke具有可实现性。具有可实现性。引入Diophantine方程)()()()(1111zGzzFzAzCd(2.72) ffnnzfzfzF1111)(ggnnzgzggzG1101)(, 1max1dnnndncagf求取被控系统的模型被控系统的模型)()()()()()(111kzCkuzBzkyzAd(2.67) 2.3.3.1 2.3.3.1 最小方差预报和最小方差控制器设计最小方差预报和