数字滤波器的设计

1、第七章第七章 数字滤波器的设计数字滤波器的设计概述概述7.1IIR数字滤波器设计数字滤波器设计7.2 FIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计7.3智能仪器中常用的数字滤波算法简介智能仪器中常用的数字滤波算法简介内容提要内容提要 v本章主要介绍本章主要介绍IIRIIR数字滤波器和数字滤波器和FIRFIR数字滤波器的数字滤波器的常用设计方法，简单介绍智能仪器仪表中常用的常用设计方法，简单介绍智能仪器仪表中常用的数字滤波算法。数字滤波算法。 第一节第一节 概述概述v一个数字滤波器可以用一个一个数字滤波器可以用一个N N阶差分方程来描述，阶差分方程来描述，即即01( )()()MNrkrky nb x

2、 nra y nk（7-1） v或者以它的系统函数或者以它的系统函数H(z)H(z)来描述来描述01( )1MrrrNkkkb zH za z（7-2） 第一节第一节 概述概述v数字滤波器的设计大致包括以下数字滤波器的设计大致包括以下4 4个个步骤步骤：v1 1）根据任务需要，确定数字滤波器应达到的性能根据任务需要，确定数字滤波器应达到的性能指标，如通带截止频率指标，如通带截止频率 、阻带截止频率、阻带截止频率 、通、通带起伏带起伏 等。此外还必须确定采样周期等。此外还必须确定采样周期T T或采样频或采样频率率 。v2 2）确定数字滤波器的系统函数确定数字滤波器的系统函数H(z)H(z)或或h

3、(n)h(n)，使其，使其频率特性满足技术指标要求。频率特性满足技术指标要求。 pssF第一节第一节 概述概述v3 3）用一个有限精度的运算去实现用一个有限精度的运算去实现H(z)H(z)或或h(n)h(n)，包，包括选择合理的网络结构、恰当的有效字长，以及括选择合理的网络结构、恰当的有效字长，以及有效数字的处理方法等。有效数字的处理方法等。v4 4）确定工程实现方法。用实际数字系统（通用计确定工程实现方法。用实际数字系统（通用计算机软件或专用数字滤波器硬件）实现算机软件或专用数字滤波器硬件）实现H(z)H(z)或或h(n)h(n)。第二节第二节 IIR数字滤波器设计数字滤波器设计v设计设计I

4、IRIIR数字滤波器的方法可以归纳为两类：数字滤波器的方法可以归纳为两类：v( (一一) )模拟模拟数字转换法数字转换法v( (二二) )是直接设计法是直接设计法v利用模拟滤波器成熟的理论和方法来设计利用模拟滤波器成熟的理论和方法来设计IIRIIR数字数字低通滤波器的设计过程是：按照技术要求设计一低通滤波器的设计过程是：按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传递个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传递函数函数 ，再按一定的转换关系将，再按一定的转换关系将 转换成数转换成数字低通滤波器的系统函数字低通滤波器的系统函数 。这样设计的关键。这样设计的关键问题就是寻找这种转换关系，

5、将问题就是寻找这种转换关系，将S S平面上的平面上的 转换成转换成Z Z平面上的平面上的 。为了保证转换后的。为了保证转换后的 稳稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：)(sH)(sH)(zH)(sH)(zH)(zHv1 1）因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍）因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。模拟滤波器因果稳定要求其传递是因果稳定的。模拟滤波器因果稳定要求其传递函数函数 的极点全部位于的极点全部位于S S平面的左半平面；数平面的左半平面；数字滤波器因果稳定则要求字滤波器因果稳定则要求 的极点全部在单位的极点全部在单位圆

6、内。因此，转换关系应是圆内。因此，转换关系应是S S平面的左半平面映射平面的左半平面映射至至Z Z平面的单位圆内部。平面的单位圆内部。v2 2）数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频率）数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频率响应，响应，S S平面的虚轴映射为平面的虚轴映射为Z Z平面的单位圆，相应平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。的频率之间成线性关系。v将传递函数将传递函数 从从S S平面转换到平面转换到Z Z平面的方法有多平面的方法有多种，工程上常用的是冲激响应不变法和双线性变种，工程上常用的是冲激响应不变法和双线性变换法。换法。)(sH)(zH)(sH主要内容主要内容用冲激响应不变

7、法设计用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器一 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器二数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计三一、用冲激响应不变法设计一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应h(n)h(n)等于模拟滤波器的单位冲激响应的等间隔采等于模拟滤波器的单位冲激响应的等间隔采样。即样。即( )( )|()at nTah nh th nT（7-3） 式中，式中，T为采样间隔。为采样间隔。v设模拟滤波器设模拟滤波器

