《土木工程测量》第07章new

1、第七章第七章 测量误差与平差测量误差与平差土木工程测量土木工程测量71 测量误差与评定精度的标准测量误差与评定精度的标准 一、测量误差及其来源一、测量误差及其来源1 1、测量误差、测量误差现象：现象： 设某一量的真值为设某一量的真值为X X，实际观测所得数值为观测值，实际观测所得数值为观测值 ，由于观测值由于观测值 中带有测量误差，因此各个观测值不可能等于中带有测量误差，因此各个观测值不可能等于真值，其与真值之差定义为观测值的真误差真值，其与真值之差定义为观测值的真误差 。 iiLiLiXLii（1 1）测量仪器）测量仪器测量仪器存在构造上的缺陷或仪器本身精密度有一定限度。测量仪器存在构造上的

2、缺陷或仪器本身精密度有一定限度。例：水准仪：例：水准仪：CCCC不平行不平行LLLL经纬仪经纬仪:CC:CC不垂直不垂直HHHH卷尺的卷尺的尺长尺长（2 2）观测者）观测者感觉器官的鉴别能力；技术水平和工作态度。感觉器官的鉴别能力；技术水平和工作态度。例：对中、照准和读数例：对中、照准和读数（3 3）外界条件）外界条件温度、湿度、气压、风力、大气折光等外界条件因素温度、湿度、气压、风力、大气折光等外界条件因素例：距离丈量；角度和高程测量例：距离丈量；角度和高程测量2 2测量误差的来源测量误差的来源这三个因素被统称为这三个因素被统称为观测条件观测条件 仪器仪器 观测者观测者 外界环境外界环境3观

3、测条件与精度观测条件与精度等精度观测：等精度观测：相同相同观测观测条件下进行的观测，测量条件下进行的观测，测量成果的质量可以说是相同的成果的质量可以说是相同的 。不等精度观测不等精度观测：不同观测条件下进行的观测。不同观测条件下进行的观测。误差理论研究的目的：误差理论研究的目的： (1)(1)确定最可靠值确定最可靠值 (2)(2)评定测量的精度评定测量的精度 (3)(3)确定误差的限度确定误差的限度二、测量误差分类及处理二、测量误差分类及处理1、系统误差、系统误差(Systematic error)（1）概念概念：在相同的观测条件下对某一未知量进行一系列观测，若误差：在相同的观测条件下对某一未

4、知量进行一系列观测，若误差在大小或符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或在大小或符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数。者为某一常数。例：量距；水准；例：量距；水准； 角度；角度；（2）来源来源：仪器自身的缺陷：仪器自身的缺陷 观测者的习惯观测者的习惯 外界条件外界条件（3）特点特点：积累性积累性对测量结果影响较大对测量结果影响较大（4）处理方法处理方法： 用计算的方法加以改正用计算的方法加以改正 用一定的测量方法中以消除用一定的测量方法中以消除 校正仪器校正仪器系统误差举例系统误差举例30 m的钢尺，经鉴定其实际长度为的钢尺，经鉴定其实际长度为

5、30.005 m，则用，则用该尺每丈量一整尺就有该尺每丈量一整尺就有+5mm的误差，随尺段数成比的误差，随尺段数成比例地增加，并保持其符号不变。例地增加，并保持其符号不变。水准仪因视线与水准管不平行而引起的水准尺读数水准仪因视线与水准管不平行而引起的水准尺读数误差，它与视线长度成正比而符号不变。误差，它与视线长度成正比而符号不变。经纬仪因视准轴与横轴不垂直而引起的方向误差，经纬仪因视准轴与横轴不垂直而引起的方向误差，它随视线竖直角的大小而变，但符号不变。它随视线竖直角的大小而变，但符号不变。二、测量误差分类及处理（续）二、测量误差分类及处理（续）2、偶然误差、偶然误差(Stochastic e

6、rror)（1）概念概念：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若单个误差的符号和大小都不相同，看不出明显规律若单个误差的符号和大小都不相同，看不出明显规律 。例：估读小数；量距插钎；例：估读小数；量距插钎； 照准读数；照准读数；（2）来源来源：仪器：仪器 观测者的感官能力的限制观测者的感官能力的限制 外界条件外界条件（3）特点特点：统计规律性，并且观测次数越多，规律越明显统计规律性，并且观测次数越多，规律越明显（4）处理方法处理方法： 误差理论误差理论偶然误差举例偶然误差举例水平角度测量中照准目标时，可能稍偏左也可能稍偏水平角度测量

