广义函数的常微分方程

1、广义函数的常微分方程                        耿俊         （兰州大学数学系       数学与应用数学专业）摘要  本文考虑了一般形式的常微分方程（

2、组），给出了m阶广函解存在的充要条件，并在 中给出了其求解方法。关键字  常微分方程（组）；广函解；存在性1引言近年来，人们对常微分方程及泛函微分方程在不同的广义函数空间中其解的存在性产生了极大的兴趣，在许多重要领域里要应用到广义函数理论，如理论物理和数学物理，偏微分方程理论，泛函分析等等。尤其常微分方程广义函数解的存在性，在量子力学及数学物理的其他领域有重要意义，然而，在这一方面的研究还没有令人满意的发展，今年来，有不少文献进行了讨论，对单个方程（包括高阶方程）已有比较完备的情况（见6及其所引）。但对方程组（一般不能化为等价的高阶方程）则还知之甚少，本文就是致力

3、于这方面的探讨。2若干符号和定义 a.  是定义在 上的m次可微函数全体   ( )= b.  supp =  称为 在 上的支集，如果  的支集是紧集，则称  有紧支集 c.       是  中有紧支集的函数全体    d.  

4、0;D( ) 是      上赋以“归纳极限拓扑”的拓扑空间e.      是 D( )  上的连续线形泛函全体。         3 中的常微分方程（组） 在常微分方程的学习中，我们已经知道了形如 + 的n阶非齐线形常微分方程的初等解法。下面我们将在广义函数类的意义下来描述此类方程的全部

5、解的集合，此时，  (i=0,1,.n)是给定的无限可微函数，y(x)  和b(x) 是广义函数。首先，考虑最简单的方程                  （1） =0                

6、                         (1)1 / 9由广义函数的基本思想可知，广义函数是定义在某个函数空间上的线形泛函，这个函数空间9称为基本空间）中的元应该是充分光滑的。本文所考虑的基本空间为 D( )  。故而，（1）式定义了    上的一个线形泛函：

7、某一线形空间上的泛函，既是一种对应关系：使对该空间上的任一    （我们的例子中，该空间是   ，故     ）对应于一实数（有时也可能是复数，即复泛函）记作L( )   。线形泛函即适合L(     的泛函，所以（1）是一个线形泛函，即是说，一个函数可以生成一个泛函。这“泛函”（仍记作  ）我们说是对偶于    的。其次。原来

8、施于 y 上的微分运算现在对偶的移到了   上，而上文已经提到，  中的元是充分光滑的，这就使得我们的运算能够合理而方便的进行下去。上世纪苏联数学家Sobolev 提出广义解时的基本思想就是这样的。下面我们将遵循这一基本思想来给出（1）式的解。从而可知，（1）式即为                     &

9、#160; （   = =0     (2) 是任意的基本函数，泛函 y 是定义在可表示为其他基本函数的导数的基本函数集   上的。而我们必须把泛函y  的定义扩展到整个基本空间  D( )  中去。为此，我们有下面的引理。引理1：基本函数 可以表示为某一基本函数的导数的充要条件是      

10、60;                                           (3)证明：（必要性）设 为一基本函数，则一题意有 =&#

11、160;     则有                      =   = =0（充分性）若（3）式成立，则需证明     是基本函数，。不妨设  =    因 

12、60; 是基本函数，故   也和  一样是无限可微的，而且由条件（3）可知，   在有限区域之外为零，所以，其为基本函数。引理2：若   是某一个具有性质    =1  的基本函数，则任意的基本函数    可以表示为             

13、0;      =  +                             (4)其中 满足条件（3）证明：结论是自明的。+对（4）式。两边同时用泛函y作用，便有    &#

14、160;       (y, )=(y, )  +(y, )                                 (5)由于 &

15、#160;可视为某一基本函数    的导数，故由（2）式有          (y,  =0因而（5）式等价于           (y,                

16、                        (6)    从而可以看出：如果所求泛函 y 对基本函数    给定了数值，那么它对任意的函数  也是唯一确定的饿。例如，假定(y,     

17、  是一个任意固定的数，那么等式（6）给出了                 (y, )=  = 即表示广义函数 y 是一个常数   。不难看出，在广义函数类中，方程（1）有一般解 y=c  （c为常数），也即（1）在广义函数类中除古典解外无其他解。下面我们将考虑形如  

