同济第六版《高等数学》教案第04章不定积分

1、同济五版高等数学讲稿 WORD-第05章定积分第四章不定积分教学目的：1、 理解原函数概念、不定积分的概念。2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法(第一，第二)与分部积分法。3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：1、 不定积分的概念；2、 不定积分的性质及基本公式；3、 换元积分法与分部积分法。教学难点：1、 换元积分法；2、 分部积分法；3、 三角函数有理式的积分。4、 41不定积分的概念与性质、原函数与不定积分的概念定义1如果在区间I上可导函数F(x)的导函数为f(x)即对任一xI都有F(x)“*)或?*)f(x)dx那么函数F(x)就

2、称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数例如因为(sinx)cosx所以sinx是cosx的原函数又如当x(1)时因为( .x)提问：12、x所以Jx是:2, x的原函数页脚内容15cosx和一还有其它原函数吗?2Vx原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续那么在区间I上存在可导函数F(x)使对任一xI都有F(x)f(x)简单地说就是连续函数一定有原函数两点说明第一如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)那么f(x)就有无限多个原函数F(x)C都是f(x)的原函数其中C是任意常数即如果(x)和F(x)都是f (x)的原第二f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数函数则(x)F(x

3、)C(C为某个常数)定义2在区间I上函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分记作f(x)dx其中记号称为积分号f(x)称为被积函数f(x)dx称为被积表达式x称为积分变量根据定义如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数那么F(x)C就是f(x)的不定积分即f(x)dxF(x)C因而不定积分f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数例1因为sinx是cosx的原函数所以cosxdxsinxC因为或是J的原函数2 v x所以1 dx ln( x) C (x<0) x合并上面两式得到0)2)且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍求y f

4、(x) 按题设曲线上任一点(xy)处的切线斜率为_dx,x2<x例2.求函数f(x)工的不定积分x解：当x>0时(lnx)x1.-dxlnxC(x>0)x当x<0时ln(x)工(1)工1 dx ln|x| C (x x例3设曲线通过点(1 此曲线的方程解设所求的曲线方程为y f (x) 2x,xx即f(x)是2x的一个原函数因为2xdxx2C故必有某个常数C使f(x)x2C即曲线方程为yx2C因所求曲线通过点(12)故21CC1于是所求曲线方程为yx21积分曲线函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线从不定积分的定义即可知下述关系1f(x)dxf(x)dx或df

5、(x)dxf(x)dx又由于F(x)是F(x)的原函数所以F(x)dxF(x)C或记作dF(x)F(x)C以记号由此可见微分运算(以记号d表示)与求不定积分的运算(简称积分运算表示)是互逆的当记号与d连在一起时或者抵消或者抵消后差一个常数二、基本积分表(1) kdxkxC(k是常数)(2) xdx-x1C1(3) 1dxln|x|Cx(4) exdxexCx(5) axdxaCIna(6) cosxdxsinxC(7) sinxdxcosxC(8) 1Tdxsec2xdxtanxCcos2x(9)12dxcsc2xdxcotxCsin2x(10)12dxarctanxC1x2(11)1,dxa

6、rcsinxx2(12)secxtanxdxsecx(13)cscxcotdxcscx(14)shxdxchx(15)chxdxshx4x3dx12x2x2.xdx5x2dx15251-x2172x，7dxx3/x43dx3113x33c3xC、不定积分的性质性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx这是因为，f(x)dxg(x)dxf(x)dxg(x)dxf(x)g(x).性质2求不定积分时被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来kf(x)dxkf(x)dx(k是常数0)例7.x(x25)dx5(x215x2)dx5x2dx15x2dx

7、5x2dx51x2dx例8区雯dxx2x3x33x23x2x1dx(x33W)dxxx21.xdx3dx3dxx3dx-x23x3ln|x|-Cx22x例9例10例11例12例13例14例15(ex3cosx)dxexdx3cosxdxex3sinxC2xexdx(2e)xdx-(e)-ln(2e)2XJ，xx(1x2)2xexC1In2Carctanxx3x3-5dx1#却tan2xdxtanxsin21dx2(x(sec2x1)dxsec2xdxdxsinx)2(1cosx)dx1sin2xcos2dx2x124-dxsinx4cotxC§ 4 2换元积分法一、第一类换元法设f(

