第三章课件导数与微分

1、主要内容：求导数的方法法则与公式一、求导法则二、基本初等函数的求导公式第二节上周内容导数的定义、可导与连续的关系用导数的定义求函数的导数 常数函数的导数 若干简单的幂函数的导数：对于若干简单的幂函数 y=lnx的导数 sinx、cosx的导数1,1,2,.,2yxn yClnyxsincos , cossinxxxx 0y 1 yx1 yx其他基本初等函数与这些最基本的函数之间的关系？幂函数对数函数指数函数三角函数反三角函数 三角函数的反函数yxlnxy e,lnuy e uvvxlogayxlnlnxyaxyalogayx的反函数tanyxcotyxsintancosxyxxcoscotsi

2、nxyxx四则运算、函数的复合运算四则运算、函数的复合运算、反函数运算、反函数运算( )( )(1).() v xv xu xu x 1、函函数数和和、差差、积积、商商的的求求导导法法则则： 如如果果函函数数、在在点点 处处可可导导，则则它它们们的的和和、差差、积积、商商（分分母母不不为为零零）在在点点 处处也也可可导导，并并且且( )( )u xv xxx一、求导法则( )( )yu xv x()() ( )( )yu xxv xxu xv x 证明证明 令令 ()( ) ()( )u xxu xv xxv x .yuvxxx.uv 00lim, lim,xxuvuvxx 000limlim

3、lim.xxxyuvyuvxxx ()( ) ()( )u xxu xv xxv x 代数和的导数等于导数的代数和代数和的导数等于导数的代数和. .于是于是( )( )yu xv x此法则可推广到任意有限项的情形，即此法则可推广到任意有限项的情形，即0 ()C CCuv 当当（ 为为常常量量）时时，例例已已知知求求31sinln2,.yxxy 3(sinln2)yxx解解 ()()() 23cos .xx( )( )( )(2)(.)( )u xu xvxv xuxxv 常数因子可提到导数符号外面常数因子可提到导数符号外面. .C.Cv sin xln23x常数常数( )( )()v xv x

4、u xu x ()() ( )( )()()()( )()( )( )()( )()( )()( )u xxv xu xxv xvuyu xxv xxu xv xu xxvu xxv xxu xv xu xxvu xvyu xxvu xvxxxxx cos2ln2sin.xxxxxxx (2) cos2(cos )xxxx221() lnxxxx ( )( )( )( )( )( )u xu xu xv xv xv x 常数常数()( vuxx 22ln2cos,.yxxxxy 例例已已知知求求2(ln2cos)yxxxx 解解2(ln)(2cos)()xxxx ()0 ln x2x2 xco

5、s x0 21(1) ( )1( )( )( )v xv xv xvx 2( )( ) ( )( ) ( )(3)( ( )0).( )( )u xu x v xu x v xv xv xvx ( )( )( )( ).u xu xv xv x 不不可可以以为为 当当时时( )1,u x 2( ).( )v xvx ()( )()( )()( )( )( )( )( )()()( )()( )( )()()( )( )( )()( )1( )( )()( )u xxu xyv xxv xu xxv xu xv xxv xxv xu xxv xu xv xxv xxv xu v xu xvvu

6、xvxxv xyv xu xxxu xv xuvxv xxv x 解解sin(tan)()cosxyxx xxxxx2cos)(cossincos)(sin 221sec.cosxx例例已已知知求求3tan ,.yxy 22(tan )sec(cot)csc.xxxx ， xxx222cossincos 2( )( ) ( )( ) ( )( )( )u xu x v xu x v xv xvx sincosxx () 解解1(sec)()cosyxx 2(cos )cosxx 2sincosxx sectan .xx 例例已已知知求求4sec ,.yxy (sec )sectan ,(csc

7、 )csccot .xxxxxx 21( )( )( )v xv xvx 、复复合合函函数数的的求求导导法法则则：2 设设是是由由函函数数及及复复合合而而成成的的函函数数，并并设设函函数数在在点点 处处可可导导，在在对对应应点点处处也也可可导导，则则有有复复合合函函数数的的求求导导法法则则： ( )( )( )( )( )( )yfxyf uuxuxxyf uux yyuxu x dd ddd ddddddd此此式式也也可可写写为为( )( ),ufxyx d dd d.xuxyyu中间变中间变量量自变自变量量.xxuuvyvydddddddddddddddd 复复合合函函数数的的求求导导法法

8、则则可可叙叙述述为为：复复合合函函数数的的导导数数，等等于于函函数数对对中中间间变变量量的的导导数数乘乘以以中中间间变变量量对对自自变变量量的的导导数数. .( ),( ),( ), ( )yfuv vyxxuf 设设则则复复合合函函数数的的求求导导法法则则为为： 中间变量中间变量中间变量中间变量自变量自变量sin ,yxuu解解 (sin ) ()uyuuxyxdddddddd1coscos.22xuxx5sin,.yxy 例例求求 112211(sin )cos()()22uuxxxx 3ln ,cos ,vxvuuy 解解 233tan.xx 221sin( sin ) 33cosvvx