7、中照准目标时，可能稍偏左也可能稍偏右，偏差的大小也不一样。右，偏差的大小也不一样。水准测量或钢尺量距中估读毫米位时，可能偏大也可水准测量或钢尺量距中估读毫米位时，可能偏大也可能偏小，其大小也不一样。能偏小，其大小也不一样。 注意注意：偶然误差的出现是：偶然误差的出现是不可避免不可避免的，其出现纯属的，其出现纯属偶然性质，其大小和符号也无法预知。但是在相同的观偶然性质，其大小和符号也无法预知。但是在相同的观测条件下，进行重复观测所出现的大量偶然误差，却存测条件下，进行重复观测所出现的大量偶然误差，却存在着一定的规律。在着一定的规律。比较：比较：系统误差与偶然误差系统误差与偶然误差1 1、偶然误差

8、大小与符号，无法预知，在发生之前不存、偶然误差大小与符号，无法预知，在发生之前不存在；在；2 2、系统误差只要观测条件不变，它的一些规律是可以、系统误差只要观测条件不变，它的一些规律是可以重现的；重现的；3 3、偶然误差表面无规律，个体无规律，但群体服从统、偶然误差表面无规律，个体无规律，但群体服从统计规律。计规律。二、测量误差分类及处理（续）二、测量误差分类及处理（续）3、粗差、粗差(Gross error)粗差粗差是指超出正常观测条件出现的、而且数值超出规定的误差。是指超出正常观测条件出现的、而且数值超出规定的误差。误差量级远远大于前两者，由于观测或操作失误、记录粗心所造误差量级远远大于前

9、两者，由于观测或操作失误、记录粗心所造成的。成的。随着科技的进步，关于粗差的误差理论也得到了较快发展。随着科技的进步，关于粗差的误差理论也得到了较快发展。2020世世纪纪6060年代后期，荷兰巴尔达年代后期，荷兰巴尔达（W.Baarda）教授提出的测量可靠性教授提出的测量可靠性理论和数据探测法，为粗差的理论研究和实用检验方法奠定了基础。理论和数据探测法，为粗差的理论研究和实用检验方法奠定了基础。到目前为止，已经形成了粗差定位、估计和假设检验等理论体系，到目前为止，已经形成了粗差定位、估计和假设检验等理论体系，为粗差的剔除提供了一些有效的解决方法。为粗差的剔除提供了一些有效的解决方法。 带有偶然

10、误差的观测列带有偶然误差的观测列 ：在一系列观测值中剔除粗差及消减系：在一系列观测值中剔除粗差及消减系统误差的影响后，该观测列中主要存在偶然误差。统误差的影响后，该观测列中主要存在偶然误差。必要的提示必要的提示观测量含有粗差时，须经过一定的方法探测并纠正、观测量含有粗差时，须经过一定的方法探测并纠正、或返工重测。或返工重测。观测量含有系统误差时，可通过一定的数学模型来修观测量含有系统误差时，可通过一定的数学模型来修正，如钢尺尺长改正，测距仪的加常数正，如钢尺尺长改正，测距仪的加常数/乘常数改正、乘常数改正、和气象改正等。和气象改正等。而进一步的测量误差分析与处理仅针对偶然误差。而进一步的测量误

11、差分析与处理仅针对偶然误差。实例：观测误差对模型参数确定的影响实例：观测误差对模型参数确定的影响理论模型观测点位存在偶然误差时，参数求解结果观测点位存在偶然误差时，参数求解结果理论模型含偶然误差的点位求得的模型求解出的参数：a=10.2b=4.9理论模型含误差的点位求得的模型求解出的参数：a=13b=9.8观测点位存在粗差时，参数求解结果观测点位存在粗差时，参数求解结果含粗差点位含粗差点位三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性 从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析，就能定的规律性，但对大量的偶然误差进行

12、统计分析，就能发现其规律性，误差个数愈多，规律性愈明显。发现其规律性，误差个数愈多，规律性愈明显。 下面，我们从一个实例下面，我们从一个实例多个三角形内角和的误多个三角形内角和的误差差来看偶然误差的特性。来看偶然误差的特性。观测实例观测实例观测值：三角形内角和观测值：三角形内角和L真值：任一三角形内角和的真值真值：任一三角形内角和的真值X为为180XLXcbaLiii ,:180:真真误误差差真真值值观观测测值值aibici所观测的三角形个数：所观测的三角形个数：n=162n=162三角形内角和真误差统计表三角形内角和真误差统计表误差直方图误差直方图误差区间误差区间误差出现的频率误差出现的频率

