角平分线定理的逆定理

1、角的平分线的性质定理的逆定理教学设计（一）内容角的平分线的性质定理的逆定理.（二）内容解析本节课是学生在学习了角平分线的性质的基础上， 进一步研究角平分线性质 定理的逆命题是否正确.教科书首先提出了一个具有实际背景的问题，在公路和铁路的交叉区域内建一个集贸市场，学习了角平分线的性质，学生可能猜想到集贸市场应建在公路和 铁路夹角的平分线上.教科书没有直接给出答案，而是从另一个角度引导，将角 的平分线的性质的题设和结论交换位置，所得到的结论是否仍然成立？这就引出 了 “角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”.接着让学生利用三角形全等证明这个结论.本节课学习的内容是全等三角形知识的运用和延续

2、，是今后学习圆的内心的基础.基于以上分析，本节课的教学重点是：角的平分线的性质定理的逆定理.二、目标和目标解析（一）目标1. 探索并证明角平分线性质定理的逆定理.2. 会用角平分线性质定理的逆定理解决问题.（二）目标解析达成目标1的标志是：学生能准确表述角平分线性质定理的逆定理的内容. 能 正确地写出已知、求证，能运用三角形全等的“ HL”判定方法和三角形的性质证 明角平分线的性质的逆定理.达成目标2的标志是：学生能利用角的平分线的性质的逆定理证明与角相等 的有关简单问题.三、教学问题诊断分析本节课的学习中，学生在分清角的平分线的判定的条件和结论，并进行严格 的逻辑证明过程中常常感到困难.例如

3、，在用符号语言表述判定条件和结论时， 不知“距离”应为“条件”还是“结论”.其主要原因是角的平分线的判定是以 文字命题的形式给出的，其条件和结论具有一定的隐蔽性. 教学时，教师要引导 学生分析性质中的条件和结论，正确写出已知和求证.基于以上分析，本节课的教学难点是：证明角平分线的判定定理.四、教学过程设计（一）引言上节课我们已经学习了角的平分线的性质，如果把它的题设和结论调换位置，得到的命题还是真命题吗？【设计意图】通过实际问题，复习角平分线的性质定理.（二）探索角平分线的判定定理问题1写出角的平分线的性质的逆命题.师生活动：教师提出问题，学生独立思考.追问1： 上述逆命题成立吗？你能证明这个

4、结论的正确性吗？已知：如图，QDLOA Q巳OB点D E为垂足，Q QE求证：点Q在/ AOB勺平分线上.证明： QDL OA QE! OB / QD仔口/ QEOS是直角.在 Rt QDO Rt QEC中,公共边）Q4QE （已知） Rt QDQ Rt QEO（ HL）. / QOZ QOE点Q在Z AOB勺平分线上.师生活动：教师首先引导学生写出逆命题，分析命题的条件和结论，如果学 生感到困难，可以让学生将命题写成“如果那么”的形式，最后让学生 画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程.角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线 上.用几何语言表示为：

5、QDLOA QEL OB Q亠 QE点Q在Z AOB勺平分线上.师生活动：让学生分别用文字语言和符号语言概括角平分线的判定定理. 让学生理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合.（1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集 合的纯粹性）.（2）在角的内部，至蛹的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平 分线上（而不在其他位置，渗透集合的完备性）.由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.问题2比较分析角平分线的性质和判定，填写下表：角平分线的性质角平分线的判定图形已知结论师生活动：学生独立完成表格，教师点评补充.【设计意图】让学生通过观察、猜想、推

6、理证明角平分线的判定定理，体会 研究几何问题的基本思路.通过表格将角平分线的性质和判定进行比较，让学生 体会类比的思想.反思判定，可以让学生进一步体会证明两个角相等可以利用角 平分线的判定，比证两个三角形全等更简捷.（三）巩固应用1. 如图，要在S区建一个广告牌P,使它到两条高速公路的距离相等，离 两条公路交叉处5oo m请你帮忙设计一下，这个广告牌 p应建于何处？（在图 上标出它的位置，比例尺为1： 20 000）分析：根据角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，可知点P在两条公路形成的夹角的平分线上，设公路的交点为点0,计算可知OF=2.5cm.2如图， ABC的角平分线BM CN

7、相交于点P. 求证：点P到三边AB BC CA的距离相等.分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因 此要作出点P到三边的垂线段.证明：过点P作PDL AB于 D, PE丄BC于 E，PF丄AC于F, BM是/ABC的角平分线且点 P在BM上， PD- PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PF- PE. PD=PE=PF.即点P到三边AB BC CA的距离相等.追问：点P在/A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关 系？/ PD=PF, PD丄 AB, PF丄 AC,点P在/A的平分线上（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平 分线上）结论：三角

8、形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.3如图，已知 ABC的外角/ CBD和/BCE的平分线相交于点F,求证：点F 在/ DAE勺平分线上.E4B D分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因 此要作出点F到三边的垂线段.证明：过点F作FGL AE于G, FH丄AD于 H, FML BC于M,点F在/ BCE的平分线上，FG丄AE FML BC, FG= FM又点F在/CBD的平分线上，FH丄AD, FML BC FM= FH FG= FH点F在/ DAE的平分线上.师生活动：学生独立思考，然后小组交流，派代表回答，教师适时点拔，并 板演证明过程.此时教师主要关注学生是否能够想到如何构造辅助线，并准确地描述辅助线的作法.【设计意图】通过训练，提高学生运用角的平分线的性质和判定解决问题的 能力，培养学生的推理能力.（四）小结与反思1角平分线的性质定理和判定定理有什么区别和联系？2. 应用角平分线的性质定理和判定定理时，怎样做辅助线？【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，建立知识之间的联系.（五）课后作业教科书第50页练习第1、2题.五、目标检测设计1.如图，在 ABC中，/ A=90°，Z C=50°,