第三章三节MM1排队模型

1、一.标准的M/M/1模型（M/M/1/ ）1.问题的一般提法设：泊松输入/负指服务/单服务台/系统无限制/顾客源无限制求：（1）系统状态概率Pn； （2）系统运行指标Ls，Lq，Ws，Wq。2. 系统状态概率（1）利用状态转移图列出平衡方程 状态转移图是处理稳态M/M/C系统的一种工具，设到达与服务率分别为 ，则01由此列出平衡方程：和 . . n-1nn+10 2 1 可解得状态概率：记 ，称为服务强度，规定 （为什么？），则（2）由平衡方程解得状态概率001, nnPPP / 11010PP n qLLqWW（1）Ls与Lq(11)(1dd)(1dd)(1dd)(1(11nn数，由期望定义

2、，表示系统中的平均顾客。其中）呢？而不是问题：为什么因为是均值。（2）Ws与Wq时间，即逗留时间减去平均服务平均等待时间等于平均均逗留时间于其参数的倒数，故平而负指数分布的均值等的负指数分布，服从参数为首先可证，逗留时间 （3）上述4个指标之间的关系里特公式 1 。统容量无限制，故系统率。本模型中因系际进入，称有效到达率，即实应为一般的里特公式中 例2 某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达数服从泊松分布，平均每小时4人；修理时间服从负指数分布，平均需6分钟。求：（1）修理店空闲的概率；（2）店内有3个顾客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）店内顾客的平均数；（5）顾客在店内的平

3、均逗留时间；（6）等待服务的顾客平均数；（7）平均等待修理时间；（8）必须在店内消耗15分钟以上的概率。小时，人分钟人小时，人模型，解：此为标准的52/10/61/4M/M/1。人）小时小时）人人）小时小时）人0.223)41(1)41(1)41( (8);/(151101611 (7);/(1545232 (6);/(611 (5);/(3264 (4);521 (3)0.0384;)53()52()(1 (2);531 (1)1.5414)(1003330二.系统容量有限的M/M/1模型（M/M/1/ ）/K 1.与（M/M/1/ ）的区别(1) 01;, (2) 0, (1)0(1)eK

4、KKnKnKnKPPP系统状态， ， ，进入系统的速率，当故平均到达率0 (1)(1) KPP注：由于系统稳态时应达到统计平衡，即进入速率应等于离去速率，故。2. 状态概率010000000010111111, , 1, 1111, , 1, 1nnKKKnnKnnnPPPPPPPPPPKPPPK先 解 得，再 由可 解 得，故01111(),1,1nnnK -KPPPPP nKPP由此列出平衡方程：nn-1 . . n+1K-1K2 101100(K1); ,1112(1) KKsnsKnqssseqqeKLnPLLLPLWLW，1，。为有效到达率。其中例3 某修理站只有1个修理工，且站内最

5、多只能停放3台待修理的机器。设待修理的机器按泊松流到达，平均每小时到达1台；修理时间服从负指数分布，平均每1.25小时可修理1台。试求：（1）站内空闲率；（2）顾客损失率；（3）有效到达率；（4）站内平均队长；（5）机器为修理而需等待的平均时间。，排队系统，解：此为。小时；台)2.23(0.7020.122)(12.44)(1 (5)2.44(1.2511.2551.2511.2511)(41 (4)0.702;0.298)(11)(1 (3)0.298;0.1221.25 (2)0.122;1.2511.25111 (1)05555440445140。分钟，辆分钟，辆，解：43/31/414

6、1 428. 073 ,74169143111 , 1 )(0120PPPNa154. 017527 ,1756425681143111 , 3 )(03340PPPNb072. 0304. 0237. 0 ,304. 0178. 0143111 , 5 )(05560PPPNc三.顾客源有限的M/M/1模型（M/M/1/ ）/m1.与（M/M/1/ ）的区别 : )/(; :/ (2);10 (1)）。次（每人率同即单位时间每人到率，表每个顾客的平均到达人（每人率不同）即单位时间平均到率，表全体顾客的平均到达）（的含义，系统状态mmn . )( )()()( )( , 0,/)3(seLmn

7、EmnEmEnmEmnmnnmm故平均到达率（为什么？）（）：（与状态无关）；）：（实际进入率说明（进入率与状态有关）：如m=5，n=3，如下图所示丙乙甲3进入的或甲或乙或丙，故3111101-,1,)( )1(mmnnnPPmnPm-nPPnmPPm由此列出平衡方程：m) 1(m) 1(nm)(nmnn-1 . . n+1m-1m2 102. 状态概率0001!, 1,()!nmnnnPmmnmPPnmmn解得).1 ( ,1 ;)(),(00PmLPLLLmLLLmsqsseqsse解得另一方面，由里特公式，问题： 的直观意义为何？sL 某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分

8、布，平均连续运转时间为15分钟。有1个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次需12分钟。 求（1）修理工空闲的概率；（2）5台机器都出故障的概率；（3）出故障机器的平均台数；（4）等待修理机器的平均台数；（5）每台机器的平均停工时间；（6）每台机器的平均等待修理时间。，排队系统，解：此为8 . 01512121151)5/1/(MM101234505505!5!5!5!5!5!(1) (0.8)(0.8)(0.8)(0.8)(0.8)(0.8)0.0073;5!4!3!2!1!0!5!(2) (0.8)0.287;0!1(3) 5(1 0.0073)3.76( )0.8sPPPL台；mnPimmPimmPnnmii, 1,)()!(!)()!(!1000。分钟分钟；台)(431246 (6)(4615)0073. 01 (1215 )5()(77. 2)0073. 01 (76. 3 )4(qsqWWL求（1）修理工空闲的概率；（2）5台机器都