二次问题的常见策略

1、讲座 1 - 二次问题的常见策略二次问题是近几年来高考的压轴题，围绕二次函数能全面考查对函数性态的分析，以二次函数为载机把计算、证明、图象融合起来，把方程、不等式、绝对值等知识融合起来，体现了在知识交汇点上命题思想，既考查运算能力，又考查推理能力。下就处理二次问题的常见策略作一介绍。一、 数形结合思想。 例1、设函数f(x)=ax2+8x+3（a0），对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得整个区间0，l(a)上，不等式|f(x)|5都成立，问a为何值时，l(a)最大？求出这个最大的l(a)，证明你的结论。分析：|f(x)|5的几何意义是，f(x)图象在平行直线y=±5之间。

2、由此对f(x)最高点与y=5的位置关系进行讨论。略解：（1） 当5，-8a0时，l(a)是关于x方程ax2+8x+3=5的小根 l(a)在（-8，0）上递减 l(a)l(-8)=又f(0)=30-5恒成立 x0，l(a)时，|f(x)|5恒成立（2） 当5，a-8时，如图，l(a)是关于x的方程ax2+8x+3=-5的大根 l(a)在（-，-8上递增 l(a)l(-8)=由（1）、（2）可知，当a=-8时，max=评注：l(a)的含义分两层理解，第一层视l(a)为常数，因l(a)随图象位置即a的变化而变化，第二层视l(a)为a的函数。例2、已知a0，b0，函数f(x)=-bx2+ax 讨论：对

3、任意x0，1,|f(x)|1的充要条件分析：除仿照例1方法求解，本题还可以通过构造二次函数求解略解：|f(x)|1恒成立，即 令g(x)=bx2-ax-1 b0，g(0)=-10 g(1)=b-a-10 ab-1 令h(x)=bx2-ax+1 b0，g(0)=10 或化简得： 或 进一步化简得：当b1时，化为a，b-1a当0a1时，化得：ab+1 ab+1评注：分类讨论是处理该类问题非常有用的思想方法，抛物线对称轴与区间位置关系是常规讨论标准。二、赋值法例3、设二次函数f(x)=ax2+bx+c（a0），若|f(0)|1，|f(-1)|1，|f(1)|1，求证：当|x|1时，|f(x)|。分析

4、：因f(0)、f(-1)、f(1)范围已知，故用f(0)、f(-1)、f(1)表示f(x)略解：， 评注：因f(x)由参数a、b、c确定，所以通过赋值手段找到a、b、c与已知量f(0)、f(1)、f(-1)的关系，是化归思想体现。在不等式放缩过程中，第一步利用绝对值不等式|a1±a2±±an|a1|+|a2|+|an|，对于因式|x2+x|等的化简，利用绝对值定义化简，主要是防止放缩过度。例4、已知a，b，cR，二次函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当x-1，1时，|f(x)|1，求证：当x-1，1时，|g(x)|2。略解：法一：由例3得：|g(

5、x)|=|ax+b|= 评注：由例3、例4可知，这种赋值代换方法非常有用，解决这类绝对值不等式问题非常有效。法二：|g(x)|2 |g(1)|=|a+b|=|f(1)-f(0)|f(1)|+|f(0)|2 |g(-1)|=|a-b|=|f(-1)-f(0)|f(-1)|+|f(0)|2 当x-1，1时，|g(x)|2评注：本题也可以讨论g(x)单调性，分别证明g(x)最大值不超过1，g(x)最小值不小于-1。二、 构造法例5、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c（a0），方程f(x)-x=0两个根x1、x2满足0x1x2，当x(0，x1)时，求证：xf(x)x1。略解：法一：令F(x)=f(

6、x)-x=ax2+(b-1)x+c a0，x2x10 F(x)在（0，x）上递减 F(x)F(x1)=0 f(x)x令G(x)=f(x)-x1=ax2+bx+c-x1 G(x1)=f(x1)-x1=0，g(0)=c-x1=ax1x2-x1=x1(ax2-1)0 当x（0，x1）时，g(x)0 f(x)x1评注：本题将不等式问题化归为判断二次函数值符号问题。法二：xf(x)x1f(x)-xf(x)-x10 x1、x2是f(x)-x=0两根 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x f(x)-xf(x)-x1=a(x-x1)(x-x2)a(x-x1)(x-

