概率论与数理统计41期望

1、4.1.1 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 概念引入：概念引入： 某车间对工人生产情况进行考察，车工某车间对工人生产情况进行考察，车工小张每天生产的废品数小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量。是一个随机变量。如何定义如何定义 X 的平均值？的平均值？4.1 数学期望数学期望第四章第四章 数字特征数字特征若统计了若统计了100天小张生产产品的情况，发现：天小张生产产品的情况，发现： .27. 1100213100172100301100320可以得到这可以得到这100天中每天的平均废品数为天中每天的平均废品数为32天没有出废品；天没有出废品；30天每天出一件废品；天每天出一

2、件废品；17天每天出两件废品；天每天出两件废品；21天每天出三件废品。天每天出三件废品。可以想象：可以想象：若另外再统计若另外再统计100天，其中不出废天，其中不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的的100天一般不会完全相同，即另外天一般不会完全相同，即另外100天每天每天的平均废品数也不一定就是天的平均废品数也不一定就是1.27。n0天没有出废品天没有出废品;n1天每天出一件废品天每天出一件废品;n2天每天出两件废品天每天出两件废品;n3天每天出三件废品天每天出三件废品.nnnnnnnn32103210可以得到这可以得到这n天中，每天的平均废品数

3、为天中，每天的平均废品数为(假定每天至多出三件废品假定每天至多出三件废品) 一般来说一般来说, 若统计了若统计了n天天,这是以频率为这是以频率为权的加权平均权的加权平均nnnnnnnn32103210由频率与概率的关系，由频率与概率的关系， 不难想到：不难想到：求废品数求废品数X的平的平均值时，用概率替代频率，均值时，用概率替代频率，得平均值为：得平均值为：32103210pppp这是以概率为这是以概率为权的加权平均权的加权平均这样，就得到一个确定的数这样，就得到一个确定的数 随机变量随机变量X的期望的期望(均值均值) 。 定义定义1: 设设X是离散型随机变量是离散型随机变量, 概率分布为概率

4、分布为 PX=xk=pk , k=1,2, 。 也就是说：离散型随机变量的数学期望也就是说：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数和。是一个绝对收敛的级数和。1)(kkkpxXE1|kkkpx如果如果 有限有限, 则称则称为为X 的数学期望的数学期望(或均值或均值)。 在在 X 取可列无穷个值时，级数绝对收敛取可列无穷个值时，级数绝对收敛可以保证可以保证“级数之值不因级数各项次序的改级数之值不因级数各项次序的改排而发生变化排而发生变化”，这样，这样E( (X) )与与X取值的人为取值的人为排列次序无关。排列次序无关。例例1： 有有4只盒子，编号为只盒子，编号为1, 2, 3, 4。现有。

5、现有3个个球，将球逐个独立地随机放入球，将球逐个独立地随机放入4只盒子中去。只盒子中去。用用X 表示其中至少有一个球的盒子的最小号表示其中至少有一个球的盒子的最小号码，求码，求E(X)。解：解：首先求首先求X 的概率分布。的概率分布。X 所有可能取的所有可能取的值是值是1, 2, 3, 4。X=i 表示表示i号盒中至少有一号盒中至少有一个球，个球，i=1, 2, 3, 4。 为求为求 PX=1，考虑，考虑 X=1 的对立事件：的对立事件：1号盒中没有球号盒中没有球，其概率为，其概率为 (3/4)3，因此，因此； 434431133333XPX=2 表示表示 1号盒中没有球，而号盒中没有球，而2

6、号盒中至少号盒中至少有一个球有一个球，类似地得到：，类似地得到：； 4232333XP. 414 ,412333333XPXP于是，于是，. 1625 4144123 42324341)(33333333333XE 1.1.两点分布：两点分布：X B(1, p), 0 p 1，则，则 E(X)= 1 p + 0 (1- -p) = p . 常用常用离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 2. 2.二项分布：二项分布：X B(n, p)，其中，其中 0 p 0 ，则，则 E(X)= .!)( , 2, 1 , 0,! 10kkkkkekkekkXEkekkXP，所以因.1!1)!1()