8、 只有单阶极点（若有多重极点，只有单阶极点（若有多重极点，则求拉氏反变换会复杂一些），且分母多项式的则求拉氏反变换会复杂一些），且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将阶次高于分子多项式的阶次，将 用部分分式用部分分式表示表示( )aHs( )aHs NiiiassAsH1（7-4）一、用冲激响应不变法设计一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v其中，其中， 为为 的单阶极点。将的单阶极点。将 进行拉氏进行拉氏反变换得到反变换得到is( )aHs( )aHs( )ah t1( )( )iNs taiih tAe u tv式中，式中， 是单位阶跃函数。对是单位阶跃函数。对

9、进行等间隔采进行等间隔采样，采样间隔为样，采样间隔为T T，得到，得到( )u t( )ah t1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nTv对上式进行对上式进行Z Z变换，得到数字滤波器的系统函数变换，得到数字滤波器的系统函数H H（z z）11( )1iNis TiAH zez（7-5） 一、用冲激响应不变法设计一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v对比式（对比式（7-47-4）与式（）与式（7-57-5），）， 在在S S平面上的平面上的极点极点 ，根据，根据 的关系映射为的关系映射为 在在Z Z平面上平面上的极点的极点 ，系数，系数 不变化。不变化

10、。v模拟信号模拟信号 的傅里叶变换的傅里叶变换 和其采样信号和其采样信号 的傅里叶变换的傅里叶变换 之间的关系之间的关系 sHaissTze H zis TeiA thaaHj sht ()sHj1()()saskHjHjjkT（7-6） 一、用冲激响应不变法设计一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v将将 代入上式，得代入上式，得sj 1saskHsHsjkT（7-7）v因为数字滤波器的系统函数是由采样信号因为数字滤波器的系统函数是由采样信号 得得来的，因此有来的，因此有 sht1( )sTasz ekH zHsjkT（7-8） v上式表明将模拟信号上式表明将模拟信号 的

11、拉氏变换在的拉氏变换在S S平面上沿平面上沿虚轴按照周期虚轴按照周期 延拓后，再映射到延拓后，再映射到Z Z平面上，平面上，就得就得H H（z z）。）。 tha2sT一、用冲激响应不变法设计一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v设设sjjzrev即即TreT （7-9） v由第三章的知识可知，由第三章的知识可知，S S平面的虚轴（平面的虚轴（ ）映射）映射成成Z Z平面的单位圆（平面的单位圆（r r1 1），），S S平面左半平面（平面左半平面（ ）映射到映射到Z Z平面的单位圆内（平面的单位圆内（ ），），S S平面右半平面平面右半平面（ ）映射到）映射到Z Z平面的

12、单位圆外（平面的单位圆外（ ）。这说明）。这说明如果如果 因果稳定，转换后得到的因果稳定，转换后得到的H H（z z）仍是因仍是因果稳定的。果稳定的。001r01r sH一、用冲激响应不变法设计一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v另外，注意到另外，注意到 是一个周期函数，可写成是一个周期函数，可写成sTez 2jM TsTTj TTTeeeee，M M为任意整数为任意整数 v当模拟频率当模拟频率 从从 变化到变化到 时，数字频率时，数字频率 则从则从 变化变化 到，且按照式（到，且按照式（7-97-9），）， ，即，即 与与 之间成线性关系。之间成线性关系。v但是，从模

13、拟信号但是，从模拟信号 到采样信号到采样信号 ，其拉氏变，其拉氏变换要按照式（换要按照式（7-77-7），以），以 为周期，沿虚轴方向为周期，沿虚轴方向进行周期化。如果原模拟信号进行周期化。如果原模拟信号 的频带不是限于的频带不是限于 之间，则会在之间，则会在 的奇数倍附近产生频率混的奇数倍附近产生频率混叠，从而映射到叠，从而映射到Z Z平面，在平面，在 附近产生频率混附近产生频率混叠。冲激响应不变法的频率混叠现象如图叠。冲激响应不变法的频率混叠现象如图7-17-1所示。所示。 TTT tha shtT2 thaT/T/ 一、用冲激响应不变法设计一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字

14、低通滤波器v 这种频率混叠现象会使设计出的数字滤波器在这种频率混叠现象会使设计出的数字滤波器在 附近附近的频率特性，程度不同地偏离模拟滤波器在附近的频率特的频率特性，程度不同地偏离模拟滤波器在附近的频率特性，严重时使数字滤波器不满足给定的技术指标。为此，性，严重时使数字滤波器不满足给定的技术指标。为此，希望设计的滤波器是带限滤波器，如果不是带限的，例如希望设计的滤波器是带限滤波器，如果不是带限的，例如高通滤波器、带阻滤波器，需要在高通带阻滤波器之前加高通滤波器、带阻滤波器，需要在高通带阻滤波器之前加保护滤波器，滤除高于折叠频率保护滤波器，滤除高于折叠频率 以上的频带，以免以上的频带，以免产生频

