量子力学习公式概念和习题（课堂PPT）

1、.1 1量子力学习题课量子力学习题课早期量子论早期量子论.2 2基本概念基本概念1. 单色辐出度：单色辐出度：2. 辐出度：辐出度：0( )( )dM TMT3. 德布罗意波：德布罗意波： 单位时间单位时间内从热力学温度为内从热力学温度为T的物体的物体单位表面积单位表面积发出的波长在发出的波长在附近单位波长范围内的附近单位波长范围内的电磁波的能量，用电磁波的能量，用M(T)表示。表示。 单位时间单位时间内从热力学温度为内从热力学温度为T的物体的物体单单位表面位表面辐射的各波长电磁波的能量总和。辐射的各波长电磁波的能量总和。与实物粒子相联系的波，又称为与实物粒子相联系的波，又称为物质波或概率波物

2、质波或概率波4. 黑体：黑体：任何温度下对任何波长的光的吸收比恒等于任何温度下对任何波长的光的吸收比恒等于1的物体的物体.3 31. 斯特藩斯特藩-玻尔兹曼定律：玻尔兹曼定律： (黑体）黑体） 40( )M TTmTb2. 维恩位移定律：维恩位移定律：m辐出度峰值对应波长辐出度峰值对应波长3. 普朗克公式及普朗克能量子假说：普朗克公式及普朗克能量子假说：2521( )1hc k ThcMTe基本规律基本规律一一. . 黑体辐射基本规律黑体辐射基本规律3022( )1hkThMTce.4 4二二. . 光电效应光电效应 光子的波粒二象性光子的波粒二象性212hmAvA金属中电子的逸出功金属中电子

3、的逸出功00UAhK红限频率（截止频率）红限频率（截止频率）光电效应的爱因斯坦方程光电效应的爱因斯坦方程光子光子Ehhp截止电势差截止电势差212cmeUmv0ceUeKeU截止电压截止电压INhheK0AeU.5 5三三. . 康普顿效应康普顿效应1.1.波长改变量与散射物质无关波长改变量与散射物质无关2001 cos2sin2chm c物理本质：入射光子物理本质：入射光子与自由电子的完全弹性碰撞与自由电子的完全弹性碰撞能量守恒能量守恒：2200hm chmc 动量守恒：动量守恒：00hhnnmcc v式中康普顿波长：式中康普顿波长： c = h /m0 c = 0.0024 nm.2.2.

4、原子量较小的物质康普顿效应明显原子量较小的物质康普顿效应明显推导过程要推导过程要清晰！清晰！0221/mmvc .6 6四四. . 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论nmhEE3）轨道角动量量子化假设）轨道角动量量子化假设2hLrmvnn2）跃迁条件）跃迁条件1.玻尔的量子理论玻尔的量子理论 1）定态假设）定态假设2.玻尔的氢原子理论结果玻尔的氢原子理论结果121nEEn21nrn r113.6 eVE 10.0529nmr 玻尔半径玻尔半径基态能量基态能量.7 74.记住几个重要的结论记住几个重要的结论 证明汞原子吸收电子的能量是不连续的实验证明汞原子吸收电子的能量是不连续的实验是是弗兰克弗兰

5、克-赫兹实验赫兹实验 玻尔氢原子理论的成功之处提出玻尔氢原子理论的成功之处提出定态假设定态假设和和能能级跃迁决定辐射频率级跃迁决定辐射频率，是现代量子力学的重要概，是现代量子力学的重要概念念3.氢原子谱线氢原子谱线22111()mnEERhcmn.8 8五五. . 德布罗意物质波假设德布罗意物质波假设2. 德布罗意关系式：德布罗意关系式：1. 德布罗意假设：德布罗意假设：2Emchhhhpmv实物粒子具有波粒二象性实物粒子具有波粒二象性3. 德布罗意波的统计解释：德布罗意波的统计解释： 在某处德布罗意波的强度与粒子在该处附在某处德布罗意波的强度与粒子在该处附近出现的概率成正比近出现的概率成正比

6、.9 9六六. . 不确定性关系不确定性关系粒子位置和粒子位置和动量之间的不确定关系：动量之间的不确定关系： 2xxp 物理意义物理意义: (1) 微观粒子微观粒子位置和动量不可能位置和动量不可能同时同时精确测定精确测定 (2) 微观粒子不可能静止微观粒子不可能静止零点能零点能的存在的存在 (3) 给出了宏观物理与微观物理的分界线给出了宏观物理与微观物理的分界线 h2Et 粒子能量和粒子能量和时间之间的不确定关系：时间之间的不确定关系： xxp xxph .1010量子力学习题课量子力学习题课量子力学量子力学 .1111一一. .量子力学基本原理之一量子力学基本原理之一波函数波函数 微观粒子的