13、一定区间内的一定区间内的dnvi2 . 0 d图图中中正态分布曲线正态分布曲线偶然误差的特性总结偶然误差的特性总结（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，即超过一定限值的误差，其出现的概率为零，一定的限值，即超过一定限值的误差，其出现的概率为零，简称简称有界性有界性；（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大，简称大，简称单峰性单峰性；（3）绝对值相等的正负误差出现的概率相同，简称）绝对值相等的正负误差出现的概率相同，简称对称对称性；性；（4）偶然误差的数学期望为零，简称

14、）偶然误差的数学期望为零，简称补偿性补偿性。即。即0limlim, 0)(1nnEnniin或或准确度准确度(Accuracy)-精确度精确度(Precision)Accuracy refers to how close a measurement is to the true value of what is being measured. Precision refers to how close measurements of the same quantity are to each other, even if they are not close to the true value

15、.For example, the darts on the dart boards below represent sets of measurements. A bulls eye represents a perfect measurement-a measurement exactly the same as the true value. Neither Precise Nor AccurateSince none of the darts are close to the bulls eye, the measurements they represent are not very

16、 accurate. Also, since the darts are not very close to each other, the set of five measurements here is not very precise either.Precise and AccurateThe measurements are all close to the true value, so they are accurate. Also, the measurements are all close to each other, so they are precise.Precise

17、But Not AccurateSince all of the measurements are close together, they are precise, but since they are not close to the true value, they are not accurate.四、衡量精度的指标四、衡量精度的指标虽然误差分布曲线或直方图可以描述并比较出观测精度的虽然误差分布曲线或直方图可以描述并比较出观测精度的高低，但此方法并不实用。高低，但此方法并不实用。对实际测量问题，无须求出其误差分布情况，而仅需要使对实际测量问题，无须求出其误差分布情况，而仅需要使用一些数

18、字特征来反映误差分布的离散程度。也就是说，需用一些数字特征来反映误差分布的离散程度。也就是说，需要评定精度的标准。要评定精度的标准。观测条件相同观测条件相同精度相同精度相同对应一条误差分布曲线对应一条误差分布曲线精度：离散程度，不是误差大小精度：离散程度，不是误差大小测量中评定精度的标准有以下这些测量中评定精度的标准有以下这些 方差、中误差方差、中误差 容许误差容许误差 相对误差相对误差1、方差与中误差、方差与中误差方差方差(Variance)是反映一组观测值离散程度的一个是反映一组观测值离散程度的一个数字指标。其数学定义为：数字指标。其数学定义为：中误差中误差(Standard deviat

19、ion)：方差的平方根方差的平方根测量工作中，均采用中误差作为评定精度的标准。测量工作中，均采用中误差作为评定精度的标准。nEEEDnlim)()()()(2222nEDnlim)()(2方差与中误差（续）方差与中误差（续）实际工作中，不可能对观测量作无穷多次观实际工作中，不可能对观测量作无穷多次观测，因此，只能根据有限的观测值的真误差求测，因此，只能根据有限的观测值的真误差求出中误差的估值来代表观测值的精度。在测量出中误差的估值来代表观测值的精度。在测量中常用中常用m m来表示真误差的估值。即来表示真误差的估值。即nmn2中误差计算实例中误差计算实例76 . 4625)4() 1()7(68

20、6 . 26)3(0) 1()2(25222222222222 mm乙乙甲甲有甲乙两组，各自观测了有甲乙两组，各自观测了6 6个三角形的内角，得三角形个三角形的内角，得三角形的闭合差（即三内角和的真误差）的闭合差（即三内角和的真误差）偶然误差理论分布曲线偶然误差理论分布曲线正态正态(高斯高斯)分布分布21221121)(21)(0ff22221)(efI-21-0+12II122f( )112曲线曲线I I表现较陡峭，即误表现较陡峭，即误差分布比较集中，或称差分布比较集中，或称离散度较小，故观测精离散度较小，故观测精度较高。度较高。中误差的几何意义中误差的几何意义可以证明中误差是正态分可以证明

21、中误差是正态分布曲线上两个拐点的横坐布曲线上两个拐点的横坐标值。标值。22221)(ef 故故得得由由010) 1(21)(2222222ef2、容许误差、容许误差容许误差定义容许误差定义 由偶然误差的第一特性可知，在一定的观测条件下，由偶然误差的第一特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许误差容许误差或称或称极限误差极限误差。由概率计算可知由概率计算可知955. 021)22(22222deP997. 021)33(33222deP683. 021)(222deP222)(21)(sxxexf大于大于3

