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1、第二章 二阶线性偏微分方程的分类1把下列方程化为标准形式：（1）解：因为所以该方程是抛物型方程，其特征方程为。它只有一族实的特征线在这种情况下，我们设，（或令，总之，此处是与无关的任一函数，当然宜取最简单的函数形式或）。方法一：用抛物型方程的标准形式先算出：即方法二：应用特征方程，作自变量变换，求出代入原方程得，（2），解：因为，所以该方程是双曲型的其特征方程为，特征线为和。故可令，在双曲型方程的标准型式，中，先算出，即，（3）解：因为所以该方程是椭圆型的，其特征方程为特征线为：和，故可令，为计算方便，又令在椭圆型方程的标准形式：中，先算出，即。改变自变量、的记号为、，则（4）解：（i）如，则

2、，该方程为双曲型。其特征方程为：，和其特征线为：和故可令：，在双曲型方程的标准形式中，先算出所以原方程化为（ii）如，则，该方程为椭圆型。其特征方程为和特征线为和故可令，为方便计，又令，或则，,原方程为,即。把符号换成，就有。（5）。解：，所以特征方程为。（i）如，则，所以方程是双曲型的。特征线：和或改写为及令 ， （1）， （2）， （3）将（1）减（2）式得代入（3）就代成标准形。（ii）如，则，则，则此方程为椭圆型。特征方程为：，特征线为：和令，则，方程为，即。（6）。解：故方程是椭圆型，特征方程：，特征线为：，令 则有，原方程变为，。（7）。解：，故方程为双曲型。特征方程：，特征线：，

3、。令 ， （1）， （2） 则 ， ， 方程成为，即， （3）（1）+（2）有 代入（1）由 2简化下列常系数方程：（1）。解：试作函数变换，其中和是待定常数，于是以此代入原方程，约去公共因子后得：令，即，则一阶偏导数和的项消去，方程简化为：（2）解：与（1）题一样，试作函数变换，并以，及代入原方程，约去公共因子后得：如令则项被消去，如要项也被消去，则必须，即，即，即该常微分方程简化为（3）解：作函数变换，并以，及代入原方程，约去公共因子后得如令，则项消失；如要项也消去，则必须，即才可能。所以，作出函数变换后，方程简化为（4）。解：作函数变换，并以，及代入原方程，约去公共因子后得：如令，即则方程简化为（5）解：如直接作函数变换，该方程不能化简，所以，必须先作自变量的变换先消去项，然后再作函数变换，消去，项才行。（i）因为，该方程为椭圆型，其特征方程是：，即和特征线为：

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