7、运动状态可以用波函数微观粒子的运动状态可以用波函数 完全完全描述。描述。( , ) r t2,r tr tr t表示表示 t 时刻时刻, 微观粒子在空间微观粒子在空间 点出现的相对点出现的相对概率密度概率密度。r2) 要求要求2,tr单值单值3) 波函数的波函数的连续性连续性4) 粒子在空间各点的概率的总和为粒子在空间各点的概率的总和为 1 - 波函数波函数归一化归一化条件条件1) 空间任何有限体积元中找到粒子的概率为空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值有限值.1212二二. .量子力学基本原理之二量子力学基本原理之二薛定谔方程薛定谔方程22( , )( , )( , )2ir tU r

8、 tr ttm （2）其解波函数）其解波函数 是一个是一个复函数复函数。只有其模。只有其模方才有直接的物理意义方才有直接的物理意义tr,（1）它的解满足态的叠加原理）它的解满足态的叠加原理若若 和和 是薛定谔方程的解，是薛定谔方程的解，),(2tr),(1tr则则 也是薛定谔方程的解。也是薛定谔方程的解。),(),(2211trctrc（3）它是）它是非相对论非相对论形式的方程。形式的方程。定态薛定谔方程定态薛定谔方程222( )()( )0mrEUr.1313 2sin(0)nnxxxaaa 0(0,)nxxxa 本征函数：本征函数：本征值：本征值：,.)2, 1(22222nnmaEn1.

9、 一维无限深方势阱一维无限深方势阱0 (0)( )(0,)xaU xxxa.14143. 线性谐振子线性谐振子 mkkxxmxU,2121222零点能零点能(基态能量基态能量)为为:210E1,0,1,2,32Enn 能量本征值和零点能能量本征值和零点能2. 方势垒的穿透方势垒的穿透 隧道效应隧道效应 隧道效应是微观粒子波动性的体现隧道效应是微观粒子波动性的体现 已完全被实验证实已完全被实验证实, 并制成扫描隧道显微镜并制成扫描隧道显微镜 （STM ).1515三三. .量子力学基本原理之三量子力学基本原理之三力学量算符力学量算符1.1.量子力学中力学量为什么要用算符代替？量子力学中力学量为什

10、么要用算符代替？由于很多力学量中既有由于很多力学量中既有“坐标坐标”，又有，又有“动量动量”，必，必须统一在同一表象中计算其平均值。须统一在同一表象中计算其平均值。2.2.给定力学量，能够写出其对应的算符给定力学量，能够写出其对应的算符常常用用算算符符piijkixyz (能量算符能量算符) 动量算符动量算符 动能算符动能算符2222222()2mxyz哈密顿算符哈密顿算符222( )( )22pHU rU rmm 22pTm222m.1616角动量算符角动量算符Lrp i r()xLiyzzy ()yLizxxz ()zLixyyx 2222xyzLLLLijkixyzxyz 位置算符位置算

11、符rr.1717其平均值其平均值( )nrF的的本征方程本征方程( )( )nnnFrr和本征值和本征值 n可求得本征函数可求得本征函数在量子力学中，力学量用一个算符在量子力学中，力学量用一个算符 表示，表示，通过通过F1.当体系处在当体系处在 n态时，态时， 力学量有力学量有确定值确定值，即，即本征值本征值 n2.当体系处在当体系处在叠加态叠加态 时，时，( )( )nnnrCr力学量一般没有确定值，力学量一般没有确定值，2nnnFC2nC表示粒子处在表示粒子处在 的概率的概率n.1818基本对易关系基本对易关系 , 0 x y ,0yx p ,xx pi ,0zx p,0 xypp,yzx

12、L Li Lh,zxyL Li Lh不对易，不能同时具有确定值不对易，不能同时具有确定值,xyzL LL0,2xLL0,2yLL0,2zLL2L因而因而 分别和分别和 同时有确定值。同时有确定值。,xyzL LLCABBABA,算符算符 和和 的对易式的对易式AB0C0CAB和和 相互对易相互对易A, B同时有确定值同时有确定值A, B不能同时有确定值不能同时有确定值和和 相互不对易相互不对易AB.1919四四. 量子力学中的氢原子问题量子力学中的氢原子问题1、能量量子化和主量子数、能量量子化和主量子数式中式中 n 称为主量子数称为主量子数.n=1, 2, 3, 422220132nmeEn

13、2、角动量量子化和角量子数、角动量量子化和角量子数) 1( llL式中式中 l 称为角量子数或副量子数称为角量子数或副量子数.0,1, 2, (1)ln3、角动量空间量子化和磁量子数、角动量空间量子化和磁量子数lzmL 式中式中 ml 称为磁量子数称为磁量子数.lml2, 1, 0角动量在空间的取向只有角动量在空间的取向只有 (2l+1) 种可能。种可能。.2020施特恩施特恩盖拉赫实验盖拉赫实验乌伦贝克和高斯密特假设乌伦贝克和高斯密特假设 - 电子自旋假设电子自旋假设自旋磁量子数自旋磁量子数21sm4、电子自旋、电子自旋电子自旋角动量在外磁场方向上的分量电子自旋角动量在外磁场方向上的分量 z