9、xuv 3(ln ) (cos ) ()uvxxuyuvxyv 36lncos,.yxy 例例求求321(ln )(cos )sin()3.uvvxxu ， ， 分段函数分段函数7ln,.yxy 例例求求ln ,0,lnln(),0.xxyxxx 解解 根根据据定定义义域域，去去掉掉绝绝对对值值符符号号，为为分分段段 函函数数，当当时时， 10(ln)(ln ),xyxxx0(ln)ln()xyxx 当当时时， 综综上上， 1(ln).xx ()1,xxx 7ln,.yxy 例例求求2xx 是是初初等等函函数数x22lnln ,111112222xyxyu uv vxdydy du dvdxd

10、u dv dxxxxuvxvvv y=lny=ln( , )0,.F x yyx 如如果果方方程程确确定定了了 是是 的的函函数数那那么么，这这样样的的函函数数叫叫隐隐函函数数做做y=y(x)3、用用复复合合函函数数求求导导法法则则求求隐隐函函数数的的导导数数.yxyx 设设隐隐函函数数 关关于于 可可导导，我我们们可可以以利利用用复复合合函函数数求求导导法法则则，求求出出 关关于于 的的导导数数下下面面我我们们用用例例题题来来说说明明这这种种解解法法：22( , )04.xyF x yxxyy 即即 与与 的的函函数数关关系系不不能能明明显显表表示示出出来来，而而由由方方程程确确定定，例例如

11、如， 就就是是一一个个隐隐函函数数224xxyyln(ln )(ln )1ydydydydydxdydxydx 2222402()()2xxdyxyyxdxd yd ydydyyydxdydxdx 22022dydyxyxydxdxdyxydxxy ln ( ).y x复复合合函函数数解解 因因为为 是是 的的函函数数，所所以以是是 的的lnyxyx2.1xyyy 从从而而 20,yxyy 28ln0.xyyyxy 例例方方程程确确定定了了 是是 的的隐隐函函数数，求求于于是是方方程程两两边边对对 求求导导数数有有xln ( )ln ,( )u uxxyy 对对等等式式的的两两边边取取自自然然

12、对对数数，有有yx 、幂幂函函数数的的导导数数1()xR 二、基本初等函数的求导公式lnln .yx 两两端端对对 求求导导得得,yxyx 于于是是 ,yxyxx 1().xx 取取对对数数求求导导法法y=y(x)、指指数数函函数数且且的的导导数数2(0,1)xyaaa两两端端对对 求求导导得得 ln ,yxay 于于是是 ln ,yya 即即 ()ln .xxaaa 使使用用取取对对数数求求导导法法，有有lnln .yxa ()().xx eeee.以以 为为底底的的指指数数函函数数的的导导数数仍仍是是它它本本身身e ea 特特别别当当e e时时，存存在在反反函函数数等等式式两两端端对对 求

13、求导导得得：sin ,xyx 、反反三三角角函函数数的的导导数数31cos.y y 由由此此得得 211,cos1sinyyy 21(arcsin ).1xx 即即有有 y=y(x)arcsin ,( 1,1),(, ),2 2yx xy 设设则则 21(arccos );1xx 21(arctan );1xx 同同理理，我我们们有有21(arccot).1xx 解解 由由(sin )(1)( )(lnsin )cot ,sintftttt 复复合合函函数数求求导导法法则则f=lnu ,u=sint9(1)( )lnsin ,( )41(2)( )arcsinarctan,(1).2f ttf

14、tf tft 例例求求下下列列函函数数在在指指定定点点处处的的导导数数, , 求求； 求求4( )cot1.4tft 得得, , y=arctanu,u=1/t22211211( )1( )2ttt 由由1(2)( )(arcsinarctan )2tftt221( )( )211( )1( )2tttt 1(arcsin)(arctan )2tt222111121(1).12131( )1( )12f 从从而而( )( )()v xv xu xu x y=arcsinu ,u=t/20010().ktmtmtmmk 例例质质量量为为的的放放射射性性物物质质，经经过过时时间间 后后，所所剩剩的

15、的质质量量 与与时时间间 的的关关系系为为e e为为正正数数，是是该该物物质质的的衰衰减减系系数数 ，求求该该物物质质的的衰衰减减率率提示与分析：提示与分析：衰衰减减率率变变化化率率质质量量关关于于时时间间的的导导数数质质量量随随时时间间的的增增加加而而减减小小. .解解 物物质质的的衰衰减减率率就就是是质质量量 对对时时间间mt的的导导数数，即即00()()ktktmmmktttt d dd dd de ee ed dd dd d0.ktkmkm e e作业4、偶数号5、奇数号 ()() ( )( )()()( )( )()( )()( )()( )()( )( )()( )( )()()(