8、u)有原函数F(u)u(x)且(x)可微那么根据复合函数微分法有dF(x)dF(u)F(u)duF(x)d(x)F(x)(x)dx所以F(x)(x)dxF(x)d(x)F(u)dudF(u)dF(x)因此F(x)(x)dxF(x)d(x)F(u)dudF(u)dF(x)F(x)C即f(x)(x)dxf(x)d(x)f(u)duu(x)F(u)Cu(x)F(x)C定理1设f(u)具有原函数u(x)可导则有换元公式f(x)(x)dxf(x)d(x)f(u)duF(u)CF(x)C被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待从而微分等式(x)dxdu可以应用到被积表达式中在求积分g(x)dx时如果函数

9、g(x)可以化为g(x)f(x)(x)的形式那么g(x)dxf(x)(x)dxf(u)duu例1.2cos2xdxcos2x(2x)dxcos2xd(2x)cosudusinuCsin2xC例31 .1 x2d(1 x2)1 u2du-u2 C23.3x2人(32x)dx2六d(32x)1 1dx1ln|u|C11n|32x|C2 u22222例3.2xexdxex(x2)dxexd(x2)eudu2ejCex2C例4.xdx2dx11x2(x2)dx、1x2dx22231(1X2产C例5.tanxdxsinxdx1dcosxcosxcosx1duln|u|Culn|cosx|C即tanxdx

10、ln|cosx|C类似地可得cotxdxln|sinx|C熟练之后变量代换就不必再写出了例6.212dx&-1dxa2x2a21(x)2a71_d阖仃Ca1(x)2aaaa7即212dx1arctan-Ca2x2aa例7.ch-dxachxdxashxCaaaa例8.当a0时，1dx11dx1d-arcsin-Ca2x2a.1(,2.1(12aa2a12a.xarcsin - Ca111(-)dx 1-x a x a 2a-dx x a-dx x ad(x a) d(x a) x a2ain|xa|in|xa|c2aln|x-a|Cxa10.一dx一x(1 2in x)d in x1

11、2in xd(1 2inx)1 2in x1ln|121nxiC例11.edx2e11 .”xdVX2e3'%3a2e3xC3含三角函数的积分例12.sin3xdxsin10xsinxdx(1cos2x)dcosx213dcosxcos2xdcosxcosxcos3xC3例13.sin2xcos8432xdxsin2xcos-x sin2x sin4x Cxdsinxsin2x(1sin2x)2dsinx(sin2x2sin4xsin6x)dsinx1sin3x2sin5x1sin7xC357例14.cos2xdx .111 .dx cos2xd2x x sin2x C424例 15.

12、 cos4 xdx (cos2x)2dx2(1 cos2x)2 dx1-(1 2 cos2x cos2 2x)dx-cos2xdx1(dxcos2xdx)4(212cos2x 勺 cos4x)dx22、/1 /3 4(2x例16.cos3xcos2xdx(cosx cos5x)dx1.sin2xsin4x)C81.1.sinxsin5xC1dx2sin xcos-221.17.cscxdxdxsinxdxtan|吟dtanx2tan-2ln|tanx|CIn|cscxcotx|Ccscxdxln|cscxcotx|C18.secxdxcsc(x-)dxIn|csc(x-2)cot(x)1C2I

13、n|secxtanx|secxdxIn |sec x tan x |二、第二类换元法定理2设x(t)是单调的、可导的函数并且(t)0又设f(t)(t)具有原函数F(t)则有换元公式f(x)dxf(t)(t)dtF(t)F1(x)C其中t(x)是x(t)的反函数这是因为F1(x)F(t严f(t)(tf(t)f(x)dxdxdt例19.求Ja2x2dx(a>0)解：设 x a sin t 一 t 一 22那么 a2 x2，a2 a2sin2t acostdx a cos t d t于是a2x2dxacostacostdta2cos2tdta2(1t因为tarcsinx,asin2t2sint

