同济第六版《高等数学》教案第09章重积分

1、6章第九章重积分教学目的:1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。2. 掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。3. 掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。教学重点：1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点：1、 利用极坐标计算二重积分；2、 利用球坐标计算三重积分；3、 物理应用中的引力问题。§ 9 1二重积分的概念与性质重积分的概念1

2、 曲顶柱体的体积设有一立体它的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面zf（xy）这里f（xy）0且在D上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积首先用一组曲线网把D分成n个小区域12n分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体在每个i中任取一点（ii）以£（ii）为高而底为i的平顶柱体的体积为f（ii）i（i12n）这个平顶柱体体积之和nV f(i,i)ii1可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限即nV 网f(i,i)

3、i0i1其中是个小区域的直径中的最大值2平面薄片的质量设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D它在点(xy)处的面密度为(xy)这里(xy)0且在D上连续现在要计算该薄片的质量M用一组曲线网把D分成n个小区域12n把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量(ii)i各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值nM(i，i)ii1将分割加细取极限得到平面薄片的质量nMlimn(i,i)i0i1其中是个小区域的直径中的最大值定义 设f(xy)是有界闭区域 D上的有界函数将闭区域D任意分成n个小闭区域12n其中 i表示第i个小区域也表示它的面积i) 作和nf( i, i) ii 1在每个 i上任取一点(如果当

4、各小闭区域的直径中的最大值为函数f(xy)在闭区域D上的二重积分nf(x,y)d lim f( i, i)0i i:于零时这和的极限总存在则称此极限记作 f (x, y)d 即Dif(xy)被积函数f(xy)d被积表达式d面积元素xy积分变量D积分区域积分和直角坐标系中的面积元素如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D那么除了包含边界点的一些小闭区域外其余的小闭区域都是矩形闭区域设矩形闭区域i的边长为xi和yi则ixiyi因此在直角坐标系中有时也把面积元素d记作dxdy而把二重积分记作f(x,y)dxdyD其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素二重积分的存在性当f(xy)在闭区域D上连

5、续时积分和的极限是存在的也就是说函数f(xy)在D上的二重积分必定存在我们总假定函数f(xy)在闭区域D上连续所以f(xy)在D上的二重积分都是存在的二重积分的几何意义如果f(xy)0被积函数f(xy)可解释为曲顶柱体的在点(xy)处的竖坐标所以二重积分的几何意义就是柱体的体积如果f(xy)是负的柱体就在xOy面的下方二重积分的绝对值仍等于柱体的体积但二重积分的值是负的二二重积分的性质性质1设Ci、C2为常数则Cif(x,y)c2g(x,y)dqf(x,y)dc?g(x,y)dDDD性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和例如D分为

6、两个闭区域D与D2则f(x,y)df(x,y)df(x,y)dDD1D2性质31dd(为D的面积)DD性质4如果在D上f(xy)g(xy)则有不等式f(x,y)dg(x,y)dDD特殊地有If(x,y)d|1f(x,y)dDD性质5设Mm分别是f(xy)在闭区域D上的最大值和最小值积则有mf(x,y)dMD性质6(二重积分的中值定理)设函数f(xy)在闭区域D上连续面积则在D上至少存在一点()使得f(x,y)df(,)D§92二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分X型区域Di(x)y2(x)axbY型区域Di(x)y2(x)cyd混合型区域设f(xy)0D(xy)|i(x)y2

7、(x)axb此时二重积分f(x,y)d在几何上表示以曲面zf(xy)为顶D底的曲顶柱体的体积对于x0ab曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间1(x0)为底、以曲线zf(x°y)为曲边的曲边梯形所以这截面的面积为2(x0)A(Xo)f(%,y)dy为D的面以区域D为2(x0)1(x0)页脚内容19根据平行截面面积为已知的立体体积的方法得曲顶柱体体积为可记为则有类似地方法baA(x)dxf(x，y)dDf(x,y)d如果区域i(x)f(x,y)d计算xydD画出区域DxydDbababdxa2(x),f(x,y)dydx1(x)2(x)1(x)2(x)1(x)y2(x)dyf(x,y)dy