7、!1(01111mmkkkkemkmekek4.1.2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 设设X是连续型随机变量，密度函数是连续型随机变量，密度函数 f(x) 在在数轴上取很密的点数轴上取很密的点 x0 x1 x2, 则则X 落在小落在小区间区间 xi , xi+1) 的概率是的概率是1)(iixxdxxfiixxf)(在小区间在小区间xi, xi+1)上上阴影面积阴影面积iixxf)()(1iiixxxf小区间小区间Xi, Xi+1)由于由于xi与与xi+1很接近很接近, 所以区间所以区间xi, xi+1)中的值中的值可用可用 xi 来近似地替代。来近似地替代。iiiixxf

8、x)(这正是这正是dxxfx)(的渐近和式。的渐近和式。阴影面积阴影面积iixxf)(变量近似变量近似,iixxf )(因此因此, X与以概率与以概率 取值取值 xi 的离散型随机的离散型随机 该离散型随该离散型随机变量的数学期望机变量的数学期望是是从该启示出发，我们给出如下定义。从该启示出发，我们给出如下定义。定义定义2：设设X是连续型随机变量，概率密度为是连续型随机变量，概率密度为 f (x), 如果如果 有限，则称有限，则称 dxxfx)(|为为X的数学期望。的数学期望。dxxfxXE)()( 也就是说：也就是说：连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分值是一

9、个绝对收敛的积分值.例例3：设随机变量设随机变量X 的概率密度为的概率密度为， 21)(xexfx求求 E(X) 。解：解：. 0 d 21 d 21 d 21)( 0 0 xxexxexxeXExxx 若若X Ua, b, 即即X服从服从a, b上的均匀分布上的均匀分布, 则则.)(XE若若X 服从参数为服从参数为 的指数分布，则的指数分布，则由随机变量数学期望的定义，不难计算出：由随机变量数学期望的定义，不难计算出：； 2)(baXE若若X 服从服从 ，则，则),(2N 这意味着：若从该地区抽查很多成年男这意味着：若从该地区抽查很多成年男子，分别测量他们的身高。则这些身高的平子，分别测量他

10、们的身高。则这些身高的平均值近似地为均值近似地为1.68。.68. 1)(XE 已知某地区成年男子身高已知某地区成年男子身高X), ,68. 1 (2N例例4：设某型号电子管的寿命设某型号电子管的寿命X服从指数分布服从指数分布,平均寿命为平均寿命为1000小时小时, 计算计算 P1000X1200。解：解：由由 E(X) = 1/ = 1000，知，知 = 0.001，X的概率密度为的概率密度为.067. 0 d 001. 012001000( 2112001000001. 0eexeXPx. 0, 0, 0,001. 0)(001. 0 xxexfx4.1.3 随机变量函数的数学期望随机变量

11、函数的数学期望I. 问题的提出：问题的提出： 设随机变量设随机变量X的分布已知，需要计算的量的分布已知，需要计算的量并非并非X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期望，比的某个函数的期望，比如说是如说是 g(X) 的期望。那么，如何计算呢？的期望。那么，如何计算呢？ 一种方法是：由于一种方法是：由于g(X) 也是随机变量，也是随机变量，故应有概率分布，其分布可以由故应有概率分布，其分布可以由X的分布求的分布求出。一旦知道了出。一旦知道了g(X) 的分布的分布, 就可以按照期就可以按照期望的定义把望的定义把 Eg(X) 计算出来。计算出来。 但使用该方法但使用该方法 必须先求出必须先求出g(X

12、)的分布。的分布。一般说来，这是比较复杂的事。一般说来，这是比较复杂的事。 那么那么, 可否不求可否不求g(X)的分布，而只根据的分布，而只根据X的分布来计算的分布来计算 Eg(X) 呢？呢？ 答案是肯定的。答案是肯定的。且有如下公式：且有如下公式： 设设X是一个随机变量，是一个随机变量，Y=g(X)，则，则 . ,)()(, ,)( )()(1连续型离散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk 当当X为离散型时为离散型时, P(X= xk)=pk ; 当当X为连续型时为连续型时, X 的密度函数为的密度函数为 f(x)。 该公式的重要性在于：当我们求该公式的重要性在于：当我们求 Eg(X)时