15、率混叠现象。但这样会增加系统的成本和复杂性，产生频率混叠现象。但这样会增加系统的成本和复杂性，因此，高通与带阻滤波器不适合用这种方法设计。因此，高通与带阻滤波器不适合用这种方法设计。O()aHjT2T2TTO()jH e2233T.图7-1 冲激响应不变法的频率混叠现象T/一、用冲激响应不变法设计一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v假设假设 没有频率混叠现象，即满足没有频率混叠现象，即满足()sHj()aHj0， Tv按照式（按照式（7-87-8），并将关系式），并将关系式 ， 代入，代入，得得sjT1,jajH eHTTv说明用冲激响应不变法设计的数字滤波器可以很说明

16、用冲激响应不变法设计的数字滤波器可以很好地重现原模拟滤波器的频响。上式中，好地重现原模拟滤波器的频响。上式中， 的的幅频特性与采样间隔成反比，这样当幅频特性与采样间隔成反比，这样当T T较小时，较小时， 就会有太高的增益。为避免这一现象，令就会有太高的增益。为避免这一现象，令 ，那么，那么jH ejH e nTT一、用冲激响应不变法设计一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器此时，此时，v综上所述，冲激响应不变法的优点是频率坐标变综上所述，冲激响应不变法的优点是频率坐标变换是线性的，即换是线性的，即 ，如果不考虑频率混叠现，如果不考虑频率混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会

17、很好地重现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频率特性。另一个优点是数字滤原模拟滤波器的频率特性。另一个优点是数字滤波器的单位冲激响应完全模仿模拟滤波器的单位波器的单位冲激响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好。缺点是会产生频率冲激响应，时域特性逼近好。缺点是会产生频率混叠现象，适合低通、带通滤波器的设计，不适混叠现象，适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。合高通、带阻滤波器的设计。 NiTsizeTAzHi111,jajH eHTT一、用冲激响应不变法设计一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v例例7-1 7-1 已知

18、模拟滤波器的传递函数已知模拟滤波器的传递函数 为为 用冲激响应不变法将用冲激响应不变法将 转换成数字滤波器的系转换成数字滤波器的系统函数统函数H(z)H(z)。v解：首先将写成部分分式解：首先将写成部分分式 极点为极点为 ， 那么那么H H（z z）的极点为）的极点为 ， sHa 7079. 06449. 05012. 02sssHa sHa 7772. 03224. 03224. 07772. 03224. 03224. 0jsjjsjsHa7772. 03224. 01js7772. 03224. 02jsTsez11T一、用冲激响应不变法设计一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器数

19、字低通滤波器v按照式（按照式（7-57-5），经过整理，得到），经过整理，得到 式中，式中，T T是采样间隔，是采样间隔，T T的选取应按照滤波器最高的选取应按照滤波器最高截止频率的截止频率的2 2倍以上选取，若倍以上选取，若T T选取过大，则会使选取过大，则会使 附近频率混叠现象严重。这里选取附近频率混叠现象严重。这里选取T T1 1s s和和T T0.10.1s s两种情况，以便进行比较。两种情况，以便进行比较。 v设设T T1 1s s时用时用 表示，表示，T T0.10.1s s时用时用 表示，表示，则则 0.3224T110.3224T0.644922e0.3224sin 0.777

20、2T zH z12zecos 0.7772Tez 11120.32761 1.03290.5247zHzzz zH1 zH一、用冲激响应不变法设计一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v它们的幅频特性如图它们的幅频特性如图7-27-2所示。图所示。图7-2a7-2a表示模拟滤表示模拟滤波器的幅频特性，图波器的幅频特性，图7-2b7-2b表示表示T T1 1s s，转换成数字，转换成数字滤波器的幅频特性，图滤波器的幅频特性，图7-2c7-2c表示表示T T0.10.1s s，转换成，转换成数字滤波器的幅频特性。很明显，数字滤波器的幅频特性。很明显，T T0.10.1s s时，

21、它时，它的幅频特性和模拟滤波器的幅频特性很近似，只的幅频特性和模拟滤波器的幅频特性很近似，只是在折叠频率附近有很轻的混叠现象。而对于是在折叠频率附近有很轻的混叠现象。而对于T T1 1s s情况，频率混叠现象很严重。情况，频率混叠现象很严重。 12120.00481 1.93070.9375zH一、用冲激响应不变法设计一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器a）b)一、用冲激响应不变法设计一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v也可以利用也可以利用MATLABMATLAB的函数的函数impinvarimpinvar实现冲激响应实现冲激响应不变法模拟到数字的

22、滤波器转换。不变法模拟到数字的滤波器转换。c)图 7-2 例7-1的幅频特性 二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v冲激响应不变法的主要缺点是会产生频率混叠现冲激响应不变法的主要缺点是会产生频率混叠现象，使数字滤波器的频响偏移模拟滤波器的频响。象，使数字滤波器的频响偏移模拟滤波器的频响。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个法，将整个S S平面频率轴上的频率范围压缩到平面频率轴上的频率范围压缩到 之间，再用之间，再用 转换到转换到Z Z平面上。设平面上。设 ， ，经过非线性频率压缩后用经过非线性频