8、dxf(x,y)dy型区域2(y)1(y)f(x,y)dx其中D是由直线y可把D看成是X型区域x1xydydx注积分还可以写成的闭区域解法2也可把xydD计算画出区域1、x2及yx所围成的闭区域2x/xdx(x3x)dx1rx4x212927工18xydDD看成是221yxydxdyxdx1xydy型区域y.,1x2y2d2xdx11xydy1其中D是由直线y1、x2Wi29818及yx所围成D可把D看成是X型区域y、1 x2 y2dD1dxyJ1x2y2dy111(1x2y2产Xdx111(|x|31)dx33也可D看成是Y(x31)dx型区域：1y11x<yy.11x2y2dD例3计

9、算xyd其中D是由直线yx2及抛物线y2x所围成的闭区域D解积分区域可以表示为DD+D其中 D1: 0 x 1, x y , xD2： 1 x 4, 2 y百 于是xydD4xdxxydy1x2积分区域也可以表示为D1y2y2xy2于是xyd21dy；2xydx;亨丫氏口丫121y(y2)2y5dyD22工£4y32y242155243618讨论积分次序的选择例4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积解设这两个圆柱面的方程分别为x2y22及x?z?2利用立体关于坐标平面的对称性只要算出它在第一卦限部分的体积V1然后再乘以8就行了第一卦限部分是以D(xy)|0yJr2x2,

10、0x为底以zJRS顶的曲顶柱体于是V8、R2x2d8Rdxx'.r2x2dy8：%R2x2yoR2x2dx0o08R(R2x2)dx16R303利用极坐标计算二重积分有些二重积分积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便且被积函数用极坐标变量表达比较简单这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分f(x,y)dD按二重积分白勺定义f (x, y)dDnlim0f( i, i)0i 1下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式D分为以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域n个小闭区域小闭区域的面积为.1()2.121(2)i2(ii)i2ii2(2ii)iii

11、(i)-2iiiii其中-表示相邻两圆弧的半径的平均值在i内取点(-i，i)设其直角坐标为(ii)则有 i - cos i in于是 lim f( i, i) i 0i 1即 f(x,y)d f (DD若积分区域D可表示为1( )2()则f( cos ,D-i sin inlimf (-i cos i,0i 1cos , sin ) d dsin ) d d di sin i)i2()f ( cos , sin ) d i()讨论如何确定积分限？的闭区域日ZEf(f(cos,cos,计算sin)dsin)dx2exD在极坐标系中、，2、,2exydxdyD此处积分利用ex2y2ax2y2(xy

12、)l(x(x显然Dex2Di因为x2exSy2dxdy闭区域dxdyy)|x2y)|0由于ey2,ydxdyy2dxdy又应用上面已得的结果有、，2、,2eydxdyDi其中f(cos,sin)d)f(cos,sin)dD是由中心在原点、D可表不为dxdy半径为a的圆周所围成20dd女2ad2(1a2(1ea2)也常写成x2ey2ax22、(1ea)计算广义积分dxdy20edx2y2yR22R2x2y2x0y0x0y0yR从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式2.2ydxdye22xydxdyD2x2dxy2dyx2dx)2R2)x2exD22一ydxdy(1e2R2)于是上面的不等式可写

13、成-(1eR2)(:ex2dx)2-(1e2R2)令R上式两端趋于同一极限从而ex2dx402例6求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积解由对称性立体体积为第一卦限部分的四倍V4,4a2x2y2dxdyD其中D为半圆周yJ2axx2及x轴所围成的闭区域在极坐标系中D可表不为02acos于是 V 44a22 d dD4% 2acos . 4a22 d 00 p32a2 02(1 sin3 )d32 a2(-323)§93三重积分、三重积分的概念定义设f(xz)是空间有界闭区域上的有界函数将任意分成n个小闭区域其中i)V1vi表木第作乘积V