18、;                                         (7)的齐次方程组（其中  是x  的无限可微函数）为方便起见，方

19、程组（7）可以改写成如下向量的形式                                               &

20、#160;           (8)其中，              A=        Y= 在通常意义下考虑方程组（7），可知其一定存在可逆的基解矩阵，记作U ，做变换Y=UZ    ，它把未知数Y

21、60; 变成Z  ，代入（8）式有                   因为 U 是基解矩阵，故满足（8）式，即         代入上式即可得出          &#

22、160;         U 两边同时左乘   ，有                         由前面的结论可知，Z  亦为常数，从而可以得出：Y=UZ  是基础解系的向量的

23、线形组合。下面考虑非齐次的情况。   首先考虑最简单的非齐次方程                                    =f      

24、;                (9)其中f 是已知的广义函数，y  待定。我们知道，一阶非齐线形方程的通解结构就是 一阶线形方程的通解加上一阶非线形齐次方程自己的一个特解构成，由本文开头可知，齐次方程的一般解是y=c  =常数，故而我们需要再找出（9）式的一个特解，类似与前面的做法，方程（9）与方程      &#

25、160;                  （y,- ）=(f, )等价，此处   仍为任意的基本函数，同样的，泛函 y 也只对于作为一个基本函数    的导数的基本函数   有定义，即只定义在本文开始提到的流行   上，故仍需要把泛函y的定义扩展到

26、全空间 D( )   上。类似于齐次方程的做法：考虑满足   =1         的基本函数    并把任意基本函数  表示为                = dx  

27、0;+ 其中        ，因此，对于每一个   ，取它在子空间    上的：“投影”   与它唯一对应，令              (           

28、;                         (10)可知，这样建立起来的泛函是线形的，也是连续的。于是，方程（9）的全部解可写成                  

29、; y=  的形式，其中  由（10）式给定。再看非齐次方程组                         （11）其中   为广义函数， 是通常的无限可微函数，（ i =1，2，。 m ）同样，先把方程组（11）写

30、成向量的形式                                                 

31、   (12)   其中                                           

32、A=        Y=                            作变换 Y=UZ （ U 是相应于齐次方程组的基解矩阵，即满足关系式    &#

33、160;    ）  代入（12）式有                                U =f 对上式两边同时左乘以    ，得到 &

34、#160;=  f  ，显然，该式已经具有了（9）式的形式。最后，我们考虑高阶的非齐次方程                                    (13 )其中， 

35、  是无限可微的函数，f  是任意一个广义函数。(i=1,2,m)对此，作如下代换                  所以               代入（13）式，则（13）式可化为   

36、0;                                      结果，求形如（13）的方程组了进一步地归结为求形如（9）的方程的解。4 对偶空间中广函解的存在性设A(t),B(t) 是

37、在t=0 的邻域内充分光滑的l×n  阶函数矩阵（ A(t)  至少m+1  阶泰勒可展，B(t)  至少m  阶泰勒可展）考虑常微分方程组                A(t) + B(t)X=0       

38、60;                            (14)其中， X  是n  维常向量。我们先有下面的定理：如果一个广义函数 X ，它的支集为 0   ，那么它必是  

39、0;函数及其导数的有限线形组合：                   X=    这里 m 为某正整数，   为常系数。且这个表示式唯一。此处证明从略（具体可参见3）  有了上面的定理，不妨假设方程组（14）有下面形式的广义函数解：     

40、0;            X(t)=   其中   ,  为n 维常向量，   K=0,1,m             。代入（14）可得       

41、60;               A(t)   (t)+   B(t)  =0（  即    （A(t)  + B(t)  ） (t)+ B(t)   (t)B(t)   (t)

42、=0     不妨设 =0  ，故上式化简为                   （A(t)  + B(t)  ） (t)+ B(t)   (t)      (15)将&

43、#160; A(t),B(t) 作如下泰勒展开：   A(t)=    B(t)=  式中                             i=0,1, m运用公式 =&#

44、160;可得                        (A(t)  + B(t)  ) (t)            =  (t)  

45、           =   (k+1-s)!    且易知        B(t) =(  )                  

46、;         =  故与（15）结合可得           (k+1-s)!+    (16) 对  集项，令K+1 S=J，且S0,(对S0，令  ，则（16）式化为           +