5 时 离散型随机变量的方差

1、第2课时离散型随机变量的方差1理解离散型随机变量的方差的意义(重点)2能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题(难点)基础·初探教材整理离散型随机变量的方差的概念阅读教材P61P62“习题25”以上部分，完成下列问题1离散型随机变量的方差和标准差(1)方差DX_.(2)标准差为_【答案】(1)E(XEX)2(2)2方差的性质D(aXb)_.【答案】a2DX3方差的意义方差可用来衡量X与EX的_，方差越小，则随机变量的取值就越_；方差越大，则随机变量的取值就越_【答案】平均偏离程度集中在其均值周围分散1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的方差

2、越大，随机变量越稳定()(2)若X是常数，则DX0.()(3)若DX0，则X是常数()(4)如果X是离散型随机变量，Y3X2，那么DY9DX.()【答案】(1)×(2)(3)(4)2已知随机变量X的分布列是X123P(X)0.40.20.4则DX等于()A0B0.8C1D2【解析】EX1×0.42×0.23×0.42，DX0.4×(12)20.2×(22)20.4×(32)20.8.【答案】B质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：小组合作型求离散型随机变量的方

3、差编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是，求E和D.【精彩点拨】首先确定的取值，然后求出的分布列，进而求出E和D的值【自主解答】的所有可能取值为0,1,3，0表示三位学生全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P(0)；1表示三位学生只有1位学生坐对了，则P(1)；3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P(3).所以，的分布列为013PE0×1×3×1；D×(01)2×(11)2×(31)21.求离散型随机变

4、量的方差的类型及解决方法1已知分布列型(超几何分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下：(1)求均值；(2)求方差2已知分布列是超几何分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，(1)若X服从超几何分布，则DXn·.(2)若XB(n，p)，则DXnp(1p)3未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成1中的情况4对于已知DX求D(aXb)型，利用方差的性质求解，即利用D(aXb)a2DX求解再练一题1有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为，求E和D.【解】这3张卡片上的数字之和为，这一变量的可能取

5、值为6,9,12.6表示取出的3张卡片上均标有2，则P(6).9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(9).12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P(12).的分布列为6912PE6×9×12×7.8.D(67.8)2×(97.8)2×(127.8)2×3.36.二项分布的方差为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望E为3，方差D为.(1)求n和p的值，并写出的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙

6、柳未成活，则需要补种求需要补种沙柳的概率【精彩点拨】(1)利用二项分布的期望与方差计算公式求解(2)利用互斥事件的概率计算公式求解【自主解答】由题意知，服从二项分布B(n，p)，P(k)Cpk(1p)nk，k0,1，n.(1)由Enp3，Dnp(1p)，得1p，从而n6，p.的分布列为0123456P(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)P(3)，得P(A)，或P(A)1P(>3)1.所以需要补种沙柳的概率为.对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(ab)a2D，这样处理既避免了求随机变量ab的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程.再练一题2(1)已

7、知随机变量X服从二项分布，即XB(n，p)，且EX7，DX6，则p等于()A.B.C. D.【解析】np7且np(1p)6，解得1p，p.【答案】A(2)已知的分布列为：010205060P求方差；设Y2E，求DY.【解】E0×10×20×50×60×16，D(016)2×(1016)2×(2016)2×(5016)2×(6016)2×384.Y2E，DYD(2E)22D4×3841 536.探究共研型均值、方差的综合应用探究1A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出

8、次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10试求EX1，EX2.【提示】EX10×0.71×0.22×0.063×0.040.44.EX20×0.81×0.062×0.043×0.100.44.探究2在探究1中，由EX1EX2的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？【提示】不能因为EX1EX2.探究3在探究1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？【提示】利用样本的方差方差越小，加工的质量越稳定甲、乙两名射手在一次射击中

9、得分为两个相互独立的随机变量，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求，的分布列；(2)求，的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术【精彩点拨】(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出，的分布列(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值【自主解答】(1)由题意得：0.53aa0.11，解得a0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1(0.30.30

10、.2)0.2.所以，的分布列分别为10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.2(2)由(1)得：E10×0.59×0.38×0.17×0.19.2；E10×0.39×0.38×0.27×0.28.7；D(109.2)2×0.5(99.2)2×0.3(89.2)2×0.1(79.2)2×0.10.96；D(108.7)2×0.3(98.7)2×0.3(88.7)2×0.2(78.7)2×0.21.21.由于E&

11、gt;E，D<D，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1比较均值离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高2在均值相等的情况下计算方差方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定3下结论依据方差的几何意义做出结论再练一题3甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：X0123P0.30.3

12、0.20.2乙保护区：Y012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平【解】甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：EX0×0.31×0.32×0.23×0.21.3；DX(01.3)2×0.3(11.3)2×0.3(21.3)2×0.2(31.3)2×0.21.21.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：EY0×0.11×0.52×0.41.3；DY(01.3)2×0.1(11.3)2×0.5(21.3)2×0.40.41.因为EXEY

13、，DX>DY，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高构建·体系1设一随机试验的结果只有A和，且P(A)m，令随机变量则的方差D等于()AmB2m(1m)Cm(m1)Dm(1m)【解析】随机变量的分布列为：01P1mmE0×(1m)1×mm.D(0m)2×(1m)(1m)2×mm(1m)【答案】D2已知随机变量XY8，若XB(10,0.6)，则EY，DY分别是()A6和2.4B2和2.4C2和5.6D6和5.6【解析】由已知随机变量XY8，所以有Y8X.因此，求得EY8EX810×0.62，DY(1)2DX10×0.6×0.42.4.【答案】B3有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知EX1EX2，DX1>DX2，则自动包装机_的质量较好. 【导学号：62690044】【解析】因为EX1EX2，DX1>DX2，故乙包装机的质量稳定【答案】乙4已知离散型随机变量X的分布列如下表：X1012Pabc若EX0，DX1，则a_，b_.【解析】由题意，解得a，bc.【答案】5已知某运动员投篮命中率p0.6，(1)求一次投篮命中次数的均值与方差；(2)求重复5次投篮时