181924　242　抛物线的几何性质

1、2.4.2抛物线的几何性质学习目标：1.了解抛物线的简单的几何性质，如范围、对称性、顶点和离心率等2.会用抛物线的几何性质处理简单的实际问题(难点)自 主 预 习探 新 知抛物线的几何性质类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图象性质焦点FFFF准线xxyy范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下基础自测1判断正误：(1)抛物线是中心对称图形()(2)抛物线的范围是xR.()(3)抛物线是轴对称图形()【解析】(1).在抛物线方程中，以x代x，y代y，方程发生了变化，故抛物线不是中心对称图

2、形(2).抛物线的方程不同，其范围就不同，如y22px(p0)的范围是x0，yR.(3).抛物线y22py(p0)的对称轴是x轴，抛物线x22py(p0)的对称轴是y轴【答案】(1)(2)(3)2抛物线y22px(p0)上一点M到焦点的距离是a，则点M的横坐标是_. 【导学号：95902138】【解析】由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a.【答案】a合 作 探 究攻 重 难抛物线的方程及其几何性质(1)设O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若PF4，则POF的面积为_(2)已知拋物线的焦点F在x轴上，直

3、线l过F且垂直于x轴，l与拋物线交于A、B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此拋物线的标准方程. 思路探究(1)利用抛物线的对称性及等边三角形的性质求解；(2)设出抛物线的标准方程，根据抛物线的对称性表示出三角形的面积，解方程可得抛物线方程中的参数，即得抛物线的方程【自主解答】(1)如图，设P(x0，y0)，由PFx04，得x03，代入抛物线方程得y4324.所以y02.所以SPOFOFy022.【答案】2(2)由题意，设拋物线方程为y2ax(a0)焦点F，直线l：x，A、B两点的坐标分别为，ABa，OAB的面积为4，a4，a4，拋物线的方程为y24x.规律方法1求抛物线的标准方程时

4、，目标就是求解p，只要列出一个关于p的方程即可求解2求抛物线的标准方程要明确四个步骤：(1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口)；(2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程)；(3)找关系(根据条件列出关于p的方程)；(4)得出抛物线的标准方程跟踪训练1已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，求抛物线C2的方程. 【导学号：95902139】【解】双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，2，ba，双曲线的渐近线方程为xyc，抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，p8，所求的抛物线方程为

5、x216y.抛物线中的应用题河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？思路探究【自主解答】如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x22py(p0)，由题意，将B(4，5)代入方程得p，抛物线方程为x2y.当船的两侧和拱桥接触时船不能通航设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA. 又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h|yA|2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航规律方法1本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，

6、通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题2以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线主要体现在：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程(2)利用已求方程求点的坐标跟踪训练2某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如241图所示，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，问此车能否通过此隧道？说明理由. 【导学号：95902140】图241【解】建立如图所示的平面直角坐标系，则B(3，3)，A(3，3)设抛物线方程为x22py(p0)，将B点的坐标代入，得92p(3)，p，抛物线方程为x23y(3y0)车与箱共高4.5 m，

7、 集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m设抛物线上点D的坐标为(x0，0.5)，D的坐标为(x0，0.5)，则x3(0.5)，解得x0.|DD|2|x0|3，故此车不能通过隧道.直线与抛物线的综合应用探究问题1直线l过抛物线y22px(p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB的长是多少？【提示】由抛物线的定义可知AFx1，BFx2，所以ABAFBFx1x2x1x2p.2斜率为k的直线l与抛物线y22px(p0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的长是多少？【提示】设直线l的方程为ykxm，则AB|x1x2|.这个公式称为弦长公式(1)已知过抛物线y

8、26x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是_(2)求顶点在原点，焦点在x轴上且截直线2xy10所得弦长为的抛物线方程思路探究(1)应用焦半径公式求解；(2)应用弦长公式求解【自主解答】(1)抛物线的焦点为.设直线方程为yk，与方程y26x联立得：4k2x2(12k224)x9k20.设直线与抛物线交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)x1x2，x1x23312.k21，k1.故弦所在直线的倾斜角是或.【答案】或(2)设所求抛物线方程为y2ax(a0) 直线方程变形为y2x1 设抛物线截直线得弦长为AB，将代入整理得4x2(4a)x10，则AB.解得a12或a4.故所求抛物线方程为y21

9、2x或y24x.规律方法直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k.(1)一般的弦长公式：|AB|x1x2|.(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y22px(p0)的焦点时，弦长|AB|x1x2p.(3)求弦长时，为简化计算常常借助根与系数的关系，这样可以避免分别求x1，x2的麻烦，如果是利用弦长求参数的问题，只需要列出参数的方程或不等式即可求解，而(x1，y2)或(y1，x2)一般是求不出来的.跟踪训练3过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p_. 【导学号：95902141】

10、【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线倾斜角为45，过抛物线焦点，所以可设直线方程为yx，代入抛物线方程得2px，即x23px0，故x1x23p，由抛物线的定义可知，|AB|x1x2x1x2p4p8，因此p2.【答案】2构建体系 当 堂 达 标固 双 基1过抛物线y24x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1x28，则PQ的值为_. 【导学号：95902142】【解析】PQx1x2210.【答案】102.如图242，已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y26x上，O是坐标原点，则AOB的边长为_图242 【解析】设AOB边长为a，则A，6a

11、.a12.【答案】123.如图243所示是抛物线形拱桥，当水面在1时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽_米. 【导学号：95902143】图243【解析】设水面与拱桥的一个交点为A，如图所示，建立平面直角坐标系，则A的坐标为(2，2)设抛物线方程为x22py(p0)，则222p(2)，得p1.设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x0，3)，则x6，解得x0，所以水面宽为2米【答案】24已知点P(6，y)在抛物线y22px(p0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于_【解析】抛物线y22px(p0)的准线为x，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以68，所以p4，焦点F到抛物线准