14、cost2a4sin2t)C22axa所以,a2x2dxa2(1t；sin2t)Carcsin-x.a2x2解：设xasintt那么a2x2dxacostacostdta2cos2tdta2(1t1sin2t)Ca2_.xarcsinxixa2x2C提示：,a2x2%a2a2sin2tacostdxacostdt提不：tarcsin-,sin2t2sintcosta2xa.a2x2因为其中其中例20.求尸(a>0)22.xa解法a2sect设xatant,a2a2tan2ta-.1tan2t那么asecdxasecdxx2a2dx,22xatantIn|secCiCIna解法atan空e

15、c21dtasectsectdtIn|sectan所以tant|2_2ln(Xa-)aa那么ln(x,x2a2)C1dx2xa2asec2tasectsectdtln|secttan11CCiCIn提示:x2a2ln(xa一x2a2)aln(x,x2a2)C1a2a2tan2tasectdxasec21出提示：secttant同济五版高等数学讲稿 WORD-第05章定积分解法二：设xasht那么一dxach-tdtdttCarshxCx2a2achtaIInx，吟)21Cln(xJx2a2)G其中CiCIna提示：、x2a2.a2sh2ta2achtdxachtdt例23.求Ldx(a>

16、0).x2a2解：当x>a时设xasect(0t)那么,x2a2.a2sec2ta2a、sec2t1atant于是页脚内容ii因为tant其中其中dxx2a2x2a2adxx2a2CiCIn当x<a时dx22xaCiC2ln综合起来有asec：tantdtsectdtatantsectIn|secduu2a2ln(xInIn|secttanf所以tant|则u>aIn(u-u2a2)C,x2a2)Cxx2a2a2dxx2a2In|xa2a-|CIn(x.x2a2)CiIn(x.x2a2)CiCIn(x-x2In|x.x2a21a2)Ci同济五版高等数学讲稿 WORD-第05章

17、定积分页脚内容40解：当x>a时设xasect(0ty)那么dxx*2a2asecttantdtatantsectdtIn|secttant|Cln(xx _2C In X - xa才)Caaln(x,x2a2)C其中CiClna当x<a时令xu则u>a于是dxdu、u2 a2ln(uln(x.x2a2)ln(x.x2a2)C1其中CiC21na提示：、x2a2,a2sec2ta2a,sec2t1atant提不：tant,x2 a2asect x a综合起来有dxln|x . x2 a21 C补充公式(16) tanxdxIn|cosx|CcotxdxIn|sinx|C(18

18、) secxdxIn|secxtanx|C(19) cscxdxIn|cscxcotx|C(20) 212dx1arctanCa2x2aa(21) -rdxIn|*|Cxa2axa(22) 1dxarcsinxC-a2x2a(23)(24)dx22xadxx2a2ln(x.x2a2)Cln|x,x2a21C移项得对这个等式两边求不定积分uv dx uv u vdx或 udv uv vdu§33分部积分法设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数那么两个函数乘积的导数公式为(uv)uvuvuv(uv)uv得这个公式称为分部积分公式分部积分过程：uvdxudv uv vdu uv u vd

19、x例1xcosxdxxdsinxxsinxsinxdxxsinxcosxC例2xexdxxdexxexexdxxexexC例3x221 x2exdxx2dexx2exexdx2x2ex2xexdxx2ex2xdexx2ex2xex2exdxx2ex2xex2exCex(x22x2)C例4xlnxdx-lnxdx2-x2lnx-x2-dx222x-x2lnx-xdx-x2lnx-x2C2224例5arccosxdxxarccosxxdarccosx1.xarccosxxdx1x212、22xarccosx1(1x2)2d(1x2)xarccosx1x2C21212121,例6xarctanxdx

20、arctanxdx2x2arctanxx2zdx-x2arctanx-(1-)dx22'1x"12.11x2arctanxxarctanxC222例7求exsinxdx解因为exsinxdxsinxdexexsinxexdsinxexsinxexcosxdxexsinxcosxdexexsinxexcosxexdcosxexsinxexcosxexdcosxexsinxexcosxexsinxdx所以exsinxdx1ex(sinxcosx)C例8求sec3xdx解因为sec3xdxsecxsec2xdxsecxdtanxsecxtanxsecxtan2xdxsecxtanx