22、 3倍中误差的真误倍中误差的真误差实际上是不可能出现的。差实际上是不可能出现的。因此，通常以因此，通常以3 3倍中误差倍中误差作为偶然误差的作为偶然误差的极限值极限值。在测量工作中一般取在测量工作中一般取2 2倍中误差倍中误差作为观测值的作为观测值的容容许误差，即许误差，即容容=2=2m m当某观测值的误差超过当某观测值的误差超过了容许的了容许的2 2倍中误差时，倍中误差时，将认为该观测值含有将认为该观测值含有粗差粗差，而应舍去不用或重测。而应舍去不用或重测。 3、相对误差、相对误差真误差、中误差等具有与观测量相同的量纲真误差、中误差等具有与观测量相同的量纲(单位单位)，它们被称为它们被称为“

23、绝对误差绝对误差”。相对中误差相对中误差：观测值误差的绝对值与相应观测值之比观测值误差的绝对值与相应观测值之比相对中误差，相对容许误差，相对闭合差，相对较差相对中误差，相对容许误差，相对闭合差，相对较差等等T1观观测测值值误误差差的的绝绝对对值值相相对对误误差差相对误差应用实例相对误差应用实例例：甲组：量距例：甲组：量距n次，次，L甲甲=200m，m甲甲=0.02m 乙组：量距乙组：量距n次，次，L乙乙=100m，m乙乙=0.02m前者的相对中误差为前者的相对中误差为1/10000，后者为，后者为1/5000。虽然两者的中误差相同，但就单位长度而言，两者精度并不虽然两者的中误差相同，但就单位长

24、度而言，两者精度并不相同，前者显然优于后者。相同，前者显然优于后者。区别绝对误差：绝对误差：用于误差大小与观测量的大小无关的观测值，有单位，用于误差大小与观测量的大小无关的观测值，有单位，有符号，用于角度、方向等的观测有符号，用于角度、方向等的观测相对误差：相对误差：用于误差大小与观测量的大小有关的观测值，此时误用于误差大小与观测量的大小有关的观测值，此时误差大小不能反映观测质量，无单位，无符号，用于距离等差大小不能反映观测质量，无单位，无符号，用于距离等7 72 2 误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是

25、直接测定的，而是由观测值通过一定的接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系函数关系间接计间接计算出来的。算出来的。 例如，水准测量中，例如，水准测量中，h=a-b，这时高差，这时高差h就是直接观测值就是直接观测值a、b的函数。当的函数。当a、b存在误差时，存在误差时，h也受其影响而产生误差，也受其影响而产生误差，这就是所谓的误差传播。这就是所谓的误差传播。阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为定律称为误差传播定律误差传播定律。).().(),.,(),.,(221122112121xxxxxxxxxxxxnnnnnnxfxfxfZxfx

26、fxffZZfZ故故按按台台劳劳级级数数展展开开设设独独立立观观测测值值的的函函数数为为 一、误差传播定律推导一、误差传播定律推导12.1212.211313212222222122nnnnxxxfnxxxfxxxfnZNxfxfxfxxfxxfxxf得得个关系式平方后再总和个关系式平方后再总和将将误差传播定律推导误差传播定律推导误差传播定律推导（续）误差传播定律推导（续）mxfmxfmxfmxfmxfmxfxxfxxfxxfxnxxZxnxxZnnmnmNNnZN22222212222222122222222122.21.21.21或或时时当当得得两两边边除除以以时时当当二、求任意函数中误差

27、的步骤二、求任意函数中误差的步骤1.列出独立观测值的函数式列出独立观测值的函数式2.求出真误差关系式，可对函数式进行全微分求出真误差关系式，可对函数式进行全微分3.求出中误差关系式求出中误差关系式),.,(21xxxnfZ ).(2211dxdxdxnnxfxfxfdZmxfmxfmxfxnxxZnm22222212.21常用函数的中误差公式常用函数的中误差公式22222221212211222121. 3. 2. 1xnnxxZnnxxZxZmkmkmkmxkxkxkZmmmxxZkmmkxZ线线性性函函数数和和差差函函数数倍倍数数函函数数例例-1-11、量得某圆形建筑物得直径、量得某圆形建

28、筑物得直径D=34.50m，其中，其中误差误差 ，求建筑物得园周长及其中误差。，求建筑物得园周长及其中误差。解：圆周长及其中误差：解：圆周长及其中误差：)(03. 038.10803. 0)01. 0(1416. 338.10850.341416. 3mPmmmmDPDP结结果果可可写写成成中中误误差差mmD01. 0例例-2-2差。差。两点间的高差及其中误两点间的高差及其中误求求中误差中误差得高差得高差到到从从中误差中误差得高差得高差进行到进行到水准测量从水准测量从CAmmmhCBmmmhhBCBChABAB,009. 0,747. 5,012. 0,476.15 B,A 2.)(015.