23、率压缩后用 ， 表示，这里表示，这里用正切变换实现频率压缩：用正切变换实现频率压缩：TsTez sHasj 1sHa11sj121tan2TT（7-10）二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v式中，式中，T T是采样间隔，当是采样间隔，当 从从 经过经过0 0变换到时，变换到时， 则由则由 经过经过0 0变换到变换到 ，实现了，实现了S S平面上整个虚平面上整个虚轴完全压缩到轴完全压缩到 平面上的虚轴的平面上的虚轴的 之间的转换。之间的转换。这样便有这样便有v再通过再通过 转换到转换到Z Z平面上，得到平面上，得到1TT1ST111212 121s T

24、s TesthTTTe（7-11） Tsez111112zzTssTsTz22（7-12） （7-13） 二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v式（式（7-127-12）或式（）或式（7-137-13）称为双线性变换。从）称为双线性变换。从S S平平面映射到面映射到 平面，再从平面，再从 平面映射到平面映射到Z Z平面，其映平面，其映射过程如图射过程如图7-37-3所示。由于从所示。由于从S S平面到平面到 平面具有平面具有非线性频率压缩的功能，因此不可能产生频率混非线性频率压缩的功能，因此不可能产生频率混叠现象，这是双线性变换法比较冲激响应不变法叠现

25、象，这是双线性变换法比较冲激响应不变法最大的优点。另外，从最大的优点。另外，从 平面转换到平面转换到Z Z平面仍然采平面仍然采用标准转换关系用标准转换关系 ， 平面的平面的 之间水平之间水平带的左半平面映射到带的左半平面映射到Z Z平面单位圆内部，虚轴映射平面单位圆内部，虚轴映射成单位圆。这样，当成单位圆。这样，当 因果稳定，转换成的因果稳定，转换成的H H（z z）也是因果稳定的。）也是因果稳定的。1S1S1S1STsez11ST sH二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v下面分析模拟频率下面分析模拟频率 和数字频率和数字频率 之间的关系。之间的关系

26、。v令令 ， ，代入式（，代入式（7-127-12）中，有）中，有S平面Re( z )Im(zjO11OT/T/1j1j1S平面OZ平面图 7-3 双线性变换法的映射关系 sjjze22jjTejT2tan2T（7-14） 二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v上式说明，上式说明，S S平面上平面上 与与Z Z平面的平面的 成非线性正切成非线性正切关系，如图关系，如图7-47-4所示。在所示。在 0 0附近接近线性关系；附近接近线性关系；当当 增加时，增加时， 增加得愈来愈快；当增加得愈来愈快；当 趋近趋近 时，时， 趋近于趋近于 。正是因为这种非线性

27、关系，。正是因为这种非线性关系，消除了频率混叠现象。消除了频率混叠现象。O2tan2T图7-4 双线性变换法的频率变换关系二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v 与与 之间的非线性关系是双线性变换法的缺点，直接影之间的非线性关系是双线性变换法的缺点，直接影响数字滤波器频响逼真的模仿模拟滤波器的频响，幅频特响数字滤波器频响逼真的模仿模拟滤波器的频响，幅频特性和相频特性失真的情况如图性和相频特性失真的情况如图7-57-5所示。这种非线性影响所示。这种非线性影响的实质问题是：如果的实质问题是：如果 的刻度是均匀的，则映射到的刻度是均匀的，则映射到Z Z平面平

28、面的的 的刻度是不均匀的，而是随的刻度是不均匀的，而是随 增加愈来愈密。但是，增加愈来愈密。但是，如果模拟滤波器的频响具有片段常数特性，则转换到如果模拟滤波器的频响具有片段常数特性，则转换到Z Z平平面数字滤波器仍具有片段常数特性，主要是特性转折点频面数字滤波器仍具有片段常数特性，主要是特性转折点频率值与模拟滤波器特性转折点的频率值成非线性关系。当率值与模拟滤波器特性转折点的频率值成非线性关系。当然，对于不是片段常数的相位特性仍有非线性失真。因此，然，对于不是片段常数的相位特性仍有非线性失真。因此，双线性变换法适合片断常数特性的滤波器的设计。实际应双线性变换法适合片断常数特性的滤波器的设计。实

29、际应用中，一般设计滤波器通带和阻带均要求是片段常数，因用中，一般设计滤波器通带和阻带均要求是片段常数，因此双线性变换法得到了广泛的应用。在设计时要注意边界此双线性变换法得到了广泛的应用。在设计时要注意边界频率如通带截止频率、阻带下截止频率等的转换关系要用频率如通带截止频率、阻带下截止频率等的转换关系要用式（式（7-147-14）计算。）计算。二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器()jH e()aHjOOOOOO()jH e()aHj图7-5 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤

30、波器v双线性变换法可由简单的代数公式式（双线性变换法可由简单的代数公式式（7-127-12）将）将 直接转换成直接转换成H H（z z），这是该变换法的优点。），这是该变换法的优点。但当阶数稍高时，将但当阶数稍高时，将H H（z z）整理成需要的形式，）整理成需要的形式，也不是一件简单的工作。为简化设计，可以将模也不是一件简单的工作。为简化设计，可以将模拟滤波器各系数和经双线性变换法得到的数字滤拟滤波器各系数和经双线性变换法得到的数字滤波器的各系数之间关系，列成表格供设计时使用。波器的各系数之间关系，列成表格供设计时使用。v双线性变换也可以利用双线性变换也可以利用MATLABMATLAB函数函

31、数bilinearbilinear完成。完成。bilinearbilinear的语法为的语法为vzd,pd,kd=bilinear(z,p,k,fs)zd,pd,kd=bilinear(z,p,k,fs) sH二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v例例7-2 7-2 试分别用冲激响应不变法和双线性变换法试分别用冲激响应不变法和双线性变换法将图将图7-67-6所示的所示的RCRC低通滤波器转换成数字滤波器。低通滤波器转换成数字滤波器。CR图7-6 RC低通滤波器 解解: :首先按照图首先按照图7-67-6写出该滤波器的传递函数写出该滤波器的传递函数 为为

32、 ， 利用冲激响应不变法转换，数字滤波器的系统函利用冲激响应不变法转换，数字滤波器的系统函数数 为为 sHa ssHaRC1 zH1 111zezHT二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数 为为 zH2 121111221111zzsHzHzzTsa21TT， 222TT 和和 的网络结构分别如图的网络结构分别如图7-7a7-7a、b b所示。所示。 zH1 zH21z1zTe12a） b） 图7-7 例7-2中和的网络结构 zH1 zH2 zH1 zH二、用双线性变换

33、法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v设设10001000，T T0.001s0.001s和和0.002s0.002s， 和和 的归一化幅频特性如图的归一化幅频特性如图7-87-8所示。图所示。图7-8a7-8a是模拟滤是模拟滤波器幅频特性，是一个低通滤波器，但拖了很长波器幅频特性，是一个低通滤波器，但拖了很长的尾巴。图的尾巴。图7-8b7-8b是采用冲激响应不变法转换成的是采用冲激响应不变法转换成的数字滤波器幅频特性，图中数字滤波器幅频特性，图中 处对应的模拟频处对应的模拟频率与采样间隔率与采样间隔T T有关，当有关，当T T0.0010.001时，对应的模拟时，对

34、应的模拟频率为频率为500Hz500Hz；当；当T T0.0020.002时，对应的模拟频率为时，对应的模拟频率为250Hz250Hz，对照图，对照图7-8a7-8a，均与原模拟滤波器的幅度特，均与原模拟滤波器的幅度特性差别大，且频率愈高，差别愈大。这是由频率性差别大，且频率愈高，差别愈大。这是由频率混叠现象引起的。相对地说，混叠现象引起的。相对地说，T T0.001s0.001s的情况混的情况混叠少一些。图叠少一些。图7-8c7-8c是采用双线性变换法转换成的是采用双线性变换法转换成的数字滤波器，由于该转换法的频率压缩作用，使数字滤波器，由于该转换法的频率压缩作用，使 处的幅度降为零。但曲线

35、的形状偏离原模处的幅度降为零。但曲线的形状偏离原模拟滤波器幅度特性曲线的形状较大，这是由于该拟滤波器幅度特性曲线的形状较大，这是由于该转换法的非线性造成的，转换法的非线性造成的，T T小一些，非线性的影响小一些，非线性的影响少一些。少一些。 1H ( z )2H ( z )1 1 二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v 总之，双线性变换法适合于片断常数滤波器的设计。对于冲总之，双线性变换法适合于片断常数滤波器的设计。对于冲激响应不变法，虽然有频率混叠现象（主要在激响应不变法，虽然有频率混叠现象（主要在 附近），附近），但因为频率是线性转换，曲线形状与原

36、模拟滤波器很相近但因为频率是线性转换，曲线形状与原模拟滤波器很相近（尤其在（尤其在 0 0附近）。附近）。)0(HfH）（02 . 04 . 06 . 08 . 01200 400600 800 1000Hzf /a）RC滤波网络幅频特性二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器101()（）jjHeH eO2 . 04 . 06 . 08 . 01/ 14 . 05 . 06 . 07 . 08 . 09 . 0001. 0T002. 0T101()（）jjHeH eO2 . 04 . 06 . 08 . 01/ 14 . 06 . 08 . 0001.

