求解机械波的基本情况一例

1、求解机械波的基本情况一例一横波沿绳子传播时的波动表达式为式中各量的单位为SI单位。（1） 求此波的振幅、波速、频率和波长；（2） 求绳上各单元振动时的最大速度和最大加速度；（3） 求处的质元在t=1S时的相位，它是原点处的质元在哪一时刻的相位？这一位相所代表的运动状态在t=1.25S时刻到达哪一点？在t=1.5S时刻到达哪一点？（4） 分别图示t=1,1.1,1.25和1.5S各时刻的波形。解：（1）已知波动表达式为与波动标准表达式比较，可得到振幅频率，波长，波速（2）绳上各质元振动时的最大速度最大加速度（3）处质元的振动比原点处质元的振动落后时间故x=0.2m,t=1S时质元的振动位相相当于

2、原点处质元在时的振动位相。设这一位相所代表运动状态在时到达点，在时到达点，则。（4）以及1.5S各时刻的波形如图一所示。求解原点的振动表达式和机械波的波动表达式一平面简谐波以波速沿x轴负向传播，时刻的波形如图一所示。求：原点的振动表达式以及此简谐波的波动表达式。解：由图可知，因而设原点的振动表达式为：由图可知，t=2S时，y=0,由此可得所以，原点的振动表达式为简谐波的波动表达式为求解振动表达式和波动表达式一例一沿x正方向传播的平面余弦波，已知时的波形如图一所示，其频率为。（1） 写出原点O质元的振动表达式；（2） 写出该波的波动表达式；（3） 写出A点处质元的振动表达式；（4） 求A点离原点

3、的距离。解：（1）由波形图可知振幅A=10cm=0.1m,波长波速角频率当时，O点的振动相位即所以原点O质元的振动表达式为（2）波动表达式为 （3）时A点的振动相位即所以A点处质元的振动表达式为（4）利用振动表达式求解波动表达式一平面简谐波以速度沿直线传播。已知在传播路径上某点A,如图一，的简谐振动的表达式为（1） 以点A为坐标原点，写出波动表达式；（2） 以距离点A为5m处的点B为坐标原点，写出波动表达式；（3） 写出传播方向上点C和点D的简谐振动的表达式（各点间距见图）；（4） 分别求出点B与点C间、点C与点D间的相位差。解： 由A点的简谐振动的表达式，可以得知（1） 以A点为原点的波动表

4、达式为（2）由于波由左向右传播，故点B的相位比点A超前，其简谐振动的表达式为故以点B为原点的波动表达式为（3）由于点C的相位比点A超前，故点C的振动的表达式为而点D的相位落后于点A，故点D的振动表达式为（4）由于BC间的距离根据波形求解振动的表达式和波动表达式 一列沿x正向传播的简谐波，在和时刻的波形如图一所示。试求：（1） P点的振动表达式；（2） 波动表达式；（3） 画出O点的振动曲线。解：（1）由图可知，P点的振动表达式为由于在t=0时，故或者（），于是（2）在t=0时，O点的振动位置，故初相位，于是，O点的振动表达式为（3）O点的振动曲线如图二所示。求解波的能量密度和声强大小一平面简谐

5、波在空气中传播，波速频率为500。到达人耳时，振幅试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强的大小，声压幅为多大？此声强相当于多少分贝？已知空气的密度为解：声波的平均能量密度为声强为声压幅 或者声强级 求解因干涉而静止的点的位置一媒质中有两个波源位于A、B两点，如图一，其振幅相同，频率均为100，相位差为。若A、B两点相距30m，波在媒质中的传播速度为400m/S,试求：A、 B连线上因干涉而静止的各点的位置。解：取AB的中点为坐标原点，如图一。设波源B的初相为，则波源A的初相为。于是波源A、B所发出的波引起的P点的质元振动的相位分别为.其相位差为由干涉的减弱条件，有得到或者 依据已知条件，所以得

6、到在A、B间因干涉而静止的点的位置为（m）,共15个静止点。运用干涉条件求解几个关系如图一所示，地面上的一波源S与一探测器D之间的距离为d。在D处测得从S直接发出的波与从S出发又经高度为H的水平层B反射后的波的合成信号强度最大。当水平层逐渐升高h距离时，在D处测到的信号消失。设波在水平层的反射角等于入射角，不考虑大气的吸收，求波长与，h，H的关系。解：由于在B、C处反射的情况相同，所以两次测量不会由于反射引起不同效果，故可设波在B、C处反射时都有半波损失。这样，在B点反射的波与直射波在D处加强的条件为即。在C点反射的波与直射波在D处相消的条件为即所以，求解驻波中反射波的表达式和合成波的表达式设

7、入射波的表达式为在x=0处发生反射，反射点为一固定端，求：（1） 反射波的表达式；（2） 合成波的表达式；（3） 波腹和波节的位置。解：（1）由于反射点为固定端，所以这点必是波节。入射波和反射波在此点引起的振动是反相的，所以反射波的表达式应为（2）入射波和反射波相遇，叠加成驻波，其表达式为（3）波腹的位置：波节位置：求解驻波的波腹和波速一弦上驻波的表达式为式中各量单位为SI单位。（1） 组成此驻波的各行波的波腹和波速为多少？（2） 节点间的距离为多大？（3） 时，位于处的质点的速度为多少？解：（1）与驻波的标准式比较得到各行波的波腹、波长和周期为所以波速（2）波节的位置满足关系式：所以波节间的