29、0223.21015. 0009. 0012. 0223.21747. 5476.152222mmmhmmmhhhAChBChABhACBCABAC解解：例例-3差。差。两点间的高差及其中误两点间的高差及其中误、求求中误差中误差得高差得高差中误差中误差得高差得高差进行到进行到经经水准测量从水准测量从CBmmmhmmmhhACAchABAB C,BA 3.,015. 0,223.21,012. 0,476.15)(019. 0747. 5019. 0012. 0015. 0747. 5476.15223.212222mmmhmmmhhhAChABhAChBCABACBC解解：错误的求解错误的求解

30、例例-3-3)(009. 0747. 5009. 0012. 0015. 0747. 5476.15223.212222222mmmhmmmmmmhhhhhhAChABhAChBChBChABhACBCABACABACBC解解：例例-44、用长、用长30m的钢尺丈量了的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段个尺段，若每尺段的中误差为的中误差为 5mm，求全长，求全长D及其中误差。及其中误差。)(05.030050510103001030mDmmmmlnDmDlD但但解解：全全长长错误的求解错误的求解例例-4 4、用长、用长30m的钢尺丈量了的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段个尺段，若每尺段的中误差为的中

31、误差为5mm，求全长，求全长D及其中误差。及其中误差。)(016.030016105.30010301021mDmmnmmDmDlDlll但但解解：全全长长例例-5-5及及其其中中误误差差。求求相相应应水水平平距距离离，其其中中误误差差并并测测得得倾倾斜斜角角其其中中误误差差丈丈量量倾倾斜斜距距离离Dmmmmss ,03000015:,05. 0,00.50: 例例-5m m 048.020626503)9410.12(05.09659.09410.1215sin50sin9659.015coscos296.4815cos00.50cos22222222 ssDmDmsDmsDsDsD解解：(

32、m) 048. 0296.48D故应用误差传播定律时应注意的两点应用误差传播定律时应注意的两点要正确列出函数式要正确列出函数式 如例如例3和和 例例4在函数式中各个观测值必须是独立的在函数式中各个观测值必须是独立的 1、水准测量的精度、水准测量的精度LlmlLmmlLnnlLlnmmmhhhhhhn站站站站站站站站则则即全长即全长设每站距离均为设每站距离均为，则，则均为均为设每一站高差的中误差设每一站高差的中误差,21三、误差传播定律的应用三、误差传播定律的应用LmmkmLLmlmhh2,1,中中站站的中误差为的中误差为每公里往返测高差中数每公里往返测高差中数中误差。中误差。是每公里水准测量高

33、差是每公里水准测量高差即即时，时，当当则则令令铁路线路水准的限差铁路线路水准的限差mmLmFmmLmmLmmLLmmLmmmmmfhhLfhkmLkm302152)(25 .725 .7.5 .7容容许许高高差差闭闭合合差差为为的的中中误误差差即即闭闭合合差差公公里里往往返返高高差差之之差差中中误误差差为为公公里里单单程程水水准准测测量量高高差差则则平平均均值值的的中中误误差差不不大大于于要要求求每每公公里里往往返返测测高高差差铁铁路路线线路路水水准准测测量量中中，单单单单单单单单2、两半测回角值之差的限差、两半测回角值之差的限差034327122122122626,6 故故铁铁路路线线路路测

34、测量量规规定定为为误误差差，则则有有若若取取两两倍倍中中误误差差为为容容许许误误差差为为：两两半半测测回回角角值值之之差差的的中中故故半半测测回回角角的的中中误误差差为为一一测测回回角角的的中中误误差差为为一一测测回回方方向向中中误误差差为为对对于于半半半半方方方方mmmmmmmmJ两测回角值之差的限差两测回角值之差的限差03,422:21226266 为为两两测测回回角角值值之之差差的的限限差差对对于于定定差差，故故铁铁路路线线路路测测量量规规考考虑虑到到还还有有一一些些其其他他误误误误差差，则则容容许许误误差差若若取取两两倍倍中中误误差差为为容容许许差差为为：两两测测回回角角值值之之差差的

35、的中中误误一一测测回回角角的的中中误误差差为为DJmmm3、钢尺量距的精度、钢尺量距的精度差差是是单单位位长长度度的的偶偶然然中中误误，则则令令DmlmDlmlDmnmmnlDDD光电测距的精度光电测距的精度gggggKfnggcDgnDnKDnfncnDcDcKDnfncDmKDmDmfDmnDmcDmKnfncD)2(2)2(21)2(22000022222222202020 光电测距的精度（续）光电测距的精度（续）22222222202022222222220202020164212)212)2(2KfgngcDKfnggcDggmmfmnmcmDmmmmfDmnDmcDmfncDfDf