14、sSm 自旋角动量大小自旋角动量大小3(1)4Ss s自旋量子数自旋量子数s=1/25、原子的电子壳层结构、原子的电子壳层结构主量子数：主量子数：n=1, 2, 3, 4, K, L, M, N 最大电子数：最大电子数：2n2角量子数：角量子数：l=0, 1, 2, 3, s, p, d, f 最大电子数：最大电子数：2(2l+1).2121四个量子数四个量子数 (1) 主量子数主量子数 n 大体上确定原子中电子的能量大体上确定原子中电子的能量 (2) 角量子数角量子数 l 确定电子的轨道角动量确定电子的轨道角动量 (3) 磁量子数磁量子数 ml 确定轨道角动量在外磁场方向上的分量确定轨道角动

15、量在外磁场方向上的分量 (4) 自旋磁量子数自旋磁量子数 ms 确定自旋角动量在外磁场方向上的分量确定自旋角动量在外磁场方向上的分量电子以四个量子数为标志的可能状态数分布如下：电子以四个量子数为标志的可能状态数分布如下： n , l , ml 相同相同 ，但，但 ms 不同的可能状态有两个。不同的可能状态有两个。 n , 相同相同 ，但，但 l , ml ，ms 不同的状态有不同的状态有 1202(21)2nlln 个，组成一个壳层。个，组成一个壳层。 n , l , 相同相同 ，但，但 ml ，ms 不同的可能状态有不同的可能状态有 2( 2l +1)个，个， 组成一个次壳层。组成一个次壳层

16、。.22221）全同粒子系）全同粒子系四四. 量子力学基本原理之四量子力学基本原理之四全同粒子体系全同粒子体系全同粒子所组成的体系中，任意二全同粒子相互交全同粒子所组成的体系中，任意二全同粒子相互交换位置，不引起体系物理状态的改变。换位置，不引起体系物理状态的改变。全同性原理全同性原理全同粒子系的特征：全同粒子系的特征：全同粒子系波函数具有的交换对称性。全同粒子系波函数具有的交换对称性。全同粒子：全同粒子：.2323在一个原子系统内，不可能有两个或两个以上的电子具有在一个原子系统内，不可能有两个或两个以上的电子具有相同的状态，亦即相同的状态，亦即不可能不可能具有具有完全相同完全相同的的四四个量

17、子数。个量子数。 a. a.泡利不相容原理泡利不相容原理原子系统处于正常状态时，每个电子趋向占有原子系统处于正常状态时，每个电子趋向占有最低的能级最低的能级b.b.能量最小原理能量最小原理2）原子中的电子分布）原子中的电子分布可用可用（ n+0.7 l ) 的值确定能级的高低。的值确定能级的高低。能级能量高低次序如下：能级能量高低次序如下：1 , 2 , 2 , 3 , 34 , 3, .sdsspsp.2424基本问题基本问题1 1热辐射问题热辐射问题4. 氢原子中谱线波长、能级跃迁频率、电离能及氢原子中谱线波长、能级跃迁频率、电离能及定态能级的计算定态能级的计算2. 光电效应问题光电效应问

18、题3. 康普顿效应问题康普顿效应问题5. 德布罗意波长的计算德布罗意波长的计算6. 测不准关系的简单应用测不准关系的简单应用.2525(1) (1) 定态薛定谔方程对一维问题的简单应用定态薛定谔方程对一维问题的简单应用基本问题基本问题2 2一维无限深势阱薛定谔方程解的物理意义一维无限深势阱薛定谔方程解的物理意义谐振子的能量谐振子的能量隧道效应及扫描隧道显微镜隧道效应及扫描隧道显微镜一维定态问题解所得结果的量子图象与经典图像区别一维定态问题解所得结果的量子图象与经典图像区别(2) 四个量子数及其物理意义四个量子数及其物理意义(4) 电子自旋及施特恩电子自旋及施特恩-格拉赫实验格拉赫实验(5) 原

19、子的电子壳层结构，泡利不相容原理，能量最低原理原子的电子壳层结构，泡利不相容原理，能量最低原理(3) 量子力学中的算符量子力学中的算符.2626例例1: 实验发现基态氢原子可吸收能量为实验发现基态氢原子可吸收能量为12.75ev的光子的光子. (1)试问氢原子吸收该光子后将被激发到哪个能级试问氢原子吸收该光子后将被激发到哪个能级? (2)受激发的氢原子向低能级跃迁时受激发的氢原子向低能级跃迁时,可能发出哪几可能发出哪几 条谱线条谱线? 定性画出能级图以及跃迁图定性画出能级图以及跃迁图. (3)在该能级上电子轨道半径，电离能是多少？在该能级上电子轨道半径，电离能是多少？ (4)与该能态对应的极限波长是多少？与该能态对应的极限波长是多少？.2727例例2. H2分子中原子的振动相当于一个谐振子，其劲度分子中原子的振动相当于一个谐振子，其劲度系数为系数为 k=1.13103N/m，质量是，质量是m=1.6710-27kg。此分子的能量本征值（以此分子的能量本征值（以eV为单位）多大？当此谐为单位）多大？当此谐振子由某一激发态跃迁到相邻的下一激发态