一基础知识椭圆的定义

1、第六节 椭圆一基础知识：椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质椭圆的图象和性质数学定义式|MF1|+|MF2|=2a焦点位置yxo x轴yxoy轴图形标准方程焦点坐标F1(-c, 0 ), F2( c, 0 )F1(0, -c, ), F2( 0, c )焦距|F1F2| = 2c顶点坐标(a, 0 ), ( 0, b )(0, a ), ( b, 0 )a, b, c的关系式a2 = b2 + c2长、短轴长轴长=2a, 短轴长=2b对称轴两坐标轴离心率 ( 0 e 1)说明：1定义和方程的关系：若| PF1 | + | PF2 | = 26, 其中F1、F2如下所示，写出动点P的方程（1）

2、F1( -12, 0 ), F2( 12, 0 ) （2）F1( 0, -12 ), F2( 0, 12 )2椭圆焦点位置的判断：,3根据方程求基本量：根据下列方程写出椭圆的焦点、顶点坐标，长、短轴的长和离心率（1） （2）例1求下列椭圆的标准方程（1）焦点坐标为(3, 0 ), 短轴的长等于8 （答：）（2）焦距为8, a =, 焦点在y轴上 （答：）（3）离心率为, b = 3 （答：或）例2画出下列椭圆的图形（1） （2）二常用解法：椭圆定义的应用，离心率与角度的关系，中心不在原点的椭圆方程例3设点F1、F2是椭圆的焦点，P为椭圆上一点，求PF1F2的周长.解： a = 5, b = 3

3、 c = 4 PF1F2的周长= |PF1| + |PF2| + |F1F2| = 2a + 2c = 2( 5 + 4 ) = 18例4已知三角形ABC的两个顶点是A( 0, 2 ), B( 0, -2 ), 三角形的周长是10，求顶点C的轨迹方程.解： |AB| + |AC| + |BC| = 10, 且|AB| = 4 |AC| + |BC| = 6, 即知顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆而 2a = 6 a = 3, c = 2, 即b2 = a2 - c2 = 5 顶点C的轨迹方程是： ( x 2, 去掉A、B两点)yqoxBAF例5已知椭圆一焦点与短轴两端点连线的夹角为90，求椭

4、圆的离心率.解： |FO| = c, |OA| = b, |AF| = a 在AOF中, , q = 45 cos45= 椭圆的离心率e =说明：离心率与角度关系：例6已知椭圆的右焦点F( 3, 0 ), F到右顶点距离为3, 求椭圆的方程.解：椭圆的右焦点F到右顶点距离为：a -c = 3 a -3 = 3 a = 6 b2 = a2 - c2 = 27所求椭圆方程为：思考：若椭圆两焦点把长轴三等分，a与c之间满足什么关系式？你能求出椭圆的离心率吗？例7画出曲线4x2 + 9y2 -8x + 18y -23 = 0的图象. 并求它们的焦点坐标，对称轴方程.yx0y-30x-223解：先把方程

5、配方: 4( x -1 )2 + 9( y + 1 )2 = 36 令 x = x -1, y = y +1, 即把坐标原点平移到O( 1, -1 ) 方程可化为: a = 3, b = 2, 其图形如图所示.又在新坐标系中，焦点坐标是(, 0 ), 对称轴：x = 0, y = 0, 准线方程： 在原坐标系中，焦点( 1 , 0), 对称轴方程：x - 1 = 0, y + 1 = 0 说明： 利用坐标轴平移化简方程：先配方为f( x - a, y -b ) = 0的形式，再令：x = x - a, y = y -b, 即可化简方程. 利用平移公式x = x -1, y = y +1求焦点、

6、对称轴及准线练习：1已知P点在椭圆上，F1、F2是两个焦点，若|PF1| = 6，求|PF2|.2在ABC中，BC = 24，周长为50，求顶点A的轨迹方程.3中心在原点，长轴在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，求椭圆方程.4写出曲线4x2 + 9y2 + 8x -36y + 4 = 0的焦点坐标、离心率.5以椭圆的两个焦点为直径端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，求椭圆的离心率三综合应用：例8椭圆的长轴是短轴的3倍, 过点P( 3, 0 ), 求椭圆的标准方程解：设所求椭圆方程为和 2a = 3(2b) a = 3b, 点P( 3

7、, 0 )在椭圆上, 分别代入以上方程 b2 = 1, a2 = 9和 b2 = 9, a2 = 81 椭圆方程是例9已知点P在椭圆上，F1、F2是椭圆的焦点，且PF1PF2，求yoxPF2F1（1）| PF1 | PF2 | （2）PF1F2的面积解：（1） a = 7, b = c = 5又 |PF1| + |PF2| = 14, 两边平方得： |PF1|2 + |PF2|2 + 2|PF1|PF2| = 142而在RtPF1F2中，|PF1|2+ |PF2|2 = |F1F2|2 = (2c)2 = 100 100+ 2|PF1|PF2| = 196 |PF1|PF2| = 48（2）根据（1）可知：PF1F2的面积S =|PF1|PF2| = 24（平方单位）练习：1根据下列条件求椭圆标准方程（1）以直线3x + 4y -12 = 0与两坐标轴的交点分别作为顶点和焦点（2）过点( 3, -2 )且与椭圆4x2 + 9