36、KDnfncfD或或7-3等精度独立观测值的最可靠值及等精度独立观测值的最可靠值及其中误差其中误差一、等精度独立观测值的最可靠值一、等精度独立观测值的最可靠值在测量工作中，除了要对观测成果评定精度外，在测量工作中，除了要对观测成果评定精度外，还要确定观测量的最可靠值。还要确定观测量的最可靠值。由于观测量的真值难以求得，因此，观测量的最由于观测量的真值难以求得，因此，观测量的最可靠值只能是最接近真值的值，称为最或然值可靠值只能是最接近真值的值，称为最或然值(Most probable value, MPV)。当我们对某一个量同精度进行多次观测后，则当我们对某一个量同精度进行多次观测后，则算算术平

37、均值术平均值(arithmetic mean)就是观测值的最或然值。就是观测值的最或然值。一、等精度独立观测值的最可靠值（续）一、等精度独立观测值的最可靠值（续）XxnnXnLxXxnnXnLXnLnXXXnnnnLLLlim0lim2211算算术术平平均均值值设对某一个量设对某一个量进行了进行了n n次同精次同精度观测，得观度观测，得观测值测值L L1 1, , L L2 2, , , , L Ln n, , 求该观测量求该观测量的算术均值的算术均值。二二 、算术平均值的中误差、算术平均值的中误差nmMnmnmnMnnnnLxLLLn 故故22222111.11观测次数与算术平均值中误差的关

38、系观测次数与算术平均值中误差的关系观测观测次数次数算术平均值的算术平均值的中误差中误差20.7140.5060.41100.32200.22500.14nmM三、按最或然误差求观测值的中误差三、按最或然误差求观测值的中误差前面已介绍的中误差公式（见下式）是不实用的前面已介绍的中误差公式（见下式）是不实用的 因为其中的真误差因为其中的真误差是较难得到的。因此，一般是较难得到的。因此，一般我们按观测值的最或然误差来求得观测值的中误差。我们按观测值的最或然误差来求得观测值的中误差。观测值的观测值的最或然误差最或然误差是观测量的最或然值是观测量的最或然值x与观测与观测值值Li之差，也就是观测值的之差，

39、也就是观测值的改正数改正数(correction, residual)，以，以v来表示。来表示。nmiiLxv按最或然误差求观测值的中误差（续）按最或然误差求观测值的中误差（续）012,: )2() 1 ()2() 1 (2LnLnLxnvvvvnnvXxXxvXLLxvxxixixiiiiii）得得由由（和和得得个个如如上上式式子子两两边边平平方方求求则则令令最最或或然然误误差差按最或然误差求观测值的中误差（续）按最或然误差求观测值的中误差（续）nnnnnnnXLXLXLXnLXxmnnnnnxnx22213121213121222212221)2.2(2)2.22.(1)(.)()( 按最

40、或然误差求观测值的中误差（续）按最或然误差求观测值的中误差（续）)1(1222nnvvnmMnvvmvvmmnvvm算算术术平平均均值值的的中中误误差差为为（白白赛赛尔尔公公式式）故故0 mnLx235.1266412.757 mmnvvm5 . 316601mmnmM4 . 165 . 360-2757.412求和求和1-1126.23669-3126.2385164126.231493126.232325-5126.24020126.2351vv（mm2）最或然误差最或然误差v（mm）最或然值最或然值（m）观测值（观测值（m）次序次序例例-6对某段距离同等精度丈量了对某段距离同等精度丈量了

41、6次，结果列于下表，求这段距次，结果列于下表，求这段距离的最或然值，观测值的中误差及最或然值的中误差。离的最或然值，观测值的中误差及最或然值的中误差。例例-7在同一观测条件下，对某角观测了五个测回，观测值为：在同一观测条件下，对某角观测了五个测回，观测值为：394030，394048，394054， 394043，394036。试求：该角的最或然值；一测回角值的中误差试求：该角的最或然值；一测回角值的中误差m ；最或然值的；最或然值的中误差中误差M 。 2 . 455 . 95 . 91536114436144116, 1,12, 6,12424039nmMnvvmvvLxvnLxii一、按双

42、观测值之差求观测值的中误差一、按双观测值之差求观测值的中误差对某一量进行同精度的双次观测，其较差为对某一量进行同精度的双次观测，其较差为nddmmmmnddnmdLLddd22, 0 ，则则设设单单次次观观测测中中误误差差为为故故为为较较差差的的真真误误差差故故的的真真值值为为因因d 7-4 按真误差求观测值的中误差按真误差求观测值的中误差例例-8水准测量在水准点水准测量在水准点16各点之间往返各测了一各点之间往返各测了一次，各水准点间的距离均为次，各水准点间的距离均为1km,各段往返测所得各段往返测所得的高差见下表。求每公里单程水准测量高差的中的高差见下表。求每公里单程水准测量高差的中误差和