7、x2)+x-x1 =a2(x-x1)2(x-x2)(x-x2+)0 xf(x)x1评注：根据不等式结构特点，将f(x)看成未知量，转化为证明一个二次不等式问题，思路巧妙！二次函数的求根表达式是近几年高考题考查二次函数的一个热点。三、 夹逼法例6、已知函数f(x)=x2+bx+c（b、cR，c-2），当x时，有f(x)0，求f(x)解析式。略解： x时，f(x)0恒成立 由图象可知： 2-b+c0 2+b+c0 由+得：c-2又由已知c-2， c=-2再代入得：， b=0 f(x)=x2-2例7、已知函数f(x)=x2+ax+b，x-1，1，若|f(x)|最大值为，求f(x)表达式。略解： |f

8、(0)|=|b|， b |f(1)|=|a+b+1|，|f(-1)|=|-a+b+1| a+b+1 -a+b+1 再+得：b 由得：b=此时为， a=0 f(x)=x2-评注：利用消元思想，把相关条件向一个变量集中，或者说从两个不同角度研究同一个变量，可以准确地把握该变量的值，这就是夹逼法。五、灵活运用知识， 例8、已知函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，a0，当x-1，1时，|f(x)|1，若g(x)在-1，1上最大值为2，求f(x)。略解： a0， g(1)=a+b=2 f(1)-f(0)=2，f(0)=f(1)-2 -1f(1)1， -3f(0)-1又-1f(0)1， f

9、(0)=-1 f(x)-1=f(0) 0-1，1， x=0为f(x)图象对称轴 ，b=0， a=2 f(x)=2x2-1例9、已知函数f(x)=在区间m，n上的值域是3m，3n，求m、n之值。略解： f(x)= 3n，n m，n（-，1 f(x)在m，n上递增 解之得：评注：二次函数在闭区间上的最值是二次问题重要题型之一，例8、例9从二次函数最值的性质出发，活用了二次函数的性质。开口向下的抛物线，当对称轴在已知区间内时，在顶点取得最大值，闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值。总之，考查二次问题，不仅考查配方法，待定系数法，夹逼法，还重在考查数形结合、分类讨论、等价化归、构造等思想方法，很好地

10、体现了命题以立意为主的意图。巩固练习一、 选择题1、（1）已知函数f(x)=ax2+(1-3a)x+a在区间1，+）上递增，求a的取值范围是 （ ）A、1 B. （-，1 C. 1，+） D. 0，1 （2）已知函数在-1，+）上是减函数，则实数a的取值范围是 （ ）A（-，-6 B. （-，-6） C. （-8，-6 D. -8，-6 （3）二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，又f(x)在0，2上是增函数，且f(a)f(0)，那么实数a的取值范围是 （ ）A0，+） B. （-，0 C. 0，4 D. （-，04，+）2、已知不等式ax2-bx-10的解集是，则不等式x2-bx-

11、a0的解集是 （ ）A（2，3） B. （-，2）（3，+）C. （） D. （-，）（，+）3、若方程2sin2x-sinx+(a-1)=0有实数解，则a的取值范围是 （ ）A（-， B. -2， C. 0， D. -1，二、 填空题4、设函数f(x)=lg(ax2-4x+a-3)（1） 若f(x)的定义域是R，则a的取值范围是_。（2） 若f(x)的值域为R，则a的取值范围是_。（3） 若f(x)在区间（-4，-1）上递减，则a的取值范围是_。 5、在ABC中，tgA与tgB是方程x2+mx+m+1=0的两根，则m的取值范围是_。 6、二次不等式x2-(a-2)x+3a0在区间（-2，1）

12、内恒成立，则实数a的取值范围是_。三、 解答题7、 已知的最大值等于3，二次函数g(x)=ax2-x-1（1） 求k的值及f()的最小值；（2） 若对于任意、xR，不等式f()g(x)恒成立，求实数a的取值范围。8、 已知a、b、c为实数（ab），而r为正实数，（1） 证明：方程(x-a)(x-b)=r有两个不相同的实数根； （2）设方程(x-a)(x-b)=r有两个不相等的实数根为、，试比较、a、b的大小。 9、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c（a0），二次方程f(x)=x的两个根x1、x2适合0x1x2-，当0ux1时，试比较x1与f(u)的大小关系。 10、设二次函数f(x)=ax2+bx+c（其中a0）（1） 已知|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1，试求f(x)的解析式；（2） 已知|f(0)|1，|f(-1)|1，|f(1)|1，求证：当|x|1时，|f(x)|.变式1：已知函数f(x)=ax2+bx+c（a、b、cR），当0x1时，|f(x)|1，求|a|+|b|+|c|的最大值；变式2：已知a、b、cR，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，p(x)=cx2-bx+a，q(x)=acx4+b(a+c)x3+(a2+b2+c2