8、距离为（3）质点的振动速度为将x=0.05m,代入，得到求解驻波中入射波和反射波以及合成波的特点在一根线密度和张力的弦线上，有一列沿x轴正方向传播的简谐横波，其频率为，振幅已知弦线上离坐标原点处的质元在t=0时刻的位移为，且沿y轴方向运动。当波传播到处的固定端时，被全部反射。（1） 试写出入射波和反射波的波动表达式；（2） 求入射波和反射波叠加的合成波在区间内波腹和波节处各点的坐标。解：（1）由题给数据，可得到波长为在处质元振动的初相为设原点处的初相为，则所以，入射波的波动表达式为因为在处反射有半波损失，所以，反射波在处的振动表达式为反射波的波动表达式为（2）因波节间的间距离为，而处为波节，所

9、以波节点的坐标为波节与波腹间的间距为所以波节点的坐标为x=0.5,1.59.5m.描写合成驻波两人各执长为的绳的两端，以相同的角频率和振幅在绳上激起波动，右端的人的振动比左端的人的振动相位超前，试以中点为坐标原点描写合成驻波。由于绳很长，不必考虑反射，并设绳上的波速为u.解：设左端的振动表达式为，则右端的振动表达式为设右行波的波动表达式为左行波的波动表达式为由题意，当时，即故当时，即 故于是两波的波动表达式为合成波当时，处为波腹；当时，x=0处为波节。求解驻波的有关参量一平面简谐波沿x轴正方向传播，在t=0时，原点O处质元的振动是经过平衡位置向负方向运动。在距离原点O为处有一波密介质的反射面，

10、波被垂直界面反射，如图一。设入射波和反射波的振幅都为A，频率都为。试求：（1） 入射波和反射波的波动表达式；（2） 合成波的波动表达式；（3） 在原点到反射面间各个波节和波腹点的坐标；（4） 距反射面为的Q点处质元的合振动的表达式。解：（1）设入射波在原点O的振动表达式为由于在t=0时，原点处质元的位移，可得到因而入射波的波动表达式为反射波在O点的振动是入射波传到反射面在传到O点的，所以反射波在O点的振动相位比入射波落后左式中后一项是考虑到波在波密媒质面上反射发生相位突变而加上反射波的波动表达式为（2）合成波（驻波）的波动表达式为（3）波腹点坐标满足的条件为即波节点坐标满足的条件为即由上可知，

11、原点O为波腹，反射点为波节。（4）Q点的坐标为因而，点处质元的合振动的表达式为求解潜艇的速度一固定的超声探测仪，在海水中发出一束频率的超声波，被一向着探测仪驶来的潜艇反射回来。探测仪测得反射波和入射波的频率相差为220.求：该潜艇的速度。已知超声波在海水中的波速为1500m/S.解：声源不动，潜艇向着声源运动，潜艇接收到的频率（潜艇相当于观察者），潜艇反射超声波，此时潜艇相当于声源，发射频率为的超声波，声源在运动，而接收器不动，故探测仪接收到的频率为根据题意，得到代入数据，得到求解波源的频率（1） 一波源振动频率为2040，以速度向波源接近，如图一，观测者在A点所得的拍频为，设声速为340m/

12、S,求波源移动的速度.（2） 如果（1）中的波源没有运动，而以一反射面代替墙壁，以速度向观测者A接近，所得到的拍频为，求解波源的频率。解：（1）观测者从波源直接听到的声波频率为由墙壁反射的声波频率为观察者测得的拍频为以上两者之差，即化简，可得解方程，得到因为所以（2）观测者从波源直接听到的声波频率为反射面接收到的声波频率（反射面相当于观察者，向着声源运动）由于反射面在运动，此时反射面相当于声源，故观测者所测得的反射面反射的声波频率为拍频得到运用多普勒效应求解飞机的飞行高度飞机在上空以速度作水平飞行，发出频率的声波。静止在地面上的观察者测定飞机发出的声波的频率。当飞机越过观察者上空时，观察者在4

13、S内测出的频率从降为。已知声波在空气中的速度。试求：飞机的飞行高度h. 解：设飞机在4S内从A点水平飞行到B点，飞行高度为h，M为观察者，如图一所示。声源在AM方向的分速度，声波在BM方向的分速度。由多普勒效应的公式解，得到又解，得到由几何关系，得到可以得到，求解观察者听到的声音的频率一声源的频率为，若声源与观察者分别以和在声音的传播方向上作同方向的运动，则观察者听到声音的频率为多少？若空气在流动，风速为，且风速方向与和的方向也相同，试问：此时观察者听到声音的频率为多少？解：（1）声源相对媒质与声波同向运动时，声音的波长变短。设T为声源的发声周期，此时声波波长观察者相对媒质与声波同向运动，声波

14、相对观察者的传播速度因此，观察者在单位时间内接收到的波的个数，即听到的声音的频率为（2）当空气在流动，即媒质也沿波的传播方向运动，波相对媒质的传播速度为，媒质相对地面的速度为。因此，波相对地面的传播速度为。考虑到声源也作同向运动，此时声音的波长为声源相对观察者的传播速度为此时，观察者在单位时间内接收到波的个数，即听到声音的频率为求解观测频率的极值如图一，音叉P沿着半径的圆以角速度作匀速圆周运动。音叉发出频率的声波，声波的速度为观测者M与圆周共面，与圆心O的距离d=2r。试问：当角为多大时，观测到声波的频率为最高或者最低，并求其数值。解：当音叉位于中心角为的位置时，声源在观测者方向上的分速度为。根据多普勒效应的公式，观测到声波的频率与角的关系为 （1）利用正弦定理以及余弦定理，把表示成的函数，由可得到，代入（1），得到为极值时满足代入，得到或者可以解得或者2（舍去），当时，当时，可见，当时，观测到声波的最低频率和最高频率。运用多普勒效应求解声音的频率声