43、每公里往返测平均高差的中误差。误差和每公里往返测平均高差的中误差。123456hh”例例-8求解求解测段测段高差观测值高差观测值(m)(m)dd12-0.185+0.188+3923+1.626-1.629-3934+1.435-1.430+52545+0.505-0.509-41656-0.007+0.005-24mmmmmmnddm8 . 125 . 22:5 . 252632中中的的中中误误差差为为每每公公里里往往返返测测平平均均高高差差 hhd h往往测测h 返测返测二、按三角形的闭合差求测角中误差二、按三角形的闭合差求测角中误差nmmmmmmmmmnnm3333211321为为故故每

44、每个个角角的的测测角角中中误误差差差差为为三三角角形形的的内内角角和和的的中中误误菲菲列列罗罗公公式式）(例例-9在等精度观测条件下，对某三角网内的在等精度观测条件下，对某三角网内的4 4个三角个三角形进行内角观测，形进行内角观测，4 4个三角形的内角之和的观测个三角形的内角之和的观测值分别为：值分别为：1791795959.05959.0，1801800008.00008.0，1791795956.05956.0，1801800002.00002.0。试求（计算。试求（计算取位至取位至0.10.1）：（）：（1 1）三角形内角和的观测中误）三角形内角和的观测中误差？（差？（2 2）每个内角的

45、观测中误差？）每个内角的观测中误差？ 例例-10在同一观测条件下，对某角观测了五个测回，在同一观测条件下，对某角观测了五个测回，观测值为：观测值为：394030，394048，394054， 394042，394036。试求：该角的算术平均值；五测回算术平试求：该角的算术平均值；五测回算术平均值的中误差均值的中误差M；半测回方向值；半测回方向值(一次读数一次读数)的的中误差中误差m。7-5 不等精度独立观测值的最可靠不等精度独立观测值的最可靠值及其中误差值及其中误差(unequal-precision observations)不等精度观测问题不等精度观测问题若对同一个量进行多次观测，是在不同

46、的观测条件若对同一个量进行多次观测，是在不同的观测条件下来进行的，如各次观测所用的仪器或方法不同，则下来进行的，如各次观测所用的仪器或方法不同，则各观测值的精度是不同的。各观测值的精度是不同的。这类问题归结为不等精度观测问题，不能采用前面这类问题归结为不等精度观测问题，不能采用前面的方法来处理。的方法来处理。当各观测量的精度不相同时，不能按算术平均值和当各观测量的精度不相同时，不能按算术平均值和相关中误差公式来计算观测值的最或然值和评定其精相关中误差公式来计算观测值的最或然值和评定其精度。度。 一、权一、权(Weight)在处理不同精度的观测值时，精度高的观测值应在处理不同精度的观测值时，精度

47、高的观测值应给予较大的信赖，精度低的，应给予较小的信赖。给予较大的信赖，精度低的，应给予较小的信赖。我们可以对每一观测值给定一个参数来衡量其精我们可以对每一观测值给定一个参数来衡量其精度的高低，这个参数称为度的高低，这个参数称为“权权(weight)”。权越大，。权越大，精度越高，反之，精度越低。精度越高，反之，精度越低。 衡量观测值精度相对高低。衡量观测值精度相对高低。各观测值的权之间的关系：各观测值的权之间的关系：222222112222122222212211:1:1:nnnnnmpmpmpmmmmmmppp或或任意给定的常数任意给定的常数22iimp2222222121,nnmpmpm

48、p权的计算实例权的计算实例则他们的权为其中误差分别为：已知观测值例,3,2,1,11121321 mmmLLL91,41, 1123232222212122 mpmpmp时，当94, 1, 4423232222212122 mpmpmp时，当4, 9,366323232222212122 mpmpmp时，当单位权单位权(unit weight)和单位权中误差和单位权中误差单位权：权为单位权：权为1时的权时的权权为权为1的观测值又称为单位权观测值的观测值又称为单位权观测值而为单位权观测值的中误差，简称为单位权中而为单位权观测值的中误差，简称为单位权中误差。常用误差。常用 来表示。来表示。以任意选