14、2个小闭区域f( ivn也表示它的体积i) vi(i在每个vi上任取一点(in)并作和nf(i 1i) vi如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f(xyz)在闭区域上的三重积分记作f(x,y,z)dv即nf(x,y,z)dvlimf(i，i，i)m0ii三重积分中的有关术语一一积分号f(xyz)被积函数f(xyz)dv被积表达式dv体积元素xyz积分变量积分区域在直角坐标系中如果用平行于坐标面的平面来划分则ViXiyizi因此也把体积元素记为dvdxdydz三重积分记作f(x,y,z)dvf(x,y,z)dxdydzn当函数f(xyz)在闭区域上连续时极限l

15、imf(i,i,i)vi是存在0i1的因此f(xyz)在上的三重积分是存在的以后也总假定f(xyz)在闭区域上是连续的三重积分的性质与二重积分类似比如Cif(x,y,z)qg(x,y,z)dvc1f(x,y,z)dv七g(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(x,y,z)dv1212dvV其中V为区域的体积二、三重积分的计算1利用直角坐标计算三重积分三重积分的计算三重积分也可化为三次积分来计算设空间闭区域可表为zi(x y) z z2(xy)yi(x)y y2(x)a x bf (x,y,z)dvz2(x,y), 、f(x,y,z)dzdzi(x,y)DbdxaV2 (x

16、) yi(x) Z2(x, y)4(x,y)f(x,y,z)dzdybdxay2(x)dyyi (x)yz2(x,y)zi(x,y)f (x,y,z)dznby2(x)z2(x,y)即f(x,y,z)dvdxdyf(x,y,z)dzay1(x)z1(x,y)其中D:yi(x)yy2(x)axb它是闭区域在xOy面上的投影区域提示设空间闭区域可表为zi(xy)zz2(xy)yi(x)yy2(x)axb计算f(x,y,z)dv基本思想对于平面区域Dyi(x)yy2(x)axb内任意一点(xy)将f(xyz)只看作z的函数在区间zi(xy)z2(xy)上对z积分得到一个二元函数F(xy)z2(x,y

17、)F(x,y)f(x,y,z)dzzi(x,y)然后方t算F(xy)在闭区域D上的二重积分这就完成了f(xyz)在空间闭区域上的三重积分F (x, y)dz2(x,y)zi (x,y)f(x,y,z)dzdbdxay2 (x) z2(x,y)yi(x)4(x,y) f(x，y，z)dzdyf(x，y,z)dvz2(x,y)gy) f(X，y,z)揶 Dbdxay2 (x)z2(x,y)yi(x)Q(x,y)好初晒bV2(x)- dx ,、ayi (x)z2(x,y)%“)f(x，y，Z)dzbf (x,y,z)dv dxay2(x)z2(x,y)dy f (x, y,z)dz %(x) z 4

18、(x,y) v ,y, 7其中D ： y i(x)yy2(x)a x b 它是闭区域 在xOy面上的投影区域例1计算三重积分xdxdydz其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域解作图区域可表示为：z 1 x 2y0 y 2(1 x)于是xdxdydz11 xdx 2o odyo1 x 2yxdz1xdx 号(100'x 2y)dy40(x 2x2 x3)dx148讨论其它类型区域呢？有时我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分设空间闭区域(xyz)|(xy)DC1zC2其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域则有C2f(x,y,z)

19、dvdzf(x,y,z)dxdyC1Dz例2计算三重积分z2dxdydz其中是由椭球面£上2Z21所围成的a2b2c2空间闭区域解空间区域可表为：X2y!1z!a2b2c2于是C Cz2dxdydzz2dz dxdyCDzab c (1 -z2)z2dz 145 abC3练习1 将三重积分If(x, y,z)dxdydz化为三次积分其中是由曲面z1x2y2z0所围成的闭区域(2) 是双曲抛物面xyz及平面xy10z0所围成的闭区域(3) 其中是由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域将三重积分If(xyz)dxdydz化为先进行二重积分再进行定积分的形式 其中由曲面z1x2y2z0