21、secx(sec2x1)dxsecxtanxsec3xdxsecxdxsecxtanxIn|secxtanx|sedxdx所以sec3xdx1,(secxtanx2In|secxtanx|)C例9求1ndx其中n为正整数解112dx2arctanCx2a2aan1时，用分部积分法dx(x2a2)n1(x2a2)n12(n1)(xx2a2)n1x2(n1)(x2a2)n1Inx2xkdx(x2a2)na2(x2a2)n1(x2a2)n2(n1)(In1a2In)2a2(n1)(x2a2)n1以此作为递推公式并由dx(2n3)I-I1-arctanC即可得In例10求e，xdx解令xt2dx2td

22、texdx2tetdt1)C2ex(,x1)Cexdxexd(x)22.xdex2xex22xex2exC2e5(.x1)C第一换元法与分部积分法的比较：共同点是第一步都是凑微分f(x)(x)dxf(x)d(x)令(x)uf(u)duu(x)v(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)哪些积分可以用分部积分法？xcosxdxxexdxx2exdxxlnxdxarccosxdxxarctanxdxexsinxdxsec3xdx2xex2dxex2dx2eudux2exdxx2dexx2exexdx2§44几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分有理函数的形式有理函数

23、是指由两个多项式的商所表示的函数即具有如下形式的函数：P(x)a0xna1xn1an1xanQ(x)boxmbixm1bmixbm其中m和n都是非负整数a0aia2an及b0bib2bm都是实数并且a。0bo0当nm时称这有理函数是真分式而当nm时称这有理函数是假分式3xx2x 1 x(x2 1) 11x2 1假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式例如x21真分式的不定积分求真分式的不定积分时再积分如果分母可因式分解则先因式分解然后化成部分分式求2x3dxx25x6提示x 3 x2 5x-dx 63dx(x 2)(x 3)3dx3 dx)dx6ln| x 3| 5ln| x2| Cx

24、 3 A B(x 2)(x 3) x 3 x 2A B 13A 2B 3 A 6(A B)x ( 2A 3B)(x 2)(x 3)B 5分母是二次质因式的真分式的不定积分x 2 x2 2xdxx 2 x2 2x-dx 3(工一2二3一0)dx2 x2 2x 3x2 2x 32x 2 x2 2x3dx12xdx21rl(x22x3)arctanCx22x312(2x2)3x22x31x22x22x33712x3x(x1)2dxx(x1)21Ldx(x1)2J提示1dxxx11dx(x1)2dxln|x|ln|x11|Cx11x(x1)21xxx(x1)2x(x1)(x1)2x(x1)(x1)2x

25、x11(x1)2二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算理式表示故三角函数有理式也就是sin用于三角函数有理式积分的变换：由于各种三角函数都可以用、cosx的有理式sin其特点是x及cosx的有把sinx、cosx表成tan|的函数然后作变换sinx2tanx2sinxcos-222xsec2二2cosxcos2l2tanx2uu21tan2xsin2-22sec2x21u2u2变换后原积分变成了有理函数的积分1sinx.dxsinx(1cosx),xtan一2sinxsinx(1cosx)dxsinx(12

26、uu22u1u21cosx一1u2u22arctanudx2-ydu1u2产)1u21u22du(u12u)du21(2uln|u|)C1tan2xtan5.1in|tanx|C2'24222121解令utan2则(1-2ur)1sinxdx1u22dusinx(1cosx)2u11u1u2FV(11V)1(u222uln|u|)C2(u21)du1tan2xtanx1ln|tanx|C42222说明：并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如cosxdx1d(1sinx)ln(1sinx)C1 sinx1sinx三、简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二

27、换元法把根号消去例5求Xx_2dxx解设Jx1u即xu21则-dx-2udu2-uduxu21u211 、2 (11u2)du2(uarctanu)C2(.x1arctan.x1)C例6求%13x2解设Vx2u即xu3 (x 2)2 33 x 2 ln|1 3 x 2| C2则2一3dxL3u2du3U_Udu13x21u1u1u23(u1六)du3(u2uln|1u|)Cdx(13x)x解设xdx6t5dt从而dx(13x).xt2647dt1t26(1Jp)dt6(tarctant)C6(6x1xdxxarctan6x)x/xxdx(t21)t2t(t21)2dtt224dtt21练习dx