37、0T002. 0T2 . 0b)用冲激响应不变法的数字滤波器幅频特性 c)用双线性变换法的数字滤波器的幅频特性 zH1 zH2图 7-8 例 7-2中数字滤波器和的幅频特性二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v下面总结利用模拟滤波器设计下面总结利用模拟滤波器设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器的步骤。的步骤。v1 1）确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频）确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率率 、通带衰减、通带衰减 、阻带截止频率、阻带截止频率 、阻带衰、阻带衰减减 。v2 2）将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通）将数字低通滤波

38、器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。这里主要是边界频率滤波器的技术指标。这里主要是边界频率 和和 的转换，对的转换，对 和和 指标不作变化。如果采用冲激指标不作变化。如果采用冲激响应不变法，边界频率的转换关系为响应不变法，边界频率的转换关系为 如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为ppsspspsT21tan2T二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v3 3）按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通）按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。滤波器。v4 4）将模拟滤波器）将模拟滤波器 ，从，从

39、S S平面转换到平面转换到Z Z平面，得平面，得到数字低通滤波器系统函数到数字低通滤波器系统函数 。 sHa zH二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v在设计过程中，要用到参数采样间隔在设计过程中，要用到参数采样间隔T T，下面介绍，下面介绍T T的选择。如采用冲激响应不变法，为避免产生频的选择。如采用冲激响应不变法，为避免产生频率混叠现象，要求所设计的模拟低通滤波器带限率混叠现象，要求所设计的模拟低通滤波器带限于于 之间，由于实际滤波器都有一定宽度过渡之间，由于实际滤波器都有一定宽度过渡带，可选择带，可选择T T满足公式满足公式 。但如果先给定数字。

40、但如果先给定数字低通滤波器的技术指标时，情况则不一样，由于低通滤波器的技术指标时，情况则不一样，由于数字滤波器传递函数数字滤波器传递函数 以以 为周期，最高频为周期，最高频率在率在 处，因此，处，因此， ，按照线性关系，按照线性关系 ，那么一定满足，那么一定满足 ，这样，这样T T可以任可以任选。一般选选。一般选T T1 1。对双线性变换法，不存在频率。对双线性变换法，不存在频率混叠现象，尤其对于设计片断常数滤波器，混叠现象，尤其对于设计片断常数滤波器，T T也可也可以任选。以任选。 TsTjH e2sssTsT二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v例

41、例7-3 7-3 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于低于 radrad时，容许幅度误差在时，容许幅度误差在1dB1dB以内；在频率以内；在频率 之间的阻带衰减大于之间的阻带衰减大于15dB15dB。指定模拟滤波。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用冲激响应器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用冲激响应不变法和双线性变换法设计滤波器。不变法和双线性变换法设计滤波器。v解：解：v1 1）用冲激响应不变法设计数字低通滤波器。）用冲激响应不变法设计数字低通滤波器。 数字低通的技术指标为数字低通的技术指标为 radrad， 1dB1dB 0.3 rad0.

42、3 rad， 15dB15dB 模拟低通的技术指标为模拟低通的技术指标为 T T1 1s s， rad/rad/s s， 1dB1dB0.20.3p2 . 0pssp2 . 二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 0.3 rad/0.3 rad/s s， 15dB15dB 设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N N及及3dB3dB截止频率截止频率 。ssc spsplg kNlg0.31.50.2sspp092. 01101101 . 01 . 0spspk884. 55 . 1lg092. 0lgN取取N N6 6，可求

43、得，可求得 0.7032rad/0.7032rad/s s。二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v根据阶数根据阶数N N6 6，查表得到归一化传递函数为，查表得到归一化传递函数为 654328637. 34641. 71416. 94641. 78637. 311pppppppHav为去归一化，将为去归一化，将 代入代入 中，得到实际的中，得到实际的传递函数传递函数 为为cps pHa sHa 665243342563.86377.46419.14167.46413.8637caccccccH二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤

44、波器数字低通滤波器 将进行部分分式分解，用冲激响应不变法将转将进行部分分式分解，用冲激响应不变法将转换成换成H H（z z） 2112112112570. 09972. 016304. 08558. 13699. 00691. 111454. 11428. 26949. 01297. 014466. 02871. 0zzzzzzzzzzH 二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器MATLABMATLAB程序：程序：v wp=0.2wp=0.2* *pi;pi;v ws=0.3ws=0.3* *pi;pi;v rp=1;rp=1;v rs=15;rs=15;

45、v n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s);n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s);v freqz(bz,az,1024);freqz(bz,az,1024);v z,p,k=buttap(n);z,p,k=buttap(n);v bap,aap=zp2tf(z,p,k);bap,aap=zp2tf(z,p,k);v b,a=lp2lp(bap,aap,wn);b,a=lp2lp(bap,aap,wn);v bz,az=impinvar(b,a);bz,az=impinvar(b,a);v 该滤波器的幅频特性如图该滤波器的幅频特性如图7-97-9所示。由图可知满

46、足技术指所示。由图可知满足技术指标。标。二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器图图7-9 7-9 例例 7-37-3中用冲激响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性中用冲激响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器v2 2）用双线性变换法设计数字低通滤波器。）用双线性变换法设计数字低通滤波器。 数字低通技术指标仍为数字低通技术指标仍为 radrad， 1dB1dB 0.3 rad0.3 rad， 15dB15dB 模拟低通的技术指标为模拟低通的技术指标为 ，T T1 1s s，