20、所围成的闭区域利用柱面坐标计算三重积分) 则这样的三个数、z就叫做点M的柱面坐标这里规定、z的变化范围为<z<坐标面Zo的意义点M的直角坐标与柱面坐标的关系x cossincos sinz柱面坐标系中的体积元素dvdz简单来说 dxdy d柱面坐标系中的三重积分dxdydzdxdydzd d dzf (x, y,z)dxdydzf ( cos ,sin ,z)d d dz例3利用柱面坐标计算三重积分zdxdydz其中是由曲面x2 y2与平面z 4所围成的闭区域闭区域可表示为zdxdydzdz42zdz(164)d82 66 2 640 7利用球面坐标计算三重积分Mx yz)为空间内

21、一点则点M也可用这样三个有次序的数确定 其中r为原点O与点M间的距离为OM与z轴正向所夹的角为从正z轴来看自设Mxyz)为空间内一点并设点MBxOy面上的投影P的极坐标为Rx轴按逆时针方向转到有向线段OP的角这里P为点M在xOy面上的投影这样的三个数r、叫做点M的球面坐标这里r、的变化范围为0r<0<02坐标面rrooo的意义点M的直角坐标与球面坐标的关系xrsincosxrsincosyrsinsinzrcosyrsinsinzrcos球面坐标系中的体积元素dvr2sindrdd球面坐标系中的三重积分f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindr

22、dd例4求半径为a的球面与半顶角解 该立体所占区域可表示为0 r 2acos0是所求立体的体积为2 .V dxdydz r sin drd为的内接锥面所围成的立体的体积0222acosd d d r2sin dr000提示面的方程为2 sin d016 a33 球面的方程为 r2 2arcos2a coscos3x?y2r2drsin d(z a)22acos4 aT2a3-(1cos4 a)2az 在球面坐标下此球§94重积分的应用元素法的推广有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理这种元素法也可推广到二重积分的应用中如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(就是说当闭区域

23、D分成许多小闭区域时且U等于部分量之和)并所求量U相应地分成许多部分量且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d时相应的部分量可近似地表示为f(xy)d的形式其中(xy)在d内则称f(xy)d为所求量U的元素记为dU以它为被积表达式在闭区域D上积分Uf(x,y)dD这就是所求量的积分表达式一、曲面的面积设曲面S由方程zf(xy)给出D为曲面S在xOy面上的投影区域函数f(xy)在D上具有连续偏导数fx(xy)和fy(xy)现求曲面的面积A在区域D内任取一点P(xy)并在区域D内取一包含点P(xy)的小闭区域d其面积也记为d在曲面S上点M(xyf(xy)处做曲面S的切平面T再做以小区域d的边界曲线

24、为准线、母线平行于z轴的柱面将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值记为dA又设切平面T的法向量与z轴所成的角为则dA-d-.1f?(x,y)fy2(x,y)dcos这就是曲面S的面积元素于是曲面S的面积为A,1fx2(x,y)fy2(x，y)dD或A1(-x)2(-z)2dxdy设dA为曲面S上点M处的面积元素dA在xOy面上的投影为小闭区域dM在xOy面上的投影为点P(xy)因为曲面上点M处的法向量为n(fxfy1)所以dA|n|d1f?(x,y)fy2(x,y)d提示dA与xOy面的夹角为(nAk)dAcos(nAk)d1nk|n|cos(n人k)1cos(n人

25、k)|n|讨论若曲面方程为xg(yz)或yh(zx)则曲面的面积如何求？,11(x)2(x)2dydzDyz'yz或A1(y)2(y)2dzdxD''zxzx其中Dz是曲面在yOz面上的投影区域4是曲面在zOx面上的投影区域例1求半径为R的球的表面积所以上半球面面积不能直解上半球面方程为zJR2x2y2x2y2F2因为z对x和对y的偏导数在Dx2y2R上无界然后取极限a rdr接求出因此先求在区域Dx2y2a2(aF)上的部分球面面积2-R22dxdyx2y2a2、Rxy2R(R.R2a2)于是上半球面面积为lim2R(RJR2a2)2R2aR整个球面面积为A2Ai4R

26、提示zxzyx,R2x2y2y.R2x2y2卜?甲Jr2R2y2解球面的面积A为上半球面面积的两倍上半球面的方程为zJr2x2y2而zxzyxJR2x2y2y.R2x2y2所以A2x2y2R21(*(-z)26章2x2y2R2,R2x2-2dxdyy222R4RjR22R4R20例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星距地面的高度为h36000km运行的角速度与地球自转的角速度相同试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R6400km)解取地心为坐标原点地心到通讯卫星中心的连线为z轴建立坐标系通讯卫星覆盖的曲面是上半球面被半顶角为的圆锥面所截得的部分方程为zJR2x2y2x2y2Rsin

27、2于是通讯卫星的覆盖面积为(Z)2()2dxdyyDxyJR2x2y2-dxdy其中E(x利用极坐标y)lR2sin2是曲面在xOy面上的投影区域RsinJR2Rsin2R0d2R2(1,R22(cos)由于cosRR""h代入上式得2R2(1R2由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为361064R22(Rh)2(366.4)10642.5%由以上结果可知卫星覆盖了全球三分之一以上的面积故使用三颗相隔角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面二、质心设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D在点P(x页脚内容17y)处的面密度为(x6章MyMTMx xy (x, y)dM

28、 x DM (x,y)dD在闭区域D上任取包含点 Rxy)小的闭区域d (其面积也记为d ) 则y)假定(xy)在D上连续现在要求该薄片的质心坐标在闭区域D上任取一点P(xy)及包含点P(xy)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d)则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为dMxy(xy)ddMx(xy)d平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为Mxy(x,y)dMyx(x,y)dDD设平面薄片的质心坐标为(x,y)平面薄片的质量为M则有MMy于是x(x,y)dD(x,y)dD页脚内容30平面薄片对x轴和对y轴的力矩元素分别为dMxy(xy)ddMx(xy)d平面薄片对x轴和对y轴的力

29、矩分别为Mxy(x,y)dDMyx(x,y)dD设平面薄片的质心坐标为(x,y)平面薄片的质量为M则有于是提示MyMyMx(x,y)dD(x,y)dDMxxy(x,y)dMxJDM(x,y)dD将P(xy)点处的面积元素d看成是包含点P的直径得小的闭区域上任取一点P(xy)及包含的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d)则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为讨论如果平面薄片是均匀的即面密度是常数则平面薄片的质心（称为形心）如何求？求平面图形的形心公式为xdx卫一dDydDdD因为例3求位于两圆2sin4sin之间的均匀薄片的质心因为闭区域D对称于y轴所以质心C（x,y）必位于y轴

30、上于是x0(xydDydDdD类似地Z)在222sinddsind04sin02d72sin1237所求形心是C（0,7）33占有空间闭区域、在点（xy上连续）的物体的质心坐标是z(x,y,z)dv其中Mz）处的密度为（xyz）（假宽x(x,y,z)dv(x,y,z)dv例4求均匀半球体的质心解取半球体的对称轴为原点取在球心上所占空间闭区可表示为(xyz)ix2y2显然质心在z轴上z2a2z01My(x,y,z)dv又设球半径为a则半球体故质心为提示zdv02dzdvdvzdv_3adv8(0,0,3a)8dv02dsindr22sin0ar2dr02a3arcos0r2sindr2sin2a

31、r3dr0三、转动惯量设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D在点P（xy）处的面密度为（xy)量假定（xy）在D上连续 现在要求该薄片对于 x轴的转动惯量和 y轴的转动惯在闭区域 D上任取一点 Rxy）及包含点P（x（其面积也记为d ）则平面薄片对于 x轴的转动惯量和y）的一直径很小的闭区域 y轴的转动惯量的元素分别dIx y2 (x y)ddI y x2(x y)d整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为Ix y2 (x,y)dDI yx2 (x, y)dDa2y 0x轴的转动惯量IxIxy2dD2 . 2sinD0sin2d0a 3d九sin2 d例5求半径为a的均匀半圆薄片（面密度为常量）对于其直径边的转动惯量解取坐标系如图