13、时, 不必求不必求g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布的分布足矣。这对求足矣。这对求 g(X) 的期望带来了极大方便。的期望带来了极大方便。例例5： 设 X N(0 , 1)，求，求 E(X2)。解：解：222222 d 21 d 21)(xxexxexXE. 1102121 2222dxexexx例例 6：设国际市场上对我国某种出口商品每年设国际市场上对我国某种出口商品每年的需求量是随机变量的需求量是随机变量X(单位单位: 吨吨)。X服从区间服从区间2000, 4000 上的均匀分布。每销售出一吨商上的均匀分布。每销售出一吨商品品,可为国家赚取外汇可为国家赚取外汇3万元；若销

14、售不出万元；若销售不出, 则则每吨商品需贮存费每吨商品需贮存费1万元。求：应组织多少货万元。求：应组织多少货源，才能使国家收益最大源，才能使国家收益最大?解：解：设组织货源设组织货源 t 吨。显然，应要求吨。显然，应要求20002000t t 40004000。国家收益。国家收益Y( (单位单位: :万元万元) )是是X 的函数的函数Y=g(=g(X) )。表达式为。表达式为.),(3,3)(tXXtXtXtXg由已知条件由已知条件, , 知知X X的概率密度函为的概率密度函为.4000 2000 0 4000 2000 20001)(，xxxf40002000dx)x(g20001dx)x(

15、f )x(g)X(gE)108t14000t2(20001tdx3dx) tx4(20001624000tt2000可算得可算得当当 t = = 35003500 时时， E(E(Y)=-2t)=-2t2 2 + 14000t-8000000 + 14000t-8000000达到达到最大值最大值 1.551.55106。 因此，应组织因此，应组织35003500吨货源。吨货源。J 说明说明 前面我们给出了求前面我们给出了求g(X)g(X)的期望的方法。的期望的方法。实际上，该结论可轻易地推广到两个随机变量实际上，该结论可轻易地推广到两个随机变量函数函数 Z = = g(g(X, ,Y) )的情

16、形。的情形。设二维离散型随机向量设二维离散型随机向量 (X, Y) 的概率分布为的概率分布为 pij, i=1, 2, ， j=1, 2, . 则则：.),(),(11ijijjipyxgYXgE设二维连续型随机向量设二维连续型随机向量( (X, ,Y) )的密度函数的密度函数为为 f (x, y), 则则: :. ),(),(),(dxdyyxfyxgYXgE 例7：设二维离散型随机向量设二维离散型随机向量( (X, ,Y) )的概率分的概率分布如下表所示，求布如下表所示，求Z=X2+Y的期望的期望. . E(Z)=E(Z)= g(1,1)g(1,1) 0.125+g(1,2)0.125+g

17、(1,2) 0.250.25 +g(2,1) +g(2,1) 0.5+g(2,2)0.5+g(2,2) 0.1250.125解：解： Y X 1 2 1 1/8 1/4 2 1/2 1/8 = 4.25.例8：设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，概率密度分相互独立，概率密度分别为别为求求 E(E(XY) )。解：解：., 0, 0 ,2)( , 0, 0 ,4)(24其他其他yeyfxexfyYxX 因因 G(G(X, ,Y)=XY, X 和和Y 相互独立。相互独立。. 81 2141 24 24 )()(),(00242004 dyyedxxedxdyeexydxdyyfxxyfYXgEy

18、xyxYX所以，所以，3.1.4 期望的性质期望的性质 (1). 设设C是常数，则是常数，则E(C)=C;(4). 设设 X, Y 相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); (2). 若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X); (3). E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);；niiniiXEXE11 )(niiniiXEXE11)(注意注意:由由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出不一定能推出X,Y独立独立推广：推广：推广：推广：(诸诸Xi 独立时独立时)。期望性质的应用期望性质的应用例例9: 求二项分布的数学期望。求二项分布的数学期望。 分析：分析：若若 X B(n, p)，则，则 X 表示表示n重贝努重贝努里试验中里试验中“成功成功”的次数。的次数。 设设则则 X = X1+X2+Xn，. , 0, , 1 次试验失败如第次试验成功如第iiXii=1,2,n. 由此可见：由此可见：服从参数为服从参数为n, p的二项分布的的二项分布的随机变量随机变量X的数学期望是的数学期望是 n