47、， 1dB1dB ， 15dB15dB 设计巴特沃斯低通滤波器。阶数设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N N计算如下：计算如下：212pptanTp2 . 0pss20 10 65ptan .rad / sp20 151 019stan .rad / 二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器取取N N6 6，求得，求得 0.7662rad/0.7662rad/s s。 spsplg kNlg1.0191.5680.65sspp092. 0spk0 0925 3061 568 lg .N.lg 二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低

48、通滤波器v根据根据N N6 6，查表得到的归一化传递函数，查表得到的归一化传递函数 与冲与冲激响应不变法得到的相同。为去归一化，将激响应不变法得到的相同。为去归一化，将 代入代入 中，得实际的中，得实际的 用双极性变换法将用双极性变换法将 转换成数字滤波器转换成数字滤波器H(z)H(z) 其幅度特性如图其幅度特性如图7-107-10所示。此图表示数字滤波器所示。此图表示数字滤波器满足技术指标要求。满足技术指标要求。 pHacps pHa sHa 5871. 0480. 15871. 0083. 15871. 0396. 02024. 0222sssssssHa sHa )2155. 09044

49、. 01)(358. 0010. 11)(7051. 0268. 11 ()1 (0007378. 02121216111211zzzzzzzsHzH二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器图图7-10 7-10 例例 7-37-3中用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性中用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性二、用双线性变换法设计二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器MATLAB程序清单：程序清单：vfs=1;vwp=0.65;vws=1.019;vrp=1;vrs=15;vn,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,

50、s);vz,p,k=buttap(n);vbap,aap=zp2tf(z,p,k);vb,a=lp2lp(bap,aap,wn);vbz,az=bilinear(b,a,fs);vfreqz(bz,az,1024);三、数字高通、带通和带阻滤波器的设计三、数字高通、带通和带阻滤波器的设计v当需要设计高通、带通、带阻等其他类型的选频当需要设计高通、带通、带阻等其他类型的选频数字滤波器或具有不同截止频率的低通数字滤波数字滤波器或具有不同截止频率的低通数字滤波器时，其传统的设计方法是首先设计一原型滤波器时，其传统的设计方法是首先设计一原型滤波器，然后应用原型变换的方法将其转换成所需类器，然后应用原型

51、变换的方法将其转换成所需类型的滤波器，实现这种转换可以有三种不同的方型的滤波器，实现这种转换可以有三种不同的方法，如图法，如图7-117-11所示。所示。图图7-11 7-11 用原型变换设计数字滤波器途径用原型变换设计数字滤波器途径三、数字高通、带通和带阻滤波器的设计三、数字高通、带通和带阻滤波器的设计v 方法方法1 1：先在模拟域进行频率变换，即首先将原型滤波器先在模拟域进行频率变换，即首先将原型滤波器转换成所需类型的模拟滤波器，然后再将其从转换成所需类型的模拟滤波器，然后再将其从S S平面转换平面转换到到Z Z平面，数字化为所需类型的数字滤波器。平面，数字化为所需类型的数字滤波器。具体设

52、计步骤如下：具体设计步骤如下：v 1 1）确定所需类型数字滤波器的技术指标。）确定所需类型数字滤波器的技术指标。v 2 2）将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模）将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标。拟滤波器的技术指标。 v 3 3）将所需类型模拟滤波器的技术指标转换成模拟低通滤）将所需类型模拟滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标。波器技术指标。v 4 4）设计模拟低通滤波器。）设计模拟低通滤波器。v 5 5）将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤）将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。波器。v 6 6）采用双线性变换法，将所

53、需类型的模拟滤波器转换成）采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。所需类型的数字滤波器。下面通过例题进一步说明其设计方法。下面通过例题进一步说明其设计方法。三、数字高通、带通和带阻滤波器的设计三、数字高通、带通和带阻滤波器的设计v例例7-4 7-4 设计一个数字高通滤波器，要求通带截止设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率频率 0.8rad0.8rad，通带衰减不大于，通带衰减不大于3dB3dB，阻带截止，阻带截止频率频率 0.44rad0.44rad，阻带衰减不小于，阻带衰减不小于15dB15dB。希望采。希望采用巴特沃斯型滤波器。用巴特沃斯型滤波器。v解：解：

54、v1 1）数字高通滤波器的技术指标为）数字高通滤波器的技术指标为 0.8 rad0.8 rad， 3dB3dB 0.44 rad0.44 rad， 15dB15dB三、数字高通、带通和带阻滤波器的设计三、数字高通、带通和带阻滤波器的设计v2 2）模拟高通滤波器的技术指标计算如下：）模拟高通滤波器的技术指标计算如下： 令令T T1 1，则有，则有 ， 3dB3dB ， 15dB15dBv3 3）模拟低通滤波器的技术指标计算如下：）模拟低通滤波器的技术指标计算如下： ， 3dB3dB ， 15dB15dB 将将 和和 对对3dB3dB截止频率截止频率 归一化，这里归一化，这里 ，此时此时 ，126