28、2cosx(1/dt1xxln11一x-xdx2cosx作变换ttan-22dt1t21t2t2则有dx-1cosx1t21t2t3Fdt232arctan43tarctan(sin5x,求一4dxcosxsin5x,4dxcosxsin4x,4dcosxcosx(1cos2x)24cosxdcosx(1xcos-)dcosxxcosxcosx13cos3x3x1x23x-dx23x1x23x-dx23x1dx(x2)(x1)/74.()dxx2x1dxx21dxx17ln|x2|4ln|x1|§ 4.5 分表的使用为了实用的方便往往把常用的积分可根据被积函数的类型直接地或经过简积分

29、的计算要比导数的计算来得灵活、复杂公式汇集成表这种表叫做积分表求积分时单变形后在表内查得所需的结果积分表一、含有axb的积分dx ax1-b aln|ax b| C5.6.7.8.9.b|Cax bb22bln|ax b| ax bx(3x 4)2dx解这是含有3x 4的积分在积分表中查得公式2. (axb)dx1(axb)1C(1)a(1)3. xdx-1(axbbln|axb|)Caxba24. x2dx-11(axb)22b(axb)b2ln|axb|Caxba32dx11naxbCx(axb)bxdx1alaxb0一丁lnCx2(axb)bxb2xx-7dx-1ln|ax(axb)2a

30、2x2.1,732dxaxb(axb)2a3dx11.axbn-TTlnCx(axb)2b(axb)b2xx-dx-1ln|axb|(axb)2a2bCaxb现在a3、b4x14dx1ln|3x4|-4(3x4)293x4二、含有Jaxb的积分axbdx2(axb)3C3a12.xaxbdx_2T(3ax2b)(axb)3C15a23.x2，axbdx2-nr(15a2x212abx8b2)(axb)3C105a34.5.x,axbx2.axbdxdx6.dxxvaxb7.dx8.x2-axb33dxx9.axbx2三、含x2dx-22(ax2b),axbC3a22-(3a2x24abx8b2

31、).axbC15a3''11n厩Waxbv'baxbb7bC(b0)arctan-axbC(b0).axbadxbx2bx、axb2、axbbrdxx、axbaxbadxx2x，axba2的积分dx2.dx2n3dx3.(x2a2)n2(n1)a2(x2a2)n12(n1)a2(x2a2)n1四、含有ax2b(a0)的积分1.-dx-ax2b1arctan.axC(bab、b0)(b0)2.aXbdx1大皿坪2b|C3.x2dxxbdxax2baaax2b4.dxx(ax2 b)LnC2b|ax2 b|5-x2(axxb)bxba74dx6.dx土in|ax2b|x3(

32、ax2b)2b2x27.dxx11dx(ax2b)22b(ax2b)2bax2b五、含有ax2bxc(a0)的积分dx六、含有%,x2a2(a0)的积分arsh-C1ln(x.x2a2)Ca2.dxxa2-x2 a24.1x25.6.-=lx.x2 a2x2.(x2 a2)3x x2dx7.dxx x2 a2-ln a8.dxx2 - x2 a29.x2 a2dxa2_ Ca2a2-ln(x.x2 a2)xx2 a2x2 a2|x|x2 a2a2xxx2a2ln(x.x2 a2) x2 a2)dxx4x29因为dx - dx所以这是含有 JX2飞2的积分 这里a 2在积分表中查得公式dx1.x2a2anInCx,x2a2a|x|于是dxx. 4x2 9123214x2 9 3-in32|x|七、含有v'x2-2(a0)的积分2.3.dx,x2 a2dx,(x2 a2)3xarch 凶 C1 in |x . x2 a21 C|x| 一ax a2 . x2a2 Cx dx . x2 a2 C, x2 a25.x2dx.x2 a2x x2 a2 和|x.x2 a21