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文档简介

1、 三重积分的应用教学目的：掌握三重重积分在体积，质量，重心、转动惯量等方面的应用。 教学重点：空间物体的质量，重心、转动惯量的求法。教学难点：三重积分的应用。教学内容：一、 立体的体积由三重积分的几何意义知 例1 求曲面与所围 成的立体体积.解 由锥面和球面围成，采用球面坐标，由 由三重积分的性质知 , 二、 空间物体的质量由三重积分的物理意义知 ，当 物体在 处的体密度为时，其质量为 例2 设一物体 是由平面上的曲线绕轴旋转而成的曲面与平面=5所围成的闭区域， 在任一点的体密度为 = ，求物体的质量。解 曲线绕 轴旋转得的旋转抛物面方程为 ,故由抛物面与z=5所围成知，在xoy 平面上的投影

2、为 由三重积分的物理意义知. 物体的质量为 :M= = = 三、重心设是密度为的空间物体，在上连续，因的质量为，对平面的静力矩为，由重心坐标的概念有，以分别表示的重心的各个坐标，应有，所以类似地有: 若为常数，则 例3 求密度均匀的上半椭球体的重心解： 设椭球体方程为，表示由对称性知=0， 而 = 三、转动惯量质点对轴的转动惯量 是质点的质量和到转动轴的距离的平方的乘积，即. 当讨论空间物体的转动惯量问题时，利用讨论质量、重心等相由的方法可得：设空间物体的密度函数为，它对轴的转动惯量为=，同样地=，=，对平面的转动惯量为=，对平面的转动惯量为=，对平面的转动惯量为=，对原点的转动惯量为=.例4 设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量解： 设球体由式表示，密度函数为，则它对切平面的转动惯量为=.例5 .求边

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