55、 1552pptan.rad sp121 6552sstan.rad ss10.1636.155prad s10.6041.655srad 三、数字高通、带通和带阻滤波器的设计三、数字高通、带通和带阻滤波器的设计v4 4）设计归一化模拟低通滤波器）设计归一化模拟低通滤波器G(p)G(p)。模拟低通滤。模拟低通滤波器阶数波器阶数N N计算如下：计算如下： spspkNlglg1803. 01101101 . 01 . 0spspk71. 3pssp N1.31，取N2查表得到归一化模拟低通滤波器的传递函数查表得到归一化模拟低通滤波器的传递函数G(p)G(p)为为 1212pppG三、数字高通、带

56、通和带阻滤波器的设计三、数字高通、带通和带阻滤波器的设计为去归一化，将为去归一化，将 代入上式得到代入上式得到cps 2222cccG sssv5) 5) 将模拟低通转换成模拟高通。将上式中的将模拟低通转换成模拟高通。将上式中的 的变量换成的变量换成1/1/s s，得到模拟高通滤波器的传递函数，得到模拟高通滤波器的传递函数 sHa sG 2222121caccsHsG三、数字高通、带通和带阻滤波器的设计三、数字高通、带通和带阻滤波器的设计v6 6）用双线性变换法将模拟高通滤波器的传递函数）用双线性变换法将模拟高通滤波器的传递函数 转换成数字高通滤波器的系统函数转换成数字高通滤波器的系统函数 这

57、里要说明的是，如果设计的是数字低通或者数这里要说明的是，如果设计的是数字低通或者数字带通滤波器，则也可以采用冲激响应不变法将字带通滤波器，则也可以采用冲激响应不变法将模拟低通或者模拟带通滤波器转换成数字低通或模拟低通或者模拟带通滤波器转换成数字低通或者数字带通滤波器。对于数字高通或者数字带阻者数字带通滤波器。对于数字高通或者数字带阻滤波器则只能采用双线性变换法进行转换。滤波器则只能采用双线性变换法进行转换。 sHa zH 11112zzsasHzH 21212121349. 0199. 1110653. 0566. 0947. 1624. 11106. 0zzzzzzzH三、数字高通、带通和带

58、阻滤波器的设计三、数字高通、带通和带阻滤波器的设计v方法方法2 2：首先将原型滤波器从首先将原型滤波器从S S平面转换到平面转换到Z Z平面，平面，得到数字原型滤波器，继而在数字域继续频率变得到数字原型滤波器，继而在数字域继续频率变换得到所需滤波器。换得到所需滤波器。v在这种方法中由原型模拟滤波器到数字原型滤波在这种方法中由原型模拟滤波器到数字原型滤波器的转换前已讨论，现在需要深入讨论的是数字器的转换前已讨论，现在需要深入讨论的是数字域的频率转换。显然，这种转换必须满足两个要域的频率转换。显然，这种转换必须满足两个要求。一是频率响应能够满足一定的变换关系，因求。一是频率响应能够满足一定的变换关

59、系，因而频率轴能够对应起来，即而频率轴能够对应起来，即Z Z平面的单位圆必须映平面的单位圆必须映射到射到 平面的单位圆上。二是转换后仍须为稳定因平面的单位圆上。二是转换后仍须为稳定因果系统，即在原果系统，即在原Z Z平面单位圆内的点映射到新的平面单位圆内的点映射到新的 平面之后仍在单位圆内。三是转换后的平面之后仍在单位圆内。三是转换后的 仍为仍为的有理函数。的有理函数。H()三、数字高通、带通和带阻滤波器的设计三、数字高通、带通和带阻滤波器的设计v定义从原定义从原Z Z平面到新平面到新 平面的映射形式为平面的映射形式为 且且G G（ ）必须是）必须是 的有理函数，的有理函数，Z Z平面的单位平

60、面的单位圆内部必须映射成圆内部必须映射成 平面单位圆内部。平面单位圆内部。 令令 为原数字滤波器的系统函数，为原数字滤波器的系统函数， 为新数字滤波器的系统函数。因此有为新数字滤波器的系统函数。因此有 （7-157-15）因此，若因此，若 和和 分别是分别是Z Z平面和平面和 平面的频率变量，平面的频率变量，即即11zG()1111H ( z)1dH ()111dH ()H G()jzeje和和 三、数字高通、带通和带阻滤波器的设计三、数字高通、带通和带阻滤波器的设计 则则 故故 式（式（7-16a7-16a）表明，函数）表明，函数G G（ ）在单位圆上）在单位圆上的幅度必须恒等于的幅度必须恒