49、定的。以任意选定的。即单位权中误差也是可即单位权中误差也是可时时得，当得，当由由2222,1mpmp二、确定权的方法二、确定权的方法例例12：在相同的：在相同的观测条件下，对某观测条件下，对某一未知量分别用不一未知量分别用不同的次数同的次数n1n2n3进进行观测，得相应的行观测，得相应的算术平均值为算术平均值为L1L2L3, 求求L1L2L3的权。的权。则若观测一次的中误差为。差分别为解：设各观测值的中误, , ,321mmmmiiiinmnmmp222222相应的权为：332211 , ,nmmnmmnmmiiiinpcncpmc则若取则令, 1,22结结 论论同精度观测时，算术平均值的权与

50、观测次数成同精度观测时，算术平均值的权与观测次数成正比。正比。 权与观测次数成正比权与观测次数成正比根据测回数确定权。用于测角、量距中。根据测回数确定权。用于测角、量距中。例例13：用同样观测方法，经由长度为：用同样观测方法，经由长度为L1,L2,L3的三条不的三条不同路线，测量两点间的高差，分别得出高差为同路线，测量两点间的高差，分别得出高差为h1,h2,h3。已。已知每公里的高差中误差为知每公里的高差中误差为mkm,求三个高差的权。求三个高差的权。高差的权为单位权即则若取高差的权为单位权即则取则令解：kmLpckmLpcLcpmcLmLmmpLmmLmmLmmiiiiiikmikmikmi

51、ikmkmkm2,2, 21,1, 1 ,1,22222222332211结结 论论高差的权与距离成反比。高差的权与距离成反比。权的数值可以改变，但它们之间的比例关系不权的数值可以改变，但它们之间的比例关系不变。变。权值变化后，单位权中误差的值也随之改变。权值变化后，单位权中误差的值也随之改变。可用于水准路线的确权方法。可用于水准路线的确权方法。例例14：的权。、求的中误差均为、设每个设222212., iiHHmhhhhhHhhhH1nn111221222222111,1,npnpmnmmpnmmnmmiiii 则则令令解解：结结 论论权与测站数成反比。权与测站数成反比。对于量边总长度等多尺

52、段之和，权与尺段数成对于量边总长度等多尺段之和，权与尺段数成反比。反比。对于水准测量，权与测站数成反比，同一测段，对于水准测量，权与测站数成反比，同一测段，测站越多，权值越小。测站越多，权值越小。三、加权平均值及其中误差三、加权平均值及其中误差1、不等精度观测量的最或然值、不等精度观测量的最或然值设对某角进行了两组观测：设对某角进行了两组观测： 第一组测第一组测n1个测回，其平均值为个测回，其平均值为L1, 第二组测第二组测n2个测回，其平均值为个测回，其平均值为L2。 已知每测回测角中误差都为已知每测回测角中误差都为问题：如何求该角度的最或然值？问题：如何求该角度的最或然值？m2122112

53、2211112121,21121nnLnLnxLnLLLLnLLLnnxnnLLLLLLnn 最或然值212211ppLpLpx即称为加权平均值）值，有对于多个不等精度观测(212211nnnpppLpLpLpx2、加权平均值的中误差、加权平均值的中误差22222222212221222222222222122122211pMppppppppppMpmmppmppmppMLppLppLppppLxnniinnnn得根据3、按最或然值求单位权中误差、按最或然值求单位权中误差这里先给出按最或然值这里先给出按最或然值求单位权中误差的公式求单位权中误差的公式1npvv) 1(nppvvpMpM加权平均

54、值的中误差加权平均值的中误差最或然值中误差最或然值中误差iiipLL 的等权虚拟观测值构建如下一组权为11222222222222iLiiiiiiLiimpmmmpmmp其真误差为：iiipnpnpppnnn)()()(2222211022)(22pvppLxpLxppvLpxpvppvvpvppvvpvpppvvXxXLLxviiiiixxiiixiiixiiiiixiiiiii1222222npvvpvvnnppvvppppvvMppvvp故故) 1(nppvvpM4、不等精度观测实例、不等精度观测实例例题：从已知水准点例题：从已知水准点A、B、C经三条水准经三条水准路线，测得路线，测得E点的观测点的观测高程高程Hi及水准路线长度及水准路线长度Si。求。求E点的最或然高点的最或然高程及其中误差。程及其中误差。 所需计算公式所需计算公式) 1(11, 1,nppvvpuMnpvvuppLxspcscpiiii则则取取权权 测段测段高程观测值高程观测值 /m/m水准路线长度水准路线长度kmLi/iiLP1权vPvPvvAEAEBEBECECE42.34742.34742.32042.32042.33242.3324.04.02.02.02.52.50.250.250.500.500.400.4017.017.0-10.010.02.02.04.24.2-5.05.00.80.