18193　弧度制

1、§3弧度制学习目标：1.了解角的另外一种度量方法弧度制.2.能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算(重点)3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式(难点)自 主 预 习·探 新 知1弧度制(1)弧度制的定义在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角它的单位符号是rad，读作弧度以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制(2)角度制与弧度制的互化弧度数()正角的弧度数是一个正数；()负角的弧度数是一个负数；()零角的弧度数是0；()弧度数与十进制实数间存在一一对应关系弧度数的计算|.如1­3­1图：图1­3­1角度制与弧度制的换算

2、一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0°1°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度02思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？提示：在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时， 同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关2弧长公式与扇形面积公式已知r为扇形所在圆的半径，n为圆心角的度数，为圆心角的弧度数角度制弧度制弧长公式ll|r扇形面积公式SSl·

3、r|r2思考2：扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？提示：设扇形的半径为r，弧长为l，为其圆心角，则Slr，lr.基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位()(2)1度的角是周角的，1弧度的角是周角的.()(3)180°等于弧度()答案(1)(2)(3)2时针经过一小时，时针转过了()A. radB radC. rad D radB时针经过一小时，转过30°，又30° rad，故选B.3若5，则角的终边在()A第四象限 B第三象限C第二象限 D第一象限D25与5的终边相同，25，25是第一象限角，则

4、5也是第一象限角4已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1 B4C1或4 D2或4C设扇形半径为r，圆心角弧度数为，则由题意得或合 作 探 究·攻 重 难角度与弧度的互化将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)15°；(3)；(4). 【导学号：64012019】解(1)20°20× rad rad.(2)15°15× rad rad.(3) rad×180°105°.(4) rad×180°396°.规律方法角度制与弧度制

5、互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180° rad，充分利用1° rad和1 rad进行换算(2)方法：设一个角的弧度数为，角度数为n，则 rad·；n°n· rad.(3)注意点：用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数；度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度跟踪训练1将下列各角度与弧度互化：(1)；(2)；(3)157°30.解(1)×180°75°；(2)×180°

6、;210°；(3)157°30157.5°157.5× rad rad.用弧度制表示终边相同的角用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包含边界)思路探究先用弧度制表示临界角，然后利用终边相同的角将区域用不等式组的形式表示解(1)如图，以OA为终边的角为2k(kZ)；以OB为终边的角为2k(kZ)阴影部分内的角的集合为.(2)如图，以OA为终边的角为2k(kZ)；以OB为终边的角为2k(kZ)；不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1，M2，阴影部分所表示的集合为：M1M2.规律

7、方法1.根据已知图形写出区域角的集合的步骤：(1)仔细观察图形；(2)写出区间边界对应的角；(3)用不等式表示区域范围内的角.2.注意事项：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错.跟踪训练2(1)把1 480°写成2k(kZ)的形式，其中0<2；(2)若4，0)，且与(1)中终边相同，求.解(1)1 480°10，0<2，1 480°2×52×(5).(2)与终边相同，2k，kZ.又4，0)，1，2.弧长公式与面积公式的应用探究问题1扇形的半径，弧长及圆心角存在怎样的关系？提示：|.2扇形的面积和

8、相应的弧长存在怎样的关系？提示：Slr.一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数. 【导学号：64012019】思路探究解设扇形的半径为R，弧长为l，则2Rl4，l42R，根据扇形面积公式SlR，得1(42R)·R，R1，l2，2，即扇形的圆心角为2 rad.母题探究1(变条件)将例3中的条件改为“扇形的面积为4，周长为10，试求圆心角(0<<2)的弧度数解设长为l，扇形半径为r，由题意得：解得或(舍)故(rad)，即扇形的圆心角为 rad.2(变条件变结论)将例3的条件改为“已知扇形的周长为40 cm”问：当它的半径和圆心角取什么值时，才使扇形的面积最大？解

9、设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，面积为S，则l2r40，l402r，Slr×(402r)r20rr2(r10)2100.当半径r10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，此时2(rad)当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.规律方法灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.当 堂 达 标·固 双 基1下列说法中，错误的说法是()A半圆所对的圆心角是 radB周角的大小是2C1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度D根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误22 340°转化为弧度为()AB13C D13B2 340×13，选B.3已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为()A. B.C. D.C由S|r2得××12，所以.4已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为_解析由弧长公式lR得.答案5已知1 690°.(1)把写成2k(kZ，0,2)的形式；